高考數(shù)學一輪復習高頻考點精講精練(新高考專用)第10講拓展五：四邊形問題(高頻精講)(原卷版+解析)

第10講拓展五：四邊形問題(精講）目錄TOC\o"1-1"\h\u高頻考點一：求四邊形中邊（或角） 1高頻考點二：四邊形中面積問題(含最值問題） 10高頻考點三：實際問題中的四邊形問題 19高頻考點一：求四邊形中邊（或角）典型例題例題1．（2023春·山西運城·高一康杰中學?？茧A段練習）如圖，在平面四邊形中，，，，，，則___________.例題2．（2023春·河南鄭州·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習）在中，為的角平分線上一點，且與分別位于邊的兩側(cè)，若(1)求的面積;(2)若，求的長.例題3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求的長．例題4．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．(1)求的大?。?2)若點在直線同側(cè)，，求的取值范圍．例題5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，，，，的面積為，．（1）求的值；（2）若，求的長．練透核心考點1．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖,在平面四邊形中,,.(1)試用表示的長;(2)求的最大值.3．（2023·全國·高一專題練習）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．4．（2023·全國·高一專題練習）如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．(1)求BE的長；(2)若，求五邊形ABCDE的周長．5．（2023春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？茧A段練習）如圖所示，在梯形中，，，，.（1）求的值；（2）若，求的長.高頻考點二：四邊形中面積問題(含最值問題）典型例題例題1．（2023·四川成都·成都七中?？级＃┤鐖D所示，在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，則四邊形的面積為_____________．

例題2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在已知圓周上有四點、、、，，，.(1)求的長以及四邊形的面積；(2)設，，求的值.例題3．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，是半徑為的半圓的圓心，為右端點，點是半圓上一個動點，以向外做一個等邊三角形，點與點在的異側(cè)，設.(1)若，求的長；(2)求四邊形面積的最大值.例題4．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學校考階段練習）如圖，在△中，角的對邊分別為．（1）求的大??；（2）若為△外一點，，求四邊形面積的最大值．例題5．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于的四邊形），，，．(1)若，，求；(2)已知，記四邊形的面積為．①求的最大值；②若對于常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（直接寫結(jié)果，不需要過程）練透核心考點1．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，平面四邊形中，，，，，則四邊形的面積的最大值為______．2．（2023·河南·開封高中校考模擬預測）如圖，在四邊形中，已知.(1)若，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四邊形中，．(1)證明：為直角三角形；(2)若，求四邊形面積S的最大值．4．（2023·高一課時練習）在平面四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四邊形ABCD面積的最大值；(2)求對角線AC長的取值范圍．5．（2023秋·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）如圖，在中，，，為外一點，．(1)求角的大小，并判斷的形狀；(2)求四邊形的面積的最大值．6．（2023·全國·高一專題練習）如圖，設的內(nèi)角??的對邊分別為??，，且.若點是外一點，，，則當角D等于多少度時，四邊形的面積有最大值，并求出最大值.高頻考點三：實際問題中的四邊形問題典型例題例題1．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學?？茧A段練習）為了迎接亞運會，濱江區(qū)決定改造一個公園，準備在道路的一側(cè)建一個四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路長為4km，四邊形的另外兩個頂點，設計在以為直徑的半圓上.記.(1)為了觀賞效果，需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于km2，則應設計在什么范圍內(nèi)?(2)若，求當為何值時，四邊形的周長最大，并求出此最大值.練透核心考點1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中學?？茧A段練習）為提升城市旅游景觀面貌，城建部門擬對一公園進行改造，已知原公園是直徑為百米的半圓，出入口在圓心處，點為一居民小區(qū)，距離為2百米，按照設計要求，取圓弧上一點A，并以線段為一邊向圓外作等邊三角形，使改造之后的公園成四邊形，并將區(qū)域建成免費開放的植物園，如圖所示．設．(1)當，求四邊形的面積；(2)當為何值時，線段最長并求最長值2．（2023·高一課時練習）抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)，早隔離．某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿邊界用固定高度的板材圍城一個封閉隔離區(qū)，經(jīng)測量，邊界與的長都是200米，．(1)若，求BC的長；（結(jié)果精確到米）(2)圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材？（不計損耗，結(jié)果精確到米）第10講拓展五：四邊形問題(精講）目錄TOC\o"1-1"\h\u高頻考點一：求四邊形中邊（或角） 1高頻考點二：四邊形中面積問題(含最值問題） 10高頻考點三：實際問題中的四邊形問題 19高頻考點一：求四邊形中邊（或角）典型例題例題1．（2023春·山西運城·高一康杰中學校考階段練習）如圖，在平面四邊形中，，，，，，則___________.【答案】【詳解】在中，由正弦定理可得：，所以①，在中，由正弦定理可得：，所以②，又因為，所以由①②可得：，解得：，所以在中，由余弦定理得：，解得：.故答案為:.例題2．（2023春·河南鄭州·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習）在中，為的角平分線上一點，且與分別位于邊的兩側(cè)，若(1)求的面積;(2)若，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，即，解得(負根舍)，所以.（2）因為，平分，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②①②，得，所以，又，且，所以，將代入②，得，所以.例題3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，，∴，記，則，∵，，∴，在中，由正弦定理得：，則，可得，化簡得，聯(lián)立方程，解得或，∵，則，故．（2）解法一：由（1）知：，由正弦定理得：，∴，解法二：在中，，在中，由余弦定理得：，即，則，解得或（舍去），故.例題4．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．(1)求的大小；(2)若點在直線同側(cè)，，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設，則，因，，，則，而，，則有，即，又，，因此，，所以.（2）由（1）知，，連AC，有，則，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，則，，因此，因，則，有，即，，所以的取值范圍為．例題5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，，，，的面積為，．（1）求的值；（2）若，求的長．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因為△ABD的面積S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，所以sin∠DAB＝．又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos＝．由余弦定理得BD＝＝，由正弦定理得sin∠ABD＝＝．（2）因為AB⊥BC，所以∠ABC＝，sin∠DBC＝sin(－∠ABD)＝cos∠ABD＝＝．在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝．由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)．故BC的長為．練透核心考點1．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．【答案】【詳解】在三角形中由正弦定理得，所以，即，所以，所以，又，，所以為等腰直角三角形，所以，在中由余弦定理得，所以.故答案為：.2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖,在平面四邊形中,,.(1)試用表示的長;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）（）,,,，則在中,,,則.（2）在中,,則當時,取到最大值.故的最大值是3．（2023·全國·高一專題練習）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：連接，因為，，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，四邊形周長的最大值為.4．（2023·全國·高一專題練習）如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．(1)求BE的長；(2)若，求五邊形ABCDE的周長．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，則.（2）由（1）知：，則，，由且，則，所以.所以五邊形ABCDE的周長.5．（2023春·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？茧A段練習）如圖所示，在梯形中，，，，.（1）求的值；（2）若，求的長.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）.（2）由（1）知，，∵，∴，，，由.高頻考點二：四邊形中面積問題(含最值問題）典型例題例題1．（2023·四川成都·成都七中?？级＃┤鐖D所示，在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，則四邊形的面積為_____________．

【答案】【詳解】如圖所示，連接，因為為圓內(nèi)接四邊形，所以180°，則，利用余弦定理得，，解得，所以．由，得，因為，所以，．故答案為：.例題2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在已知圓周上有四點、、、，，，.(1)求的長以及四邊形的面積；(2)設，，求的值.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：由余弦定理可得，整理可得，因為，解得.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，所以，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因為，所以，.（2）解：由余弦定理可得，，則為銳角，為鈍角，所以，，，則，，因此，.例題3．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，是半徑為的半圓的圓心，為右端點，點是半圓上一個動點，以向外做一個等邊三角形，點與點在的異側(cè)，設.(1)若，求的長；(2)求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，解得.（2）在中，，由余弦定理得.因為，.所以四邊形的面積.因為，故，根據(jù)正弦函數(shù)的最值可知，所以，即當時，四邊形面積取到最大值.例題4．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學?？茧A段練習）如圖，在△中，角的對邊分別為．（1）求的大?。唬?）若為△外一點，，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）在△中，∵，∴，∴，∴又∵，故，∴，即tanC＝1．又∵，∴．（2）在△BCD中，，∴．又，由（1）可知，∴△為等腰直角三角形，∴又∵，∴∴當時，四邊形的面積有最大值，最大值為．例題5．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在平面凸四邊形中（凸四邊形指沒有角度數(shù)大于的四邊形），，，．(1)若，，求；(2)已知，記四邊形的面積為．①求的最大值；②若對于常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（直接寫結(jié)果，不需要過程）【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1），，∴，∴或（舍）.（2）①，．∴，∵，∴，∴，∴由，得，∴當時，取得最大值.②.由①知：，則需研究的范圍．當增大時，增大，從而B隨之增大，所以，當A，B，C趨于共線時，趨于，其中鈍角滿足，當減小時，減小，從而B隨之減小，所以，當A，B，D趨于共線時，趨于，其中銳角滿足，，令，則在上遞增，在上遞減并且，.練透核心考點1．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，平面四邊形中，，，，，則四邊形的面積的最大值為______．【答案】【詳解】連接，如圖，令，在中，由余弦定理得：，因，，則，因此，四邊形的面積，而，則當，即時，，所以四邊形的面積的最大值為.故答案為：2．（2023·河南·開封高中?？寄M預測）如圖，在四邊形中，已知.(1)若，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：在中，∵，則∴．在中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）解：在、中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四邊形中，．(1)證明：為直角三角形；(2)若，求四邊形面積S的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)12【詳解】（1）∵，由與余弦定理∴，整理得，，∴．∴為直角三角形．（2）∵，∴．由，得．．（當且僅當時取等號）所以四邊形面積S的最大值為12．4．（2023·高一課時練習）在平面四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四邊形ABCD面積的最大值；(2)求對角線AC長的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）因為AD＝BD＝1，，所以三角形ABD為正三角形．設BC＝a，CD＝b．在三角形BCD中，由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，當且僅當時取等號，所以四邊形ABCD的面積，即最大值為；（2）設，在三角形BCD中，由正弦定理得，，所以，在三角形ABC中，由余弦定理得，，因為，所以，所以．5．（2023秋·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）如圖，在中，，，為外一點，．(1)求角的大小，并判斷的形狀；(2)求四邊形的面積的最大值．【答案】(1)，等邊三角形(2)【詳解】（1）由題知,即解得或(舍),所以因為,所以所以的形狀為等邊三角形（2）設,在中由余弦定理得的面積的面積四邊形ABCD的面積當,等號成立所以四邊形ABCD的面積的最大值為6．（2023·全國·高一專題練習）如圖，設的內(nèi)角??的對邊分別為??，，且.若點是外一點，，，則當角D等于多少度時，四邊形的面積有最大值，并求出最大值.【答案】；【詳解】解：，由正弦定理可得，所以，，，，可得，，，所以，為等邊三角形，設，則，由余弦定理可得，，，所以，四邊形的面積為，，，所以，當時，即當時，四邊形的面積取最大值.高頻考點三：實際問題中的四邊形問題典型例題例題1．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學?？茧A段練習）為了迎接亞運會，濱江區(qū)決定改造一個公園，準備在道路的一側(cè)建一個四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路長為4km，四邊形的另外兩個頂點，設計在以為直徑的半圓上.記.(1)為了觀賞效果，需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于km2，則應設計在什么范圍內(nèi)?(2)若，求當為何值時，四邊形的周長最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)，10km【詳解】（1）解：，，由