蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊6.3.2.2空間向量與垂直關系【教學課件】

第2課時空間向量與垂直關系第6章6.3.2空間線面關系的判定1.會利用平面法向量證明兩個平面垂直.2.能利用直線的方向向量與平面的法向量判定并證明空間中的垂

直(線線、線面、面面)關系.學習目標在上一節(jié)中，我們研究了空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面的平行關系與直線的方向向量和平面的法向量的關系.那么，直線的方向向量和平面的法向量與空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系間又有什么聯(lián)系呢？導語隨堂演練課時對點練一、直線和直線垂直二、直線與平面垂直三、平面與平面垂直內容索引一、直線和直線垂直問題1

如圖，直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，直線l1，l2垂直時，e1，e2之間有什么關系？提示

垂直.知識梳理設直線l的方向向量為e1＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為e2＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?e1⊥e2?e1·e2＝0.注意點：(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉化為兩直線的方向向量相互垂直.(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.例1

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.求證：無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.證明方法一以A為原點，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AD＝a，則A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，∵E在BC上，∴設E(m,1,0)，∴無論點E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.故無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.反思感悟

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標法：建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出兩直線方向向量的坐標，然后通過數(shù)量積的坐標運算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律，結合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.跟蹤訓練1

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AC的中點，求證：(1)BD1⊥AC；證明以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.(2)BD1⊥EB1.二、直線與平面垂直問題2

如圖，設e是直線

l

的方向向量，n是平面α的法向量，當直線l垂直平面α時，e，n之間有什么關系？提示

平行(共線).設直線l的方向向量為e＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?e∥n?e＝kn，k∈R.注意點：(1)若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行.(2)證明線面垂直的方法：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結論.知識梳理②坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結論.③法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論.例2

如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.證明方法一如圖所示，取BC的中點O，連接AO，因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.方法二建系同方法一.設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，所以AB1⊥平面A1BD.反思感悟用向量法證明線面垂直的方法(1)證明直線的方向向量與平面內的兩條相交直線的方向向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓練2

如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；證明由題意知AD⊥BC，如圖，以O為坐標原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.則A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4).(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.證明

∵M是AP上一點，且AM＝3，設平面BMC的法向量為n＝(a，b，c)，三、平面與平面垂直問題3

設n1，n2

分別是平面α，β的法向量，當平面α垂直平面β時，n1，n2之間有什么關系？提示

垂直.設平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.注意點：若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直.知識梳理例3

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為坐標原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).設平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4).因為n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思感悟利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直.跟蹤訓練3

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.證明如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長度，射線DA，DP，DC分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系.則D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.1.知識清單：(1)直線與直線垂直的向量表示.(2)直線與平面垂直的向量表示.(3)平面與平面垂直的向量表示.2.方法歸納：轉化法、法向量法.3.常見誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混.課堂小結隨堂演練1.若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關系是A.平行

B.垂直C.相交但不垂直

D.無法確定1234√解析

a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.12342.已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于A.4B.－4C.5D.－5解析

∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.√12343.若直線l1的方向向量為u1＝(1,3,2)，直線l2上有兩點A(1,0,1)，B(2，－1,2)，則兩直線的位置關系是______.l1⊥l2因此l1⊥l2.4.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點，則直線EF與平面PBC的位置關系是______.垂直解析以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，1234課時對點練基礎鞏固1234567891011121314151.(多選)已知e為直線l的方向向量，n1，n2分別為平面α，β的法向量(α，β不重合，直線l不在平面α，β內)，那么下列說法中，正確的有A.n1∥n2?α∥β

B.n1⊥n2?α⊥βC.e∥n1?l∥α

D.e⊥n1?l⊥α16√√解析

∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行(垂直)等價于平面α，β平行(垂直)，∴A，B正確；直線l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等價于直線l垂直(平行)于平面α，∴C，D都錯誤.2.兩平面α，β的法向量分別為n1＝(3，－1，z)，n2＝(－2，－y，1)，若α⊥β，則y＋z的值是A.－3 B.6

C.－6 D.－1212345678910111213141516解析

∵n1＝(3，－1，z)，n2＝(－2，－y,1)分別為α，β的法向量且α⊥β，∴n1⊥n2，即n1·n2＝0，∴－6＋y＋z＝0，∴y＋z＝6.√123456789101112131415163.已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關系是A.l⊥α

B.l∥αC.l與α相交但不垂直

D.l∥α或l?α解析因為a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.√123456789101112131415164.若平面α，β的法向量分別為a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為A.－10B.10C.0D.5解析因為α⊥β，所以它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.√123456789101112131415165.(多選)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的是A.兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，

－3,1)，則l1∥l2B.直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，則

l⊥αC.兩個不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，

則α⊥βD.直線l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，則l∥α√√12345678910111213141516解析對于A，兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，且b＝－a，所以l1∥l2，選項A正確；對于B，直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，選項B錯誤；對于C，兩個不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，選項C正確；12345678910111213141516所以l⊥α，選項D錯誤.123456789101112131415166.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC，MN都不垂直√√12345678910111213141516解析以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).設正方體的棱長為2a，則D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a).∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1顯然不垂直.12345678910111213141516α∥β7.已知平面α內的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則β與α的位置關系是______.＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，∴n也為α的一個法向量，又α與β不重合，∴α∥β.123456789101112131415168.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝

，則n的坐標為_________________________.(－2,4,1)或(2，－4，－1)12345678910111213141516設n＝(x，y，z)，∵n與平面ABC垂直，解得y＝4或y＝－4.當y＝4時，x＝－2，z＝1；當y＝－4時，x＝2，z＝－1.∴n的坐標為(－2,4,1)或(2，－4，－1).123456789101112131415169.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是線段EF的中點.求證：AM⊥平面BDF.12345678910111213141516設n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，12345678910111213141516所以AM⊥平面BDF.1234567891011121314151610.如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點.求證：平面DEA⊥平面ECA.證明建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，不妨設CA＝2，則CE＝2，BD＝1，12345678910111213141516B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1).n2＝(x2，y2，z2)，分別設平面ECA與平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，12345678910111213141516因為n1·n2＝0，所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.綜合運用12345678910111213141516√11.設l1的一個方向向量為a＝(1,3，－2)，l2的一個方向向量為b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，則m等于12345678910111213141516解析因為l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，1234567891011121314151612.設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是n，則“a⊥n”是“l(fā)∥α”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析由l∥α，得a⊥n，則“a⊥n”是“l(fā)∥α”的必要條件，而a⊥n不一定有l(wèi)∥α，也可能l?α，則“a⊥n”不是“l(fā)∥α”的充分條件.12345678910111213141516解析因為l⊥α，所以e與n平行，則存在實數(shù)m使得e＝mn，12345678910111213141516其中正確的結論是________.(填序號)①②③12345678910111213141516又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，拓廣探究1234567891011121314151615.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，若點Q在線段B1P上，則下列結論正確的是A.當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面A1BDB.當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥

平面A1BDD.不