5.3誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(jì)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

§誘導(dǎo)公式第一課時(shí)1.教學(xué)目標(biāo)（1）從三角函數(shù)的定義出發(fā)，借助單位圓關(guān)于原點(diǎn)的對稱性，推導(dǎo)π＋a的正弦、余弦和正切，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)。（2）類比公式二的推導(dǎo)過程，自主探究a，a的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四、獲得基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（3）建立公式一～公式四之間的聯(lián)系，能利用公式將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，會(huì)用公式一～公式四進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡求值，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式所研究的問題，推導(dǎo)公式二～公式四。教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式所研究的問題，建立單位圓的對稱性與π＋a的正弦、余弦和正切之間的聯(lián)系。3.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一課前檢測，了解學(xué)情（1）歸納公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的共性，指出它們所研究的問題。（2）回答下列問題：①點(diǎn)A（1,2）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)是什么？②寫出與點(diǎn)M（x，y）有如下對稱性的點(diǎn)的坐標(biāo)：關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)__，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)____，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)_____.師生活動(dòng)：對于第（1）問，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從條件和結(jié)論兩個(gè)角度進(jìn)行分析，得出條件的共性，然后給出結(jié)論：它們研究的是“角的終邊相同”時(shí)同名三角函數(shù)、三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系（由公式一，只要研究同角的三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系即可）。對于問題（2），讓學(xué)生代表發(fā)言，有問題時(shí)進(jìn)行修正、補(bǔ)充。［設(shè)計(jì)意圖］通過問題（1），提升學(xué)生對公式一和三角函數(shù)基本關(guān)系式的理解水平，并為提出新問題做好鋪墊；通過問題（2），檢查學(xué)生對直角坐標(biāo)系中具有特殊對稱性的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的掌握情況，為得到公式二～公式四做好準(zhǔn)備。環(huán)節(jié)二創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1前面我們從三角函數(shù)的定義出發(fā)，研究了角的終邊相同時(shí)同名三角函數(shù)以及各三角函數(shù)之間的相互關(guān)系?！敖堑慕K邊相同”是一種非常特殊的位置關(guān)系，一個(gè)自然的想法是：角的終邊不同時(shí)，有什么特殊的關(guān)系值得研究？請同學(xué)們思考、回答。師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行小組交流，再進(jìn)行全班交流，得出值得研究的問題：當(dāng)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對稱時(shí)，它們的三角函數(shù)有什么關(guān)系？因?yàn)槿呛瘮?shù)的定義是以單位圓為背景的，所以可以借助單位圓的對稱性，研究角a、β的三角函數(shù)之間的關(guān)系。［設(shè)計(jì)意圖］從已有知識(shí)出發(fā)，自然而然地發(fā)現(xiàn)和提出問題，在宏觀上明確學(xué)習(xí)任務(wù)，即單位圓的對稱性（圖）一三角函數(shù)的關(guān)系（數(shù)）。環(huán)節(jié)三公式二～公式四的探究問題2如圖，設(shè)任意角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，作P1關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P2，以O(shè)P2為終邊的角β與角a有什么數(shù)量關(guān)系？角β與角a的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？師生活動(dòng)教師先引導(dǎo)學(xué)生思考并明確要研究的兩個(gè)問題：終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系：這兩個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系。教師帶領(lǐng)學(xué)生分析如何解決問題，得出研究思路：圓的對稱性一角的數(shù)量關(guān)系一點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系一三角函數(shù)間的關(guān)系一得出公式學(xué)生先獨(dú)立思考、推導(dǎo)公式，再進(jìn)行小組交流，最后進(jìn)行全班展示。板書如下：sin(π+α)=sina,cos(π+α)=cosa,tan(π+α)=tana。追問1如何理解a是任意角呢？師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考、討論，再進(jìn)行全班交流，得出：無論角a的終邊在什么位置，點(diǎn)P1、P2關(guān)于原點(diǎn)對稱的位置關(guān)系不變，因此坐標(biāo)間的關(guān)系也不變，π＋a與a的三角函數(shù)值的關(guān)系就不會(huì)改變。追問2歸納推導(dǎo)公式二的過程，你能給出主要的思路嗎？師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行全班交流，教師引導(dǎo)學(xué)生：［設(shè)計(jì)意圖］帶領(lǐng)學(xué)生梳理探究思路，進(jìn)一步明確探究的方向和步驟。在探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)定義出發(fā)，使他們認(rèn)識(shí)到可以利用圓的對稱性研究三角函數(shù)的性質(zhì)，感受由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。同時(shí)，探究過程中注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一般性思考，在得出公式的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，并在思想方法上為后續(xù)的自主探究打下基礎(chǔ)。問題3你能類比公式二的探究過程和方法，自主探究終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)關(guān)系嗎？師生活動(dòng)學(xué)生自主探究、小組討論，師巡視觀察小組討論情況，適時(shí)、適度參與其中，尋找典型問題造行全班展示，并組織學(xué)生辨析，學(xué)生可能對終邊關(guān)于y軸對稱時(shí)、相應(yīng)的角知間的關(guān)系不會(huì)找，或?qū)Λ@得結(jié)論的解釋不正確，教師應(yīng)從任意角的概念和運(yùn)算的角度引導(dǎo)學(xué)生思考。設(shè)計(jì)意圖：有了公式二的經(jīng)驗(yàn)，估計(jì)大多數(shù)學(xué)生可以獨(dú)立完成公式三、四的推導(dǎo)。將角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對稱時(shí)的三角函數(shù)關(guān)系一起讓學(xué)生探究，既突出了誘導(dǎo)公式的整體研究架構(gòu)，又檢驗(yàn)了學(xué)生對公式二的學(xué)習(xí)效果。教師可以組織學(xué)生開展自主探究、組內(nèi)交流、典型問題展示、質(zhì)疑思辨等多樣化學(xué)習(xí)活動(dòng)，給學(xué)生充足的自主學(xué)習(xí)空間，從而把這一內(nèi)容的育人功能充分發(fā)揮出來。環(huán)節(jié)四在練習(xí)中歸納公式的用法練習(xí)利用公式求下列三角函數(shù)值：(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(2040°)。師生活動(dòng)先由學(xué)生獨(dú)立思考，分析運(yùn)算對象，選擇運(yùn)算公式，求得運(yùn)算結(jié)果；再讓學(xué)生分組討論，交流求解方法。教師巡視觀察，發(fā)現(xiàn)典型解法，展示交流選擇誘導(dǎo)公式的方法。追問通過上面四個(gè)題目的解答，你對公式一～公式四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)的步驟嗎？師生活動(dòng)先由學(xué)生闡述自己的想法，老師帶領(lǐng)學(xué)生一起總結(jié)：基本步驟：明確角所在的象限，選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式，按照程序進(jìn)行運(yùn)算，求得運(yùn)算結(jié)果。［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生在自主選擇公式求解問題的過程中，體會(huì)公式一～公式四各自的作用，總結(jié)根據(jù)題目的條件選擇公式的方法和步驟，獲得解題技能，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)問題4回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下面的問題：（1）本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)，運(yùn)用公式二～公式四將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角的三角函數(shù)的基本步驟是怎樣的？（2）我們是如何發(fā)現(xiàn)和提出本節(jié)課所要研究的問題的？（3）探索公式二～公式四，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？用了哪些方法？）稱議為還有哪些問題值得研究？師生互動(dòng):教師用PPT呈現(xiàn)上述問題，給學(xué)生思考的時(shí)間，然后讓學(xué)生給出答案、發(fā)表看法、教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)歸納。設(shè)計(jì)意圖：（1）通過回顧，進(jìn)一步明確誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)和運(yùn)用步驟，提升對誘導(dǎo)公式的整體認(rèn)識(shí)，提高解題能力。（2）回顧從“角的終邊相同”時(shí)三角函數(shù)的關(guān)系、到“角的終邊具有特殊對稱性”時(shí)三角函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步落實(shí)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。（3）誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)的基本性質(zhì)，本節(jié)課從三角函數(shù)定義出發(fā)，借助單位圓的對稱性、先探索終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，再利用單位圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得出公式二、研究過程中，運(yùn)用了對稱、坐標(biāo)變換、函數(shù)變換等思想和方法、探究公式二的思想和方法具有普適性。（4）接下來要探究的是角的終邊關(guān)于直角坐標(biāo)系中特殊直線對稱的問題。環(huán)節(jié)六目標(biāo)檢測，檢驗(yàn)效果題1：利用公式二一公式四求下列三角函數(shù)值：(1)