關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想的再認(rèn)與拓展

在近十年的“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)實(shí)踐中，我們對(duì)賴以指導(dǎo)實(shí)踐的“數(shù)形結(jié)合”思想方法的內(nèi)涵理解逐漸發(fā)生了變化。本文將嘗試論述對(duì)此的開拓性思考。一、“數(shù)學(xué)畫”中的“形”作為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，“數(shù)學(xué)畫”主要借助數(shù)形關(guān)系來(lái)輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。那么，“數(shù)學(xué)畫”中的“形”到底是指什么？筆者將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐針對(duì)“數(shù)學(xué)畫”中“形”的內(nèi)涵從三個(gè)方面重新梳理。首先，“形”是指有形的具體物，或具體物的形狀、形體，是現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式進(jìn)入數(shù)學(xué)世界之前的樣態(tài)，是水平數(shù)學(xué)化[1]的起點(diǎn)和基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象。有形的具體物既可以抽象成數(shù)學(xué)中的形，也可以抽象成數(shù)學(xué)中的數(shù)，比如一串9顆的葡萄，可以抽象出球形、圓形，也可以抽象出數(shù)9和1。從數(shù)學(xué)教育的角度看，有關(guān)這種水平數(shù)學(xué)化的教學(xué)，著力培育的是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的核心素養(yǎng)。其次，“形”也是數(shù)學(xué)中的幾何圖形和函數(shù)圖象等。其本身已是抽象概念，指點(diǎn)、線、面、體或者它們的集合[2]，成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，但是仍然具有直觀性，所以可以利用其幾何直觀來(lái)輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是以形助數(shù)來(lái)理解數(shù)方面的概念，或者發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)量關(guān)系進(jìn)而解決問題。比如畫線段圖輔助理解分?jǐn)?shù)計(jì)算的算理，或者用矩形來(lái)表征乘法結(jié)構(gòu)的方程，即利用矩形的長(zhǎng)、寬和面積表征方程中的兩個(gè)因數(shù)和積，再依據(jù)矩形面積等于長(zhǎng)乘寬的公式，看未知數(shù)x所在位置是相當(dāng)于面積還是邊長(zhǎng)，再分別選擇除法或乘法來(lái)求出x的值。俄羅斯某套數(shù)學(xué)教材的實(shí)施證實(shí)了這樣一個(gè)事實(shí)：有了線段圖和矩形圖這樣的直觀圖形的輔助，可以大大增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，二年級(jí)學(xué)生就可以解出形如ax±b=c±dx的一元一次方程（系數(shù)為正整數(shù)）[3]。當(dāng)然也可以反過來(lái)以數(shù)解形，在幾何圖形或圖像的學(xué)習(xí)中引入數(shù)，使其量化和能夠被精確把握，比如我們?cè)趫D形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中大量使用方格紙或點(diǎn)子圖。最后，“形”是表征思維的一切形狀、線條等，也包括抽象符號(hào)在內(nèi)的一切符號(hào)，成為表征工具、表征手段。在這個(gè)層面上，作為表征工具的“形”幾乎涵蓋了所有“可視可見”的形象與符號(hào)，比如，要表征自然數(shù)5，可以畫5根手指頭、5個(gè)大蘋果，也可以畫5個(gè)三角形、5條線段，還可以涂抹5片紅紅的色塊，畫5個(gè)對(duì)勾……所以，我們說“畫計(jì)算”既可以是“圖形畫”也可以是“數(shù)字符號(hào)畫”。二、再認(rèn)“數(shù)形結(jié)合”數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問題的思想方法，其應(yīng)用大致可分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性、程序性和可操作性來(lái)闡明形的某些屬性，或借助形的幾何直觀性來(lái)闡明某些概念及數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用，主要有四個(gè)方面：利用“形”作為直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念、解決問題，數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透，統(tǒng)計(jì)圖表和幾何概念模型，用代數(shù)（算術(shù)）方法解決幾何問題等[4]。“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)通過五大課型的教學(xué)研究將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、問題解決教學(xué)、復(fù)習(xí)教學(xué)、綜合實(shí)踐教學(xué)等多領(lǐng)域。在“數(shù)學(xué)畫”中“形”的內(nèi)涵梳理基礎(chǔ)上，反思“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)理論依據(jù)之一的數(shù)形結(jié)合思想，可能就不僅僅非得局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)形關(guān)系，也可以延伸解釋數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系，即從現(xiàn)實(shí)世界中的“有形具體物”抽象出數(shù)學(xué)世界的“數(shù)與形”及數(shù)學(xué)模型，再將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，去解釋和解決“有形”世界的問題。在這樣的不同過程中，“形”的含義也是不同的。這樣的思考并非是模糊不同概念和思想，使其內(nèi)涵泛化，而是揭示了萬(wàn)物關(guān)聯(lián)、萬(wàn)法同宗、萬(wàn)理通融的世界本質(zhì)。為了論述清晰，我們以兩組問題作為維度從數(shù)學(xué)內(nèi)部重新梳理“數(shù)形結(jié)合”。第一組問題：數(shù)從哪里來(lái)？形從哪里來(lái)？顯然，這里的數(shù)與形是指數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)形概念，如前所述，數(shù)與形均來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，即數(shù)與形具有同源性。因此，數(shù)與形之間存在著天然的聯(lián)系，本來(lái)就是從不同角度解釋現(xiàn)實(shí)世界。第二組問題：數(shù)有什么特點(diǎn)？形有什么特點(diǎn)？既然數(shù)與形是從不同角度解釋現(xiàn)實(shí)世界，那它們必然存在差異性，具有各自的特點(diǎn)。一般認(rèn)為，數(shù)具有精密性和內(nèi)隱性；而形具有模糊性（或者說，形的精確性需要借助數(shù)來(lái)彰顯）和直觀性，所以數(shù)與形不僅存在差異性，而且具有互補(bǔ)性。有人認(rèn)為，數(shù)比形更加抽象。其實(shí)，抽象程度不是它們的本質(zhì)差異；從某種意義上說，數(shù)與形都是抽象的，或者說，進(jìn)入數(shù)學(xué)世界的概念必然經(jīng)由抽象的加工。例如形之點(diǎn)、線、面，例如數(shù)之1、2、3。數(shù)與形既有關(guān)聯(lián)，又有差異，可以相互轉(zhuǎn)化。這就引出我們十分熟悉的兩種情形，或者說數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)方面，即“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。前者是借助形的直觀性來(lái)克服數(shù)的內(nèi)隱性，后者是借助數(shù)的精確性來(lái)補(bǔ)足形的模糊性。稍微具體一點(diǎn)說，在教學(xué)實(shí)踐層面，以形助數(shù)做的是輔助概念理解、問題解決和思維進(jìn)階，形是表，數(shù)是里；以數(shù)解形指的是洞悉本質(zhì)，量化而精確把握對(duì)象，解是解析。人的認(rèn)知存在差異，有人偏向形、敏感形，有人熟悉數(shù)、敏感數(shù)，數(shù)形結(jié)合給予不同人全面、深刻理解世界的機(jī)會(huì)和途徑，而不至于固步自封、囿于狹隘。三、拓展“數(shù)形結(jié)合”從教育理論與教學(xué)實(shí)踐的關(guān)系角度出發(fā)，我們希望理論能給予實(shí)踐更適切的指引與服務(wù)；或者說，基于教學(xué)實(shí)踐的需要，我們有時(shí)候會(huì)期望拓展理論的適用邊界，使其匹配實(shí)踐的廣度。在“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)實(shí)踐中，“形”的內(nèi)涵已經(jīng)由數(shù)學(xué)世界的“幾何圖形和函數(shù)圖像”向內(nèi)外兩個(gè)方向作出了延伸。一方面向現(xiàn)實(shí)世界延伸出“具體物的形狀、形體”義，一方面向數(shù)學(xué)世界更高抽象領(lǐng)域延伸到“一切符號(hào)”義。自然地，在“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)實(shí)踐中，“數(shù)”的內(nèi)涵首先是數(shù)概念，以及表征數(shù)概念的數(shù)字符號(hào)。數(shù)，是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，在人類文化發(fā)展的最初階段，為了計(jì)量物體個(gè)數(shù)，基于對(duì)應(yīng)原理產(chǎn)生正整數(shù)概念，隨著社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展和人類生活的需要，數(shù)的概念不斷推廣，產(chǎn)生分?jǐn)?shù)、零、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)、虛數(shù)等，直到19世紀(jì)末，數(shù)系理論的建立工作基本完成；數(shù)字，亦稱數(shù)碼，指用以記數(shù)的符號(hào)或文字，其產(chǎn)生、形成與統(tǒng)一也經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過程[2]。數(shù)字具有“數(shù)形二重屬性”，即數(shù)字既具有數(shù)的屬性，又具有形的屬性。舉一個(gè)典型的例子，“找規(guī)律，寫答案”：1111=0，1289=3，2256=1，3388=4，9090=4，1868=？顯然此例是拋棄了這些數(shù)字的數(shù)概念屬性，從形上找規(guī)律，從而轉(zhuǎn)變成“數(shù)圈圈”游戲。與“形”類似地，“數(shù)”的內(nèi)涵也發(fā)生延伸，泛指一切數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，有時(shí)候代指包括數(shù)學(xué)內(nèi)部之“形”在內(nèi)的整個(gè)數(shù)學(xué)世界。所以，從廣義上說，“數(shù)”指包括數(shù)學(xué)內(nèi)部之“形”的整個(gè)數(shù)學(xué)世界；“形”指包括現(xiàn)實(shí)世界的“形體”“形狀”等有形之物、數(shù)學(xué)世界的“幾何圖形”“函數(shù)圖象”等有形之形，也包括數(shù)學(xué)世界第一、二次抽象后得到的有形之符號(hào)。從廣義上看，“數(shù)”與“形”不僅有聯(lián)系，也有交叉，在具體的語(yǔ)境中具有不同的具體內(nèi)涵。與之相對(duì)應(yīng)的，數(shù)形結(jié)合思想也需要作出類似的內(nèi)涵延伸，這也可以在兩個(gè)方面進(jìn)行。（一）外部延伸：“由形到數(shù)”與“由數(shù)到形”數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)外部方面的延伸主要有兩個(gè)方向，一是“由形到數(shù)”，即從現(xiàn)實(shí)世界具有“形體”“形狀”之有形具體物向數(shù)學(xué)世界“幾何圖形”“函數(shù)圖象”和數(shù)概念的轉(zhuǎn)化。這種轉(zhuǎn)化也被稱為水平數(shù)學(xué)化，是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的第一次抽象，這一過程是廣義上的形數(shù)轉(zhuǎn)換。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中有相當(dāng)大比重都屬于這一過程，幾乎囊括了小學(xué)階段所有的數(shù)學(xué)概念及數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)、規(guī)律認(rèn)識(shí)。比如，由“樹上5只小鳥，飛走2只，還剩3只”的現(xiàn)實(shí)故事得出“5-2=3”的算式，以及關(guān)于加減法的“拿走”模型[5]；或者由現(xiàn)實(shí)生活中習(xí)見的國(guó)旗、桌面、課本面、門窗等形狀抽象出“長(zhǎng)方形”概念。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)外部方面延伸的另一個(gè)方向是“由數(shù)到形”，即從抽象概括的數(shù)學(xué)世界的數(shù)學(xué)模型到有形的現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用。這一廣義上的數(shù)形轉(zhuǎn)換也涵蓋了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中問題解決的所有內(nèi)容。比如，運(yùn)用加減法的“拿走”模型解決生活中此類問題，運(yùn)用長(zhǎng)方形概念和特征輔助解決在學(xué)校操場(chǎng)布置運(yùn)動(dòng)會(huì)隔離帶和座椅等問題。（二）內(nèi)部延展：“數(shù)符演進(jìn)”除了外部延伸，數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)內(nèi)部的內(nèi)涵延展表現(xiàn)為“數(shù)符演進(jìn)”，即“在符號(hào)的世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用[6]”，也就是垂直數(shù)學(xué)化[1]，是水平數(shù)學(xué)化之后進(jìn)行的數(shù)學(xué)化，是第二次抽象過程。像數(shù)字符號(hào)一樣，