預(yù)習(xí)01集合的概念（六大考點）

預(yù)習(xí)01集合的概念一、元素與集合的概念1．元素與集合的概念（1）元素：一般地,把研究對象統(tǒng)稱為元素,元素常用小寫的拉丁字母表示．（2）集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）,集合通常用大寫的拉丁字母表示．（3）集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性（1）確定性：給定的集合,它的元素必須是確定的．也就是說,給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說,集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后,沒有順序的．簡記為“無序性”．注意：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素,研究集合問題的核心即研究集合中的元素,因此在解決集合問題時,首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點,也可以是一些人或一些物．二、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果是集合A的元素,就說屬于集合A,記作．（2）不屬于：如果不是集合A的元素,就說不屬于集合A,記作．（1）符號刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個元素與一個集合A而言,只有“”與“”這兩種結(jié)果．（2）和具有方向性,左邊是元素,右邊是集合,形如是錯誤的．三、常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法或四、集合的表示方法1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．（1）元素與元素之間必須用“，”隔開．（2）集合中的元素必須是明確的．（3）集合中的元素不能重復(fù)．（4）集合中的元素可以是任何事物．2．描述法（1）定義：一般地，設(shè)表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．（2）具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．注意：（1）寫清楚集合中元素的符號．如數(shù)或點等．（2）說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等．（3）不能出現(xiàn)未被說明的字母．考點01 集合的基本概念【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例1】下列對象中不能構(gòu)成一個集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【答案】A【詳解】A：比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清，故不能構(gòu)成集合；B：，方程根確定，可構(gòu)成集合；C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構(gòu)成集合；D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構(gòu)成集合.故選：A【例2】(多選)下列各組對象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù)B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù)D．函數(shù)圖象上所有的點【答案】ACD【詳解】選項A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項B中，“難題”沒有標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合．故選：ACD【變式11】給出下列說法：①在一個集合中可以找到兩個相同的元素；②好聽的歌能組成一個集合；③高一（1）班所有姓氏能構(gòu)成集合；④把1，2，3三個數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個數(shù)組成的集合有6個.其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】①集合中的元素不能相同，所以在一個集合中不可以找到兩個相同的元素，因此本序號說法不正確；②因為好聽的歌標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以好聽的歌不能組成一個集合，因此本序號的說法不正確；③因為高一（1）班所有姓氏是確定的，所以可以構(gòu)成一個集合，因此本序號的說法是正確的；④根據(jù)集合元素的無序性，由這三個數(shù)組成的集合只有一個，因此本序號說法不正確，因此正確的個數(shù)為1，故選：B【變式12】下列對象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績較好的同學(xué)全體 B．與10接近的實數(shù)全體C．絕對值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學(xué)生【答案】C【詳解】對于A，成績較好不是一個確定的概念，不能構(gòu)成集合，故A不符合；對于B，與10接近的不是一個確定的概念，不能構(gòu)成集合，故B不符合；對于C，絕對值小于5的整數(shù)全體是個明確的概念，并且給定一個元素能確定是否屬于這個整體，故能構(gòu)成集合，故C符合；對于D，興趣廣泛的不是一個確定的概念，不能構(gòu)成集合，故D不符合.故選：C.【變式13】考察下列每組對象能否構(gòu)成一個集合.(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；(2)方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某班的所有高個子同學(xué)；(4)的近似值的全體.【答案】(1)能(2)能(3)不能(4)不能【詳解】（1）對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合.（2）方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解是或，所以方程能構(gòu)成集合.（3）“高個子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個集合.（4）“的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合.考點02 用列舉法表示集合【方法點撥】求出集合的元素，把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次，最后用花括號括起來【例3】用列舉法表示小于4的自然數(shù)構(gòu)成的集合，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】小于4的自然數(shù)構(gòu)成的集合為，故選：A.【例4】用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程的實數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合C.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為大于1且小于6的整數(shù)包括2，3，4，5，所以.（2）因為方程的實數(shù)根為，所以.（3）聯(lián)立，解得，所以一次函數(shù)與的交點為，所以.【變式21】大于小于的正整數(shù)用列舉法表示.【答案】【詳解】由題意大于小于的正整數(shù)用列舉法表示為：.故答案為：.【變式22】英文單詞good的所有字母組成的集合記為，用列舉法表示集合．【答案】【詳解】根據(jù)集合元素的互異性可知集合．故答案為：【變式23】用合適的方法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解方程，解得，所以解集可以用列舉法表示為.（2）大于1且小于7的所有整數(shù)為，所以用列舉法表示為.考點03 用描述法表示集合【方法點撥】（1）用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示；（2）用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍；（3）多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．【例5】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D．【例6】試用描述法表示下列集合.(1)方程的所有實數(shù)根組成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合；(3)二次函數(shù)圖象上的所有點組成的集合.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)方程的實數(shù)根為，并且滿足條件，用描述法表示為.（2）設(shè)大于10且小于20的整數(shù)為x，它滿足條件，且，故用描述法表示為.（3）二次函數(shù)圖象上的所有的點用描述法表示為.【變式31】集合，用列舉法表示是.【答案】【詳解】集合，故用列舉法表示是.故答案為：【變式32】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點組成的集合．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）因為不等式的解組成的集合為，則集合中的元素是數(shù).設(shè)代表元素為x，則x滿足，所以，即．（2）設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則．又因為元素為正整數(shù)，故．所以被3除余2的正整數(shù)的集合（3）設(shè)偶數(shù)為x，則．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因為平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即，故第二象限內(nèi)的點的集合為．【變式33】用描述法表示下列集合；(1)不等式的解集．(2)所有的偶數(shù)組成的集合．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解不等式得，所以，原不等式的解集用描述法表示為.（2）所有的偶數(shù)組成的集合為.考點04 判斷元素與集合的關(guān)系【方法點撥】判斷元素與集合關(guān)系：（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可；（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例7】已知集合，則與集合的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以與集合的關(guān)系為.故選：B.【例8】若集合，，則中所有元素的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，分別取，，，分別為，，；當(dāng)時，分別取，，，分別為，，；當(dāng)時，分別取，，，分別為，，，故，所有元素之和為.故選：B.【變式41】以下選項中，不是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于A,當(dāng)時，，故不是的元素，對于B，當(dāng)時，，故是的元素，對于C，當(dāng)時，，故是的元素，對于D，當(dāng)時，，故是的元素，故選：A【變式42】(多選)已知集合，，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】由題知：集合A為奇數(shù)集，集合B為偶數(shù)集，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)．所以是奇數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)．即，，，.故選：ABC．【變式43】用“”或“”填空：（1）若，則1A，1A；（2）若，則1B，1.5B；（3）若，則0.2C，3C．【答案】【詳解】因為，所以；因為，所以；因為，所以；故答案為：，，，，，.考點05 常用的數(shù)集【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例9】已知，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】因為，且，所以.故選：A.【例10】已知集合，則集合為.【答案】【詳解】，且，為15的因數(shù)，或3或5或15，解得或12或10或0，集合為.故答案為：.【變式51】下列關(guān)系中正確的個數(shù)為（

）①，②，③，④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【詳解】對于①，，①錯誤；對于②，，②正確；對于③，，③錯誤；對于④，，④錯誤，故正確的個數(shù)為1個.故選：A【變式52】使用“”“”和數(shù)集符號來替代下列自然語言：（1）“255是正整數(shù)”即()；（2）“不是有理數(shù)”即()；（3）“3.1416是正有理數(shù)”即()；（4）“是整數(shù)”即()；（5）“是負(fù)實數(shù)”即()．【答案】【詳解】（1）由“255是正整數(shù)”，可表示為；（2）由“不是有理數(shù)”，可表示為；（3）由“3.1416是正有理數(shù)”，可表示為；（4）由“是整數(shù)”，可表示為；（5）由“是負(fù)實數(shù)”，可表示為.【變式53】用列舉法表示集合且為．【答案】【詳解】時，，時，，時，，所以集合且.故答案為：.考點06 根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【方法點撥】利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【例11】已知集合，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【詳解】由，若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），，此時符合集合元素的特性；若，即，則不符合集合元素的互異性.故.故選：B.【例12】若，用列舉法表示集合.【答案】【詳解】由題意可知，是方程的一個根，則，代入方程，即，解得或，所以，故答案為：【變式61】已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得且，解得．故選：A【變式62】已知含有兩個元素的集合，其中．(1)實數(shù)m不能取哪些數(shù)？(2)若，求實數(shù)m的值．【答案】(1)不能取0和4；(2)．【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，解得且，因此，實數(shù)m不能取0和4；（2）由（1）的結(jié)論，可知m≠4，若，則，解得（不符合題意），因此，實數(shù)m的值是．【變式63】若，則．【答案】2【詳解】因為，所以或，若，，不滿足互異性；若或2，又，所以，故答案為：2.一、單選題1．下列給出的對象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級新生；②的所有近似值；③某個班級中學(xué)習(xí)成績較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】對于①：某校2023年入學(xué)的全體高一年級新生，對象確定，能構(gòu)成集合，故①正確；對于②：的所有近似值，根據(jù)精確度不一樣得到的近似值不一樣，對象不確定，故不能構(gòu)成集合，故②錯誤；對于③：某個班級中學(xué)習(xí)成績較好是相對的，故這些學(xué)生對象不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯誤；對于④：不等式的所有正整數(shù)解有、、，能構(gòu)成集合，故④正確；故選：B2．已知集合，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由方程，解得或，所以，所以，，.故選：A.3．若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．32【答案】A【詳解】由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A4．下列命題中正確的（

）①與表示同一個集合；②由組成的集合可表示為或；③方程的所有解的集合可表示為；④集合可以用列舉法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上語句都不對【答案】C【詳解】①{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個元素，故①錯誤；②符合集合中元素的無序性，正確；③不符合集合中元素的互異性，錯誤；④中元素有無窮多個，不能一一列舉，故不能用列舉法表示，錯．故選：C5．已知集合只有一個元素，則實數(shù)的值為（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2【答案】A【詳解】若集合只有一個元素，則方程只有一個解，當(dāng)時，方程可化為，滿足題意，當(dāng)時，方程只有一個解，則，解得，所以或.故選：.二、多選題6．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由正整數(shù)、有理數(shù)、整數(shù)的定義知：，，，，所以A、C錯，B、D對.故選：BD7．若以集合A中的四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形不可能是（

）A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形【答案】BCD【詳解】因為集合中的元素具有互異性，所以，所以可以構(gòu)成四邊都不相等的梯形，但是不可能構(gòu)成平行四邊形，菱形和矩形.故選：BCD三、填空題8．已知①；②；③④，其中正確的為（填序號）.【答案】①③【詳解】；；；，故①③正確.故答案為：①③9．已知集合，若，則實數(shù)的值為【答案】/0.5【詳解】因為，，所以或，解得或.當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍；當(dāng)時，，符合題意.綜上，.故答案為：四、解答題10．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；(