單元視角下多邊形面積教學路徑新探索

一、單元教材分析（一）依據(jù)圖形之間的聯(lián)系安排教學順序，進行面積公式推導翻閱國內(nèi)各個版本的小學數(shù)學教材，多邊形面積單元教學的順序都是按先學“平行四邊形面積”，再學“三角形面積”，最后學“梯形的面積”。平行四邊形面積計算主要有兩種方法，一種是直接度量，另一種是間接度量。直接度量是將平行四邊形放在格子圖中，通過數(shù)格子直接數(shù)出面積。間接度量是將平行四邊形通過剪拼轉(zhuǎn)化成長方形，利用長方形面積公式推導出平行四邊形面積公式。三角形面積公式推導則主要采用倍拼法，用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，利用平行四邊形面積公式推導出三角形面積公式。教材還在“你知道嗎”欄目中介紹《九章算術(shù)》中的“方田章”，詳細論述平面圖形面積的算法。而梯形面積公式的推導方法與三角形相似，也采用倍拼法。教材又在“你知道嗎”欄目中介紹數(shù)學家劉徽利用出入相補原理來計算平面圖形的面積。（二）通過計算組合圖形和不規(guī)則圖形面積，培養(yǎng)解題思路和估測能力在組合圖形面積計算中，將其分解成若干個基本圖形的能力是最基本能力，在保證數(shù)據(jù)完整性的多種分法中選取較優(yōu)方法是較高能力。在計算組合圖形面積中，既要保證學生達到基本能力，又要努力促進學生較高能力的發(fā)展。在實際生活中，經(jīng)常會測量各種不規(guī)則圖形，它們往往無法分解成基本圖形。學生需要根據(jù)圖形的形狀，靈活運用各種策略和方法估計出圖形的面積，以提高估測能力和解決問題的能力。二、單元課時劃分（一）教材中多邊形面積公式推導方法較為單一從教材編寫來看，平行四邊形面積公式推導采用剪拼法，三角形和梯形面積公式推導采用倍拼法，其他推導方法只作為課后簡單了解，推導方法顯得比較單一。（二）學生較難自發(fā)聯(lián)想到剪拼法和倍拼法在平行四邊形面積公式推導中，受長方形面積公式和四邊形活動框架的影響，學生很容易想到面積是“鄰邊相乘”。且在學生心目中，學具是不能隨意破壞的，學生不敢隨意去剪平行四邊形的紙片進行拼搭，較難自主聯(lián)想到剪拼法。同樣，三角形（或梯形）面積公式推導，如果只提供一個三角形（或梯形），學生是較難聯(lián)想到用倍拼法來進行推導的。在實際課堂教學中，教師經(jīng)常會提供多個完全相同的三角形或梯形，學生在隨意拼搭中拼成已學過的平行四邊形，所以倍拼法受學具的暗示性較強。提出設想：能否將三角形面積公式推導作為單元起始課？筆者一直在思考：若沒有平行四邊形面積公式的支撐，只學習長方形面積公式，三角形面積公式可否進行推導？學生會把三角形面積轉(zhuǎn)化成什么圖形來推導？學生如何想到把三角形面積轉(zhuǎn)化成長方形面積？帶著這些問題進行教學嘗試，希望能另辟一條教學新路徑。那么如果將之作為單元起始課，會有什么優(yōu)勢？從理論上來講，三角形是最基本的圖形，平行四邊形和梯形都可將其分割成兩個三角形進行公式推導，其他多邊形也都能分割成若干個三角形進行面積公式推導。也就是說最基本圖形的面積公式已知后，所有的多邊形（包括圓形）都能借助基本圖形進行面積公式推導?；谝陨系姆治龊退伎?，對本單元的教學順序進行重構(gòu)。單元重構(gòu)著重體現(xiàn)兩點想法：一是把三角形面積作為單元起始課；二是將平行四邊形和梯形面積整合為一課時，因為這兩個面積公式推導具有很強的相似性，既可以分割成兩個三角形，利用乘法分配律進行推導，梯形又可以通過倍拼法轉(zhuǎn)化成平行四邊形。圖1是整合后的單元編排結(jié)構(gòu)圖。三、關(guān)鍵課例設計【第1課時：三角形的面積】（一）總體框架（表1）（二）教學實錄●學習任務（一）：畫三角形，使三角形面積是長方形面積的一半1.呈現(xiàn)任務，嘗試畫圖提出任務：在長方形里畫一個三角形，使三角形面積是長方形面積的一半。呈現(xiàn)學生的作品。師：你有什么辦法說明三角形面積是長方形面積的一半？生：可以沿著長方形對角線剪開，將兩個三角形疊在一起，看看是不是一樣大。學生動手操作，得出結(jié)論：沿著長方形的對角線剪開，兩個三角形的面積一樣大。2.多元表征，表達畫法師：你還能畫出不一樣的三角形嗎？學生動手操作，組內(nèi)交流。呈現(xiàn)學生的作品。師：說一說你是怎么畫的？生：圖4先在長方形的上邊找到中點，再畫一個三角形。生：圖5在長方形上邊任意找一個點，然后畫一個三角形。3.引出高線，便于說理師：關(guān)于圖4你有什么辦法說明三角形面積是長方形面積的一半？生：可以在三角形的中間添上一條線。讓學生上臺，在三角形中添線（如圖6不出示①②③④），教師追問：這條線畫的時候有什么要求？生：這條線要與下面的邊互相垂直。師：你發(fā)現(xiàn)所畫的這條線就是三角形的什么？生：三角形的高。師：繼續(xù)說一說你的想法。生：我把四個三角形標一下，①號和②號面積相等，③號和④號面積相等，所以三角形面積是長方形面積的一半。師：你們發(fā)現(xiàn)要說清楚，必須做什么？生：必須畫高。對于圖5，讓學生添上高線后互相說一說?！駥W習任務（二）：量出數(shù)據(jù)，計算三角形的面積1.提出問題，嘗試解決呈現(xiàn)《學習單》上的三角形，提出任務：測量邊線的長度，計算出三角形的面積。2.呈現(xiàn)作品，反饋交流呈現(xiàn)作品1：只測量三條邊線的長度（如圖7）。師：你是怎么想的？遇到了什么困難？生：我想三角形的面積應該跟三條邊的長度有關(guān)，但測量出長度后就不知道怎么做了。呈現(xiàn)作品2：計算三角形的周長。師：你們看懂這位同學是怎么做的了嗎？生：他算的是三角形的周長，而我們要求三角形的面積，所以不對。呈現(xiàn)作品3：利用面積公式計算（如圖8）。師：你是怎么想的？生：我測量了三角形的底和高，利用三角形面積=底×高÷2，算出來是6×4÷2=12（cm2）。師：原來你已經(jīng)知道了三角形面積的計算方法，那你知道為什么這么算嗎？生：我看了書上的公式，但不清楚為什么要這樣算。呈現(xiàn)學生作品4：利用長方形和三角形之間的面積關(guān)系來計算（如圖9）。師：有誰看懂他的方法了？生：在三角形外面畫了一個長方形，長是6cm，寬是4cm，所以長方形的面積是24cm2。剛才我們知道三角形的面積是長方形的一半，所以24再除以2等于12cm2。生：他利用了任務（一）中的結(jié)論，先算出長方形面積，再除以2就是三角形面積。3.公式推導，得出結(jié)論師：6×4÷2，誰來說一說這里的6和4分別表示什么意思？生：6cm是長方形的長，也是三角形的底。生：4cm既長方形的寬，又是三角形的高。師：那你覺得三角形的面積公式可能怎么表達？生：長方形面積÷2=三角形面積。生：底×高÷2=三角形面積。師：這兩個公式都正確，你覺得以后用哪個公式更方便？生：用下面的公式，因為我們推導的過程是用上面的公式，要求三角形的面積就要用三角形的底和高。板書公式：底×高÷2=三角形面積?！駥W習任務（三）：提供數(shù)據(jù)，鞏固三角形面積計算方法1.提供數(shù)據(jù)，列式計算呈現(xiàn)3個沒有數(shù)據(jù)的三角形，思考：要計算三角形面積，你需要老師提供哪些數(shù)據(jù)？生：需要知道底和高。教師呈現(xiàn)底和高的數(shù)據(jù)（如圖10），計算3個三角形的面積。生：10×4÷2=20（cm2），4×6÷2=12（cm2），7×6÷2=21（cm2）。2.提出思考，回顧推導師：請你想一想算式中的“10×4”“4×6”“7×6”分別是在算什么？你能把這個長方形畫出來嗎？通過課堂實踐，發(fā)現(xiàn)把三角形面積作為單元起始課是可行的，學生也能順利地進行面積公式推導，并理解其中的道理。同時，將平行四邊形和