第十章 馬爾科夫預(yù)測方法

市場調(diào)查與預(yù)測陳靜沈陽航空航天大學(xué)市場營銷系2024/9/111

第十章馬爾科夫預(yù)測方法

馬爾柯夫預(yù)測法是應(yīng)用概率論中馬爾柯夫鏈的理論和方法來研究分析有關(guān)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變化規(guī)律并借此預(yù)測未來狀況的一種預(yù)測方法。所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機(jī)時(shí)間序列它在將來取什么值，只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過去取什么值無關(guān)，即無后效性（系統(tǒng)在每一時(shí)刻的狀態(tài)僅僅取決于前一時(shí)刻的狀態(tài)）。具備這個(gè)性質(zhì)的離散性隨機(jī)過程，稱為馬爾柯夫鏈。2024/9/112

10.1馬爾柯夫預(yù)測方法概述

馬爾柯夫鏈的理論和方法是從研究對象在不同時(shí)刻的狀態(tài)入手，考察并描述狀態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)移的可能性以及研究對象所有的變化過程，在此基礎(chǔ)上對所研究對象未來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)進(jìn)行預(yù)測。下面我就馬爾柯夫預(yù)測法相關(guān)的基本概念做一簡單介紹。2024/9/113

10.1.1狀態(tài)

在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的研究中，一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在某一時(shí)刻t所出現(xiàn)的某種結(jié)果，就是該系統(tǒng)在時(shí)間t所處的狀態(tài)。因所研究的現(xiàn)象及預(yù)測的目標(biāo)不同，狀態(tài)的劃分可有不同的表現(xiàn)形式。比如：在市場預(yù)測中，可把銷售狀況劃分為“暢銷”、“一般”、“滯銷”三種狀態(tài)；在企業(yè)經(jīng)營預(yù)測中，可把經(jīng)營狀況劃分為“盈利”、“虧損”兩種狀態(tài)，等等。通常，我們把隨機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)變量X在時(shí)刻t所處的狀態(tài)i表示為：Xt＝i(i=1、2、…、n；t=1、2、…)………………（10-1）2024/9/114

10.1.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

概率論中的條件概率P（B∣A）表示由狀態(tài)B轉(zhuǎn)向狀態(tài)A的概率，簡稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。條件概率P（B∣A）在實(shí)際應(yīng)用中的含義，隨問題性質(zhì)不同而不同，當(dāng)A與B皆為兩個(gè)事件時(shí)，它反映了在事件A出現(xiàn)的情況下事件B出現(xiàn)的概率；當(dāng)B為事件，A為某種狀態(tài)時(shí)，它反映了在A狀態(tài)下，事件B出現(xiàn)的概率；當(dāng)A，B均為兩個(gè)不同的狀態(tài)時(shí)，而且AB＝?那么P（B∣A）則反映了狀態(tài)A轉(zhuǎn)向狀態(tài)B的概率。它是馬爾柯夫理論中研究狀態(tài)轉(zhuǎn)移的一個(gè)重要參量。對于由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的概率，我們稱之為從i到j(luò)的轉(zhuǎn)移概率記為：Pij＝P（Ej∣Ei）＝P（Ej→Ei）＝P（xn+1＝j(luò)∣xn＝i）……（10-2）2024/9/115例10-1某地區(qū)有甲、乙、丙三家家電廠家生產(chǎn)同一種家電，有1000個(gè)用戶（或購貨點(diǎn))，假定在研究期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的轉(zhuǎn)移，已知2013年5月份有500戶是甲廠的顧客；400戶是乙廠的顧客；100戶是丙廠的顧客。6月份，甲廠有400戶原來的顧客，上月的顧客有50戶轉(zhuǎn)乙廠，50戶轉(zhuǎn)丙廠；乙廠有300戶原來的顧客，上月的顧客有20戶轉(zhuǎn)甲廠，80戶轉(zhuǎn)丙廠；丙廠有80戶原來的顧客，上月的顧客有10戶轉(zhuǎn)甲廠，10戶轉(zhuǎn)乙廠。試計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。2024/9/116解：有已知可繪制出該地區(qū)甲、乙、丙三家廠家的顧客轉(zhuǎn)移表如表10-1所示。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可計(jì)算出：P11＝400/500＝0.8P12＝50/500＝0.1P13＝50/500＝0.1P21＝20/400＝0.05P22＝300/400＝0.75P23＝80/400＝0.2P31＝10/100＝0.1P32＝10/100＝0.1P33＝80/100＝0.82024/9/1172024/9/11810.1.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣完全描述了所研究對象的變化過程。若系統(tǒng)在時(shí)刻t0處于狀態(tài)i，經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移，在時(shí)刻tn處于狀態(tài)j。那么，對這種轉(zhuǎn)移的可能性的數(shù)量描述稱為n步轉(zhuǎn)移概率。記為：并且：則稱P（n）為n步轉(zhuǎn)移概率矩陣。特別是當(dāng)n=2時(shí)，Pij（2）為二步轉(zhuǎn)移概率，P（2）為二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。2024/9/1192024/9/11102024/9/11112024/9/111210.2馬爾柯夫預(yù)測方法

馬爾柯夫預(yù)測方法在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中有著廣泛的用途。通過運(yùn)用馬爾柯夫鏈的方法去建立預(yù)測模型，就可以預(yù)測下一期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)，還可以進(jìn)行市場占有率預(yù)測和期望利潤預(yù)測，從而形成相應(yīng)的預(yù)測方法2024/9/1113

10.2.1馬爾柯夫鏈預(yù)測法

馬爾柯夫鏈預(yù)測法（最簡單類型）是預(yù)測下一期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)，可按以下步驟進(jìn)行：第一步，劃分預(yù)測對象所出現(xiàn)的狀態(tài)。第二步，計(jì)算初始概率。在實(shí)際問題中，分析歷史資料所得的狀態(tài)概率稱為初始概率。設(shè)有N個(gè)狀態(tài)E1，E2，…，EN。觀察M個(gè)時(shí)期，其中狀態(tài)Ei（i＝1，2，…，N）共出現(xiàn)Mi次。于是fi=Mi/M

………………（10-9）就是且出現(xiàn)的頻率，我們用它近似表示Ei的概率。即fi≈Pi

（i＝1、2、...、N）

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10.2.2市場占有率預(yù)測

企業(yè)的產(chǎn)品在市場銷售總額中各占一定的比例，如何通過現(xiàn)有的市場占有率和轉(zhuǎn)移概率去預(yù)測企業(yè)在其后時(shí)期的占有率，對企業(yè)正確定位，制定相應(yīng)政策和發(fā)展戰(zhàn)略有重大意義。

馬爾柯夫預(yù)測的基本原理是：本期市場占有率僅取決于上期市場占有率及轉(zhuǎn)移概率。如果假設(shè)：市場的發(fā)展變化只與當(dāng)前市場條件有關(guān)，沒有新的競爭者加入，也沒有老的競爭者退出，顧客容量保持不變，顧客在不同品牌之間流動(dòng)的概率保持不變，就可用這種預(yù)測法對市場占有率進(jìn)行預(yù)測。2024/9/1116如果市場的顧客（或用戶）流動(dòng)趨向長期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過一段時(shí)期以后的市場占有率，將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。所謂穩(wěn)定的市場平衡狀態(tài)，就是顧客（或用戶）的流動(dòng)對市場占有率將不起影響。即各廠喪失的顧客（或用戶）與爭取到的顧客（或用戶）相抵消。這時(shí)的市場占有率，稱為終極市場占有率。為求出這種穩(wěn)定的市場占有率以預(yù)測長期趨勢，我們先定義標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣。如果P為概率矩陣，且存在m>0，使P中諸要素皆非負(fù)非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣。2024/9/1117標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣有以下性質(zhì)：若P是標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則必存在非零行向量，

使得，稱為P的平衡向量標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣的這一性質(zhì)很有實(shí)用價(jià)值。因?yàn)樵谑袌稣加新暑A(yù)測中，用戶轉(zhuǎn)移概率矩陣恰好是標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，當(dāng)P穩(wěn)定不變時(shí)通過多步轉(zhuǎn)移后，市場占有率將達(dá)到平衡狀態(tài)。此時(shí)，各廠的用戶占有率不再發(fā)生變化。

α表示終極用戶占有率。2024/9/1118

10.2.3期望利潤預(yù)測

在企業(yè)的經(jīng)營管理中，除了需要模清銷路的變化情況外，還要對利潤的變化進(jìn)行預(yù)測。比如某商品的銷售狀態(tài)有暢銷（E1）和滯銷（E2）兩種。通過調(diào)查、統(tǒng)計(jì)，除得知銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P外，還獲知利潤的分布情況R：R稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移利潤矩陣。γij（i，j＝1，2）表示由Ei轉(zhuǎn)到Ej的利潤。當(dāng)γij>0表示盈利，γij<0表示虧本，0表示不盈不虧。根據(jù)已知的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和利潤矩陣就可對未來的利潤進(jìn)行預(yù)測，這就是期望利潤預(yù)測的基本思路。2024/9/11192024/9/112010.3馬爾柯夫預(yù)測方法的實(shí)際應(yīng)用1在商品