蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊6.2.1空間向量基本定理【教學(xué)課件】

6.2.1空間向量基本定理第6章§6.2

空間向量的坐標(biāo)表示1.掌握空間向量基本定理及其推論.2.會選擇適當(dāng)?shù)幕妆硎救魏我粋€空間向量.學(xué)習(xí)目標(biāo)回顧平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2.我們把兩個不共線的向量e1，e2叫作這個平面的一組基底.類似地，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量e1，e2，e3表示呢？導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、空間向量基本定理及其推論二、用基底表示向量三、空間向量基本定理的應(yīng)用內(nèi)容索引一、空間向量基本定理及其推論問題1

如圖，設(shè)i，j，k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O，對于任意一個空間向量p＝

，p

能否用i，j，k表示呢？問題2

你能證明唯一性嗎？提示

假設(shè)除(x，y，z)外，還存在有序?qū)崝?shù)組(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，則x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨設(shè)x′≠x，則(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，這與已知矛盾.所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)是唯一的.知識梳理1.空間向量基本定理：如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在

的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使

.2.基底的有關(guān)概念定義在空間向量基本定理中，如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示.我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個

，

叫作基向量正交基底與單位正交基底如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相

，那么這個基底叫作正交基底.特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是_____

時，稱這個基底為單位正交基底，通常用

表示唯一p＝xe1＋ye2＋ze3基底e1，e2，e3垂直單位向量{i，j，k}3.空間向量基本定理的推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得

＝

.注意點：(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同.(2)一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.(3)由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個不共線的非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量.∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，反思感悟

基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底.(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}√√√二、用基底表示向量解

∵P是C1D1的中點，解

∵N是BC的中點，解

∵M(jìn)是AA1的中點，解因為P，N分別是D1C1，BC的中點，反思感悟用基底表示向量時(1)若基底確定，要充分利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律.(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.三、空間向量基本定理的應(yīng)用例3

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(2)求BD1與AC所成角的余弦值.＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.反思感悟用空間向量基本定理解決立體幾何問題的步驟：首先根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底，如果存在三個兩兩垂直的空間向量也可以確定一個單位正交基底.然后根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，最后把空間向量的運算轉(zhuǎn)化為基向量的運算.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點，求證：EF⊥AB1.1.知識清單：(1)空間向量基本定理及其推論.(2)基底的概念以及判斷.(3)用基底表示向量.(4)空間向量基本定理的應(yīng)用.2.方法歸納：類比法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：對基底的概念理解不清，導(dǎo)致出錯.課堂小結(jié)隨堂演練1.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間向量的一個基底的是1234√可以作為空間向量的一個基底.1234A.a＋b－c

B.a－b＋cC.－a＋b＋c

D.－a＋b－c√1234解析由于{a，b，c}是空間的一個基底，所以當(dāng)xa＋yb＋zc＝0時，x＝y(tǒng)＝z＝0.3.若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是___________.x＝y(tǒng)＝z＝012344.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E，F(xiàn)G所成的角為_____.這三個向量不共面且兩兩垂直，故{a，b，c}為空間的一個單位正交基底.1234課時對點練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.設(shè)p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件16解析當(dāng)非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底，當(dāng){a，b，c}為基底時，一定有a，b，c為非零向量.因此p?q，q?p.√2.(多選)已知{a，b，c}是空間的一個基底，則下列選項中不能構(gòu)成空間的一個基底的是A.{a，a－2b,2a＋b}B.{b，b＋c，b－c}C.{2a－3b，a＋b，a－b}D.{a＋b，b－c，c＋2a}12345678910111213141516解析只有D選項中的三個向量不共面，其他選項中的三個向量都共面.√√√12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516選項D中，四點M，A，B，C顯然共面，故選C.123456789101112131415166.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點，則

等于√12345678910111213141516因為AB＝AD＝1，PA＝2，所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2.又因為AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos60°＝1.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求證：AB⊥AC1.因為AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以a·b＝0，a·c＝0，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516綜合運用12345678910111213141516√解析如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)正方體的棱長為1，則|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0.12345678910111213141516123456789101112131415163a＋3b－5c12345678910111213141516解析設(shè)G為BC的中點，連接EG，F(xiàn)G(圖略)，＝3a＋3b－5c.1234567891011121314151614.已知{a，b，c}是空間的一個單位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示為m＝3a＋5b＋9c，則m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示為______________________.