固體物理學(xué)_金屬電子論總論

1、第六章 金屬電子論 特魯特特魯特 洛倫茲金屬電子論洛倫茲金屬電子論 不考慮電子與電子、電子與離子之間的相互作用不考慮電子與電子、電子與離子之間的相互作用 電子氣體服從麥克斯韋電子氣體服從麥克斯韋 玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律 平衡態(tài)下電子具有確定平均速度和平均自由程平衡態(tài)下電子具有確定平均速度和平均自由程自由電子模型自由電子模型01/38按照經(jīng)典能量均分定理，按照經(jīng)典能量均分定理，N個電子的能量個電子的能量經(jīng)典電子論的成就經(jīng)典電子論的成就32BNk解釋金屬的特征解釋金屬的特征 電導(dǎo)電導(dǎo) 熱導(dǎo)熱導(dǎo) 溫差電溫差電 電磁輸運(yùn)等電磁輸運(yùn)等經(jīng)典電子論的困難經(jīng)典電子論的困難 大多數(shù)金屬大多數(shù)金

2、屬0.01ExperimentalVClassicalVCC對熱容量的貢獻(xiàn)對熱容量的貢獻(xiàn)32BNk T量子力學(xué)對金屬中電子的處理量子力學(xué)對金屬中電子的處理 索末菲在自由電子模型基礎(chǔ)上索末菲在自由電子模型基礎(chǔ)上 提出電子在離子產(chǎn)生的平均勢場中運(yùn)動提出電子在離子產(chǎn)生的平均勢場中運(yùn)動 電子氣體服從費(fèi)密電子氣體服從費(fèi)密 狄拉克分布狄拉克分布 量子理論計算得到電子的熱容量子理論計算得到電子的熱容 解決了經(jīng)典理論的困難解決了經(jīng)典理論的困難06_01 費(fèi)密統(tǒng)計和電子熱容量費(fèi)密統(tǒng)計和電子熱容量 能帶理論是單電子近似能帶理論是單電子近似 每一個電子的運(yùn)動近似看作是獨(dú)立的每一個電子的運(yùn)動近似看作是獨(dú)立的 有一系列

3、確定的本征態(tài)有一系列確定的本征態(tài) 一般金屬只涉及導(dǎo)帶中的電子一般金屬只涉及導(dǎo)帶中的電子 所有電子占據(jù)的狀態(tài)在一個能帶內(nèi)所有電子占據(jù)的狀態(tài)在一個能帶內(nèi)1 費(fèi)密分布函數(shù)費(fèi)密分布函數(shù) 電子氣體服從電子氣體服從泡利不相容原理泡利不相容原理和和費(fèi)米費(fèi)米 狄拉克統(tǒng)計狄拉克統(tǒng)計 熱平衡下本征態(tài)熱平衡下本征態(tài) E被電子占據(jù)的幾率被電子占據(jù)的幾率1( )1FBE Ek Tf Ee 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)物理意義物理意義 能量為能量為E的本征態(tài)上電子的數(shù)目的本征態(tài)上電子的數(shù)目 平均占有數(shù)平均占有數(shù) 費(fèi)米能量費(fèi)米能量 體積不變體積不變, 系統(tǒng)增加一個電子所需的自由能系統(tǒng)增加一個電子所需的自由能FE05/381()

4、2Ff E()/1FBE Ek Te0)(Ef()/1FBE Ek Te1)(Ef()/1( )1FBE Ek Tf Ee 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)1)0TK電子填充能量電子填充能量 幾率幾率FEEFBEEseveral k TFBEEseveral k T()1/2Ff E()/1( )1FBE Ek Tf Ee 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)電子填充能量電子填充能量 幾率幾率FEE( )0FBEEseveral k Tf E ( )1FBEEseveral k Tf E 2)0TK()/1( )1FBE Ek Tf Ee 費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)FEE( )1f E FEE( )0f E 3)

5、在較低溫度時，分布函數(shù)在在較低溫度時，分布函數(shù)在 處發(fā)生很大變化處發(fā)生很大變化FEE能量變化范圍能量變化范圍()1()0FFf EEf EE 溫度上升溫度上升 能量變化范圍變寬能量變化范圍變寬 任何溫度下任何溫度下費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米分布函數(shù)()/1( )1FBE Ek Tf EeBk T該能量范圍約為該能量范圍約為k空間的費(fèi)米面空間的費(fèi)米面FEE0TK的費(fèi)米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占有的費(fèi)米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占有0TK費(fèi)米能量降低，一部分電子被激發(fā)到費(fèi)密面外費(fèi)米能量降低，一部分電子被激發(fā)到費(fèi)密面外10/38dEENdZ)(dEENEfdN)()(0)()(dEENEfN金屬中總的電子數(shù)金屬中總的電

6、子數(shù) 取決費(fèi)密統(tǒng)計分布函數(shù)和電子的能態(tài)密度函數(shù)取決費(fèi)密統(tǒng)計分布函數(shù)和電子的能態(tài)密度函數(shù)之間狀態(tài)數(shù)之間狀態(tài)數(shù)EEdE之間的電子數(shù)之間的電子數(shù)EEdE2 的確定的確定FE0)()(dEENEfN 概述了電子按能概述了電子按能 量統(tǒng)計分布規(guī)律量統(tǒng)計分布規(guī)律3/21/22( )4()mN EVEh( )( )f E N E 取決于費(fèi)密統(tǒng)計取決于費(fèi)密統(tǒng)計 分布函數(shù)和電子分布函數(shù)和電子 的能態(tài)密度函數(shù)的能態(tài)密度函數(shù)321/222( )4mN EVEh0)()(dEENEfN21)(CEEN3/2224mCVhVNn 2202332FhEnm金屬中總的電子數(shù)金屬中總的電子數(shù)自由電子的費(fèi)密能級自由電子的費(fèi)密能

7、級自由電子的能態(tài)密度自由電子的能態(tài)密度00)(FEdEEN3022()3FNC E0FE費(fèi)米能級費(fèi)米能級0TKNEdNEKindEENdN)(結(jié)論：結(jié)論： 絕對零度下，電子仍具有相當(dāng)大的平均能量絕對零度下，電子仍具有相當(dāng)大的平均能量 電子滿足泡利不相容原理電子滿足泡利不相容原理 每個能量狀態(tài)上只能容許兩個自旋相反的電子每個能量狀態(tài)上只能容許兩個自旋相反的電子 所有的電子不可能都填充在最低能量狀態(tài)所有的電子不可能都填充在最低能量狀態(tài) 1/2CEdE035FE00312200/FFEECE dECE dE 電子的平均能量電子的平均能量 平均動能平均動能0TK總的電子數(shù)總的電子數(shù)0)()(dEENE

8、fNEdEENEQ0)()(00( ) ( )( )fNf E Q EQ EdEE引入函數(shù)引入函數(shù) 能量能量E以下的量子態(tài)總數(shù)以下的量子態(tài)總數(shù)應(yīng)用分部積分應(yīng)用分部積分)( )(EQEN能態(tài)密度能態(tài)密度FE電子的費(fèi)密能量電子的費(fèi)密能量0TK15/3800( ) ( )( )fNf E Q EQ EdEE因為因為0( )0EQ E( )0Ef E 0)()(0EQEf0( )fNQ EdEE)( )(EQENEdEENEQ0)()(11)(TkEEBFeEf分布函數(shù)分布函數(shù)()/1( )1FBE Ek Tf Ee()/()/1111FBFBE Ek TE Ek TBfEk Tee0( )fNQ E

9、dEE 的偶函數(shù)的偶函數(shù)FEE 只在只在 附近有顯著的值，具有附近有顯著的值，具有 函數(shù)特點(diǎn)函數(shù)特點(diǎn)FEE( )fNQ EdEE21( )()()()()()2FFFFFQ EQ EQ EEEQ EEE2()()()1()()2FFFFFffNQ EdE Q EEEdEEEfQEEEdEE 保留到二次項保留到二次項EdEENEQ0)()( 將將 在在 附近按泰勒級數(shù)展開附近按泰勒級數(shù)展開( )Q EFE2()()()1()2FFFFFffNQ EdE Q EEEdEEEfQEEEdEE)()(ff()0FfEEdEE1fE 是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù) FEE0 1 21()()()2FFFfNQ

10、EQEEEdEE()/()/1111FBFBE Ek TE Ek TBfEk Tee22()()()2(1)(1)BFFk TdNQ EQEeeTkEEBF引入積分變數(shù)引入積分變數(shù)1BddEk T20/38202()()()()6FFFBQ EQ EQEk T3) 1)(1(22eed22()()()2(1)(1)BFFk TdNQ EQEee0T 000()( )FEFNQ EN E dE一般溫度一般溫度23002.6 10BTKk TeV將將 按泰勒級數(shù)在按泰勒級數(shù)在 附近展開，保留到第二項附近展開，保留到第二項 0FE()FQ E將將 按泰勒級數(shù)在按泰勒級數(shù)在 附近展開，保留到第一項附近

11、展開，保留到第一項 0FE()FQE0()()FFQ Eand Q E 相差不多相差不多202()()()()6FFFBQ EQ EQEk T000()()()()FFFFFQ EQ EQ EEE0()()FFQEQE0022(/6)(/)()FFFBEEEQQk T020021ln( )()6FFFFBEdEEEQ Ek TdE022()()(/6)()()FFFBQ EQ EQEk T因為因為EdEENEQ0)()( )( )Q EN E020201ln( )()6FFFBEFdEEN Ek TEdE020201ln( )()6FFFBEFdEEQ Ek TEdE 近自由電子近自由電子2/

12、1)(EEN2200112BFFFk TEEE 溫度升高溫度升高 費(fèi)密能級下降費(fèi)密能級下降2200112BFFFk TEEE 溫度升高溫度升高 費(fèi)密能級下降費(fèi)密能級下降KT30022.6 10eVBk T0FEseveral eV10FBETk0FFEE 25/383 電子熱容量電子熱容量 金屬中電子總能量金屬中電子總能量0)()(dEEENEfU0( )( )ER EEN E dE0( )fUR EdEE引入函數(shù)引入函數(shù) E以下的量子態(tài)被電子填滿時的總能量以下的量子態(tài)被電子填滿時的總能量應(yīng)用分布積分應(yīng)用分布積分( )( )EN ER E0( )( )Uf E R E dE00()()repl

13、aceFFR EQ E 應(yīng)用費(fèi)密能量的結(jié)果應(yīng)用費(fèi)密能量的結(jié)果00( )( )ffUR EdENQ EdEEE 比較兩式000202()()()(/6)()()FFFFFBNQ EQ EEEQEk T000202()()()(/6)()()FFFFFBUR ER EEEREk T000202()()()(/6)()()FFFFFBUR ER EEEREk T0202ln( )()6FFFBEdEEN Ek TdE000202()ln( )ln( )()()6FFFFBEEUR EdN EdR ER Ek TdEdE 0( )( )( )ER EEN E dEEN E000)()(FEFdEEEN

14、ER T0K 時電子總能量時電子總能量000202()ln( )ln( )()()6FFFFBEEUR EdN EdR ER Ek TdEdE )()()(020TkTkENTkENBBFBF)(0TkENBF20)(TkENBFVVdUCdT20()()3FBBN Ek Tk0202()(/6)()()FFBUR EN Ek T 熱激發(fā)能熱激發(fā)能 熱激發(fā)電子的數(shù)目熱激發(fā)電子的數(shù)目 每個電子獲得的能量每個電子獲得的能量TkB總的激發(fā)能總的激發(fā)能電子熱容量電子熱容量30/38 近自由電子模型下電子熱容量近自由電子模型下電子熱容量22300328FNhEmV312222( )4mN EVEh000

15、()32FFN ENE能態(tài)密度函數(shù)能態(tài)密度函數(shù)000)(FEdEENN從從 得到得到的能態(tài)密度的能態(tài)密度00,FTK EE 近自由電子模型下電子熱容量近自由電子模型下電子熱容量000()3/2FFN ENE20()()3VFBBCN Ek Tk2002BBFk TNkE0QuantumVBClassicalVFCk TCE熱容量熱容量2300101110TKeVeV近自由電子模型下電子熱容量近自由電子模型下電子熱容量2002BVBFk TCNkE 金屬中大多數(shù)電子的能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于費(fèi)密能量金屬中大多數(shù)電子的能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于費(fèi)密能量 由于受到泡利原理的限制不能參與熱激發(fā)由于受到泡利原理的限制不能參與熱激

16、發(fā) 只有在附近約只有在附近約kBT范圍內(nèi)電子范圍內(nèi)電子 參與熱激發(fā)參與熱激發(fā)_對金屬的熱容量有貢獻(xiàn)對金屬的熱容量有貢獻(xiàn)TCbTCCElectronVPhononVMetalV3 一般溫度下晶格振動的熱容量比電子熱容量大得多一般溫度下晶格振動的熱容量比電子熱容量大得多低溫范圍下低溫范圍下 不能忽略電子的熱容量不能忽略電子的熱容量 較高溫度下晶格振動的熱容量是主要的較高溫度下晶格振動的熱容量是主要的 熱容量基本是一個常數(shù)熱容量基本是一個常數(shù)研究金屬熱容量的意義研究金屬熱容量的意義 20()()3VFBBCN Ek Tk 許多金屬的基本性質(zhì)取決于能量在許多金屬的基本性質(zhì)取決于能量在EF附近的電子附近

17、的電子 電子的熱容量與電子的熱容量與 成正比成正比)(0FEN 從電子的熱容量可獲得費(fèi)米面附近能態(tài)密度的信息從電子的熱容量可獲得費(fèi)米面附近能態(tài)密度的信息35/38過渡元素過渡元素 Mn、Fe、Co和和Ni具有較高的電子熱容量具有較高的電子熱容量 d殼層電子填充不滿殼層電子填充不滿 d態(tài)態(tài)(5重簡并重簡并)形成晶形成晶 體時相互重疊較小體時相互重疊較小 附近有較大的能態(tài)密度附近有較大的能態(tài)密度0FE d能帶能帶 具有特別大的能態(tài)密度具有特別大的能態(tài)密度 產(chǎn)生較窄能帶產(chǎn)生較窄能帶 5個能帶發(fā)生一定的重疊個能帶發(fā)生一定的重疊 重費(fèi)密子系統(tǒng)重費(fèi)密子系統(tǒng) 1975年發(fā)現(xiàn)化合物年發(fā)現(xiàn)化合物CeAl3低溫下電子比熱系數(shù)低溫下電子比熱系數(shù)1620mJ K200()()()3VFBBFCN Ek TkN E0()FN E3 21222( )4mN