海南省北師大萬(wàn)寧附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE13海南省北師大萬(wàn)寧附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（考試時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分）一、單項(xiàng)選擇題（共8題，每題5分，共40分）1．已知，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)意，則（）A． B． C． D．23．已知直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（）A． B．1 C．或 D．4．命題“”是命題“直線(xiàn)和直線(xiàn)平行”的（）.A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．已知，，且，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．6．若圓與圓有三條公切線(xiàn)，則的值為（）A．2 B． C．4 D．67．若直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，則的最小值是（）A．10 B．16 C． D．208．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)意，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)隨意，都有，則m的取值范圍是（）A．B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題（共4題，每題5分，共20分）9．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為C．函數(shù)的定義域?yàn)镈．函數(shù)是奇函數(shù)10．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）A．2個(gè)球都是紅球的概率為 B．2個(gè)球不都是紅球的概率為至少有1個(gè)紅球的概率為 D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為11．已知直線(xiàn)和，若直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離與到直線(xiàn)的距離之比為，則直線(xiàn)的方程為（）A．B．C． D．12．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，，則（）A．平面B．異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為C．平面D．點(diǎn)到平面的距離為填空題（共4題，每題5分，共20分）13．已知函數(shù)f(x)=，則的值為.14．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)方程為.15．已知，則.16．已知圓，若圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，則的取值范圍是．解答題（共6題，17題10分，18—22題每題12分，共70分）17．（10分）已知兩圓和．（1）求圓和公共弦的長(zhǎng)度；（2）求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)以及圓和圓交點(diǎn)的圓的方程．18．（12分）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（1）的一條折線(xiàn)表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（2）的拋物線(xiàn)段表示.（1）寫(xiě)出圖（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；寫(xiě)出圖（2）表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/100kg，時(shí)間單位：天.）19．（12分）如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長(zhǎng)方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的中點(diǎn)（圖2）．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求二面角的余弦值．20．（12分）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線(xiàn)上并作答.的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知______.（1）求角；（2）若，，求的面積.21．（12分）為了解某市家庭用電量的狀況，該市統(tǒng)計(jì)部門(mén)隨機(jī)調(diào)查了200戶(hù)居民去年一年的月均用電量（單位：），并將得到數(shù)據(jù)按如下方式分為9組：，，…，，繪制得到如下的頻率分布直方圖：（1）試估計(jì)抽查樣本中用電量在的用戶(hù)數(shù)量；（2）為了既滿(mǎn)意居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府安排采納階梯電價(jià)，使的居民繳費(fèi)在第一檔，的居民繳費(fèi)在其次檔，其余的居民繳費(fèi)在第三檔，試基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定其次檔月均用電量的范圍（計(jì)算百分位數(shù)時(shí)，結(jié)果四舍五入取整數(shù)，范圍用左開(kāi)右閉區(qū)間表示）（3）為了解用戶(hù)的詳細(xì)用電需求，統(tǒng)計(jì)部門(mén)確定在樣本中月均用電量為和的兩組居民用戶(hù)中隨機(jī)抽取兩戶(hù)進(jìn)行走訪(fǎng)，求走訪(fǎng)對(duì)象來(lái)自不同分組的概率.22．（12分）已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若圓內(nèi)有動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)動(dòng)弦所在的直線(xiàn)的方程.2024-2025學(xué)年度高二數(shù)學(xué)期中考試卷參考答案單選題12345678DBDADCBB二、多選題9101112ABDACDBDACD三、填空題13．14．15．16．四、解答題17．(10分)已知兩圓和．（1）求圓和公共弦的長(zhǎng)度；（2）求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)以及圓和圓交點(diǎn)的圓的方程．【解析】（1）將兩圓方程相減，得公共弦所在直線(xiàn)方程為．……1分將代入圓得，有，．……3分∴或，交點(diǎn)坐標(biāo)為和．…4分∴兩圓的公共弦長(zhǎng)為．……5分（2）設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)以及圓和圓交點(diǎn)的圓的方程為，圓和圓交點(diǎn)坐標(biāo)為和∴，……7分得，……9分∴……10分18．(12分)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（1）的一條折線(xiàn)表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（2）的拋物線(xiàn)段表示.（1）寫(xiě)出圖（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；寫(xiě)出圖（2）表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/100kg，時(shí)間單位：天）.【解析】（1）由圖（1）可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為……3分由圖（2）可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為……5分（2）設(shè)時(shí)刻的純收益為，則即……7分當(dāng)時(shí)，配方得到當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值為；……………9分當(dāng)時(shí)，配方整理得到：當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值為…………11分綜上所述，在區(qū)間上的最大值為，此時(shí)……………12分即從月日起先的第天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大.19．(12分)如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長(zhǎng)方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的中點(diǎn)（圖2）．（1）證明：平面：（2）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求二面角的余弦值．【解析】（1）作的中點(diǎn)，連接，由題知平面．……1分因?yàn)?，所以，…?分又因?yàn)?，，…?分所以平面．……5分（2）取的中點(diǎn)，連接，則，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．……6分則，，，，，……8分設(shè)平面的一個(gè)法向量為則有，令，所以……10分易知平面的一個(gè)法向量為所以，……11分所以二面角的余弦值為．……12分20．(12分)在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線(xiàn)上并作答.的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知______.（1）求角；（2）若，，求的面積.【解析】（1）選擇條件①：，由正弦定理可得，……1分，，……2分，即，所以，，……4分，則，……5分，解得；……6分選擇條件②：，由正弦定理得，……1分，…………2分上式可化簡(jiǎn)為，……3分，，……5分，；……6分（2）由余弦定理，可得，……8分又由，則，……10分，……11分因此，的面積為.……12分21．(12分)為了解某市家庭用電量的狀況，該市統(tǒng)計(jì)部門(mén)隨機(jī)調(diào)查了200戶(hù)居民去年一年的月均用電量（單位：），并將得到數(shù)據(jù)按如下方式分為9組：，，…，，繪制得到如下的頻率分布直方圖：（1）試估計(jì)抽查樣本中用電量在的用戶(hù)數(shù)量；（2）為了既滿(mǎn)意居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府安排采納階梯電價(jià)，使的居民繳費(fèi)在第一檔，的居民繳費(fèi)在其次檔，其余的居民繳費(fèi)在第三檔，試基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定其次檔月均用電量的范圍（計(jì)算百分位數(shù)時(shí)，結(jié)果四舍五入取整數(shù)，范圍用左開(kāi)右閉區(qū)間表示）（3）為了解用戶(hù)的詳細(xì)用電需求，統(tǒng)計(jì)部門(mén)確定在樣本中月均用電量為和的兩組居民用戶(hù)中隨機(jī)抽取兩戶(hù)進(jìn)行走訪(fǎng)，求走訪(fǎng)對(duì)象來(lái)自不同分組的概率.【解析】（1）由直方圖可得，樣本落在，，，的頻率分別為0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的頻率分別為0.09，0.06，0.04，0.01.……2分因此，樣本落在的頻率為…3分樣本中用電量在的用戶(hù)數(shù)為.…………4分（2）因?yàn)?，，為了使的居民繳費(fèi)在第一檔，只需對(duì)應(yīng)的用電量位于內(nèi)，于是，……6分又，所以對(duì)應(yīng)的用電量為280.…………7分所以其次檔的范圍可確定為.……………8分（3）由題可知，樣本中用電量在的用戶(hù)有4戶(hù)，設(shè)編號(hào)分別為1，2，3，4；在的用戶(hù)有2戶(hù)，設(shè)編號(hào)分別為，，則從6戶(hù)中任取2戶(hù)的樣本空間為：，共有15個(gè)樣本點(diǎn).…………10分設(shè)事務(wù)“走訪(fǎng)對(duì)象來(lái)自不同分組”，則，……11分所以，從而.……12分22．(12分)已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若圓內(nèi)有動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)動(dòng)弦所在的直線(xiàn)的方程【解析】（1）由題意，設(shè)圓的方程為，……1分則圓心到直線(xiàn)的距離為，……2分由圓的性質(zhì)可得，弦長(zhǎng)一半的