湖南省高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題

PAGEPAGE14湖南省2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：解答題按新高考范圍，小題只考集合，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，向量，不等式，數(shù)列，立體幾何．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．vs B． C． D．2．棱長為2的正四面體的表面積是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，則（）A．2 B．1 C．2或 D．1或4．明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，形成了一套先進(jìn)航海技術(shù)——“過洋牽星術(shù)”．簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時(shí)辰的日月星辰在天空運(yùn)行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位．其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長約24厘米（稱十二指）觀測時(shí)，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對(duì)著所觀測的星辰，依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測星辰落在木板上邊緣時(shí)所用的是幾指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為六指板，則（）A． B． C． D．5．已知，下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．6．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AB的中點(diǎn)，直線AE與直線DF交于點(diǎn)P，則（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且值域?yàn)镽的有（）A． B．C． D．10．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則（）A． B．是等差數(shù)列C． D．11．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．12．如圖，在正方體中，點(diǎn)E在棱上，且，F(xiàn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．存在一點(diǎn)F，使得C．三棱錐的體積與點(diǎn)F的位置無關(guān)D．直線與平面AEF所成角的正弦值的最小值為第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知向量，，且，則________．14．在三棱柱中，平面，四邊形是正方形，且，E在棱上，且，則異面直線與BE所成角的余弦值為________．15．已知，，且，則的最小值是________．16．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在遞增的等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，的面積是56，且________，求的周長．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．（12分）隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們生活水平的不斷提高，越來越多的人選擇投資“黃金”作為理財(cái)手段．下面隨機(jī)抽取了100名把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人，根據(jù)他們的年齡情況分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人年齡的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）（2）為了進(jìn)一步了解該100名投資人投資黃金的具體額度情況，按照分層抽樣的方法從年齡在和的投資人中隨機(jī)抽取了5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，X表示這3人中年齡在的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，，，將沿AC折到的位置，使得，如圖所示．（1）證明：；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求m的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）證明：．（2）若是的極值點(diǎn)，且．若，且．證明：．高三數(shù)學(xué)試卷參考答案1．A因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以?．D棱長為2的正四面體的表面積是．3．C當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，或．4．A由題知六指為12厘米，則，則．5．D．因?yàn)椋?，，所以，則一定成立，排除A；因?yàn)?，且，所以一定成立，排除B；因?yàn)椋砸欢ǔ闪?，排除C；當(dāng)，，時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，，則不一定成立．6．B如圖，因?yàn)镻，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以．因?yàn)辄c(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，所以，則．因?yàn)锳，P，E三點(diǎn)共線，所以，所以，解得，故．7．C因?yàn)椋裕砜傻?，則．當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，即滿足條件的k的個(gè)數(shù)為5．8．B設(shè)，則．因?yàn)?，所以，即，故在R上單調(diào)遞增．因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，不等式，即，則．9．AC由題意可得和都是奇函數(shù)，且值域?yàn)镽，是奇函數(shù)，但值域?yàn)?，是奇函?shù)，但值域?yàn)椋?0．ACD當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，則．當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故，．11．BD因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，則的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤．因?yàn)榈膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確．當(dāng)時(shí)，，所以，則，故C錯(cuò)誤．設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即，所以．?dāng)時(shí)，，所以．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，故D正確．12．ABC如圖，連接BD．易證平面BDEF，則，故A正確．在上取一點(diǎn)H，使得，連接，，，易證四邊形為平行四邊形，則，．若，易證四邊形為平行四邊形，則，，從而，，故四邊形為平行四邊形，于是，故B正確．設(shè)，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，則，即三棱錐的體積與正方體的棱長有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無關(guān)，故C正確．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，從而，，．設(shè)平面AEF的法向量，則，令，得，從而，即直線與平面AEF所成角的正弦值為．因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤．13．1由題意可得．因?yàn)?，所以，解得?4．如圖，取的四等分點(diǎn)F（點(diǎn)F靠近），連接EF，BF．易證，則為異面直線與BE所成的角．設(shè)，則，，，故．15．16因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．16．，即，解得或．由的圖象（圖略）可得，解得，即m的取值范圍是．17．解：（1）由題意可得，解得，．故．（2）由（1）可得，則，故．18．解：若選①，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，不妨設(shè)，，，則的面積為，解得，從而，，，故的周長為．若選②，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，所以．以下步驟同①若選③，因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕韵虏襟E同①．19．解：（1）因?yàn)?，，所以年齡的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為m，則，解得．（2）由題意可知，100名投資人中，年齡在的有30名，年齡在的有20名，則利用分層抽樣抽取的5人中，年齡在的有3名，在的有2名，則X的可能取值為1，2，3，，，，X的分布列為X123P故．20．（1）證明：因?yàn)锳BCD是菱形，所以，則，，因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，且，所以平面PBE．因?yàn)槠矫鍼BE，所以．（2）解：取DE的中點(diǎn)O，連接OP，取CD的中點(diǎn)F，連接OF，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，由?）可知平面PBE，所以平面平面ABCD，則平面ABCD．故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，則，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則，令，得．設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，得，設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為，則．21．解：（1）由題意可得，解得，．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以．因?yàn)锳，B在橢圓上，所以，，所以，整理得，所以，所以．因?yàn)辄c(diǎn)M在直線上，所以，則．由，得，則或，解得或．故m的取值范圍為．22．證明：（1）因?yàn)椋?，則，解得，故．令，則．由，得；由，得．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．（2）由（1）可知