高考數(shù)學一輪復習高頻考點精講精練(新高考專用)第14講拓展七：極值點偏移問題(高頻精講)(原卷版+解析)

第14講拓展七：極值點偏移問題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 6高頻考點一：不含參數(shù)的極值點偏移問題 6方法一：對稱化構(gòu)造法 6方法二：利用韋達定理代換法令 13方法三：比值代換法 20高頻考點三：與對數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題 27高頻考點四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題 34溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、極值點偏移的含義函數(shù)滿足對于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱．可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點的橫坐標就是極值點；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移（如圖1）．若，則極值點偏移．若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)，，滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏如圖（2）；若，則稱為極值點右偏如圖（3）．2、極值點偏移問題的一般解法2.1對稱化構(gòu)造法主要用來解決與兩個極值點之和，積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點之差作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2.4．對數(shù)均值不等式法兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．2.5指數(shù)不等式法在對數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：3、極值點偏移問題的類型（1）加法型（2）減法型（3）平方型（4）乘積型（5）商型第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：不含參數(shù)的極值點偏移問題方法一：對稱化構(gòu)造法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)若有兩個不同的零點，求的取值范圍，并證明：．例題2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù)；(2)若有兩個零點，，求證：.例題3．（2023春·安徽·高二安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．練透核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)討論的零點個數(shù)．(2)若有兩個不同的零點，證明：．3．（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學校考階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)設(shè)函數(shù)有兩個零點，證明：．方法二：利用韋達定理代換法令典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當時，若函數(shù)恰有兩個不同的極值點、，且，求證：.例題3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個極值點，，且，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學校考期末）設(shè)向量.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個極值點，證明：.2．（2023春·山東東營·高二東營市第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，求的范圍.3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個極值點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，求的范圍.方法三：比值代換法典型例題例題1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)（1）若，(為的導函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)當，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.例題3．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)有兩個不同的零點，，為其極值點，證明：．練透核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)有兩個零點、.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.2．（2023春·青海西寧·高三?？奸_學考試）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對于任意，證明：.3．（2023·江蘇·高二專題練習）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的零點，，求證：.高頻考點三：與對數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題典型例題例題1．（2023·四川涼山·二模）已知函數(shù)．(1)為函數(shù)的導函數(shù)，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，證明：．例題2．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，當時，證明：．例題3．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當湖高級中學校考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，函數(shù)在上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍;(2)當時，存在實數(shù)，使得，求證：．練透核心考點1．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）設(shè)函數(shù).(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)曲線與直線交于，兩點，求證：；(3)證明：.2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上恒成立，求的取值范圍；(2)若是函數(shù)的兩個零點，證明：.3．（2023·全國·開灤第二中學?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)當時，若函數(shù)有兩個零點．①證明：；②證明：．高頻考點四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)是上的增函數(shù)求的取值范圍；(2)若函數(shù)恰有兩個不等的極值點、，證明：.練透核心考點1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)有三個不同的零點，，，求證：．第14講拓展七：極值點偏移問題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 6高頻考點一：不含參數(shù)的極值點偏移問題 6方法一：對稱化構(gòu)造法 6方法二：利用韋達定理代換法令 13方法三：比值代換法 20高頻考點三：與對數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題 27高頻考點四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題 34溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、極值點偏移的含義函數(shù)滿足對于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱．可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點的橫坐標就是極值點；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移（如圖1）．若，則極值點偏移．若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)，，滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏如圖（2）；若，則稱為極值點右偏如圖（3）．2、極值點偏移問題的一般解法2.1對稱化構(gòu)造法主要用來解決與兩個極值點之和，積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點之差作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2.4．對數(shù)均值不等式法兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．2.5指數(shù)不等式法在對數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：3、極值點偏移問題的類型（1）加法型（2）減法型（3）平方型（4）乘積型（5）商型第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：不含參數(shù)的極值點偏移問題方法一：對稱化構(gòu)造法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)若有兩個不同的零點，求的取值范圍，并證明：．【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解．【詳解】（1）當時，，定義域為令，則當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，得；（2）因為有兩個不同的零點，則在定義域內(nèi)不單調(diào)；由當時，在恒成立，則在上單調(diào)遞減，不符合題意；當時，在上有，在上有，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設(shè)令則當時，，則在上單調(diào)遞增所以故，因為所以，又，則，又在上單調(diào)遞減，所以，則．例題2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù)；(2)若有兩個零點，，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）.因為，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以.當，即時，的零點個數(shù)為0.當，即時，的零點個數(shù)為1.當，即時，注意到，.下面證明.設(shè)，所以，由解得；由解得.則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以.因此，，，使得，所以此時的零點個數(shù)為2.綜上，當時，的零點個數(shù)為0；當時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2.（2）證明：（證法一）由（1）可知，當時，函數(shù)有兩個零點，且.令，，則.當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.所以.因為，所以.又由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故.（證法二）由，得則.由對數(shù)平均不等式，得，所以，所以.又，所以.例題3．（2023春·安徽·高二安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）的定義域為，由為定義域上的增函數(shù)可得恒成立.則由得，令，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；故,則有解得.故a的取值范圍為（2）由有有即即.令由可得當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；則，即，解得或(負值舍去)，故.練透核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.【答案】(1)(2)證明過程見解析.【詳解】（1），該方程有兩個不等實根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，由，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此，當時，，當，，如下圖所示：所以要想有兩個不同交點，只需，即的取值范圍為；（2）因為是函數(shù)的兩個極值點，所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當時，單調(diào)遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數(shù)在時恒成立，由，顯然當時，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，有，所以當時，恒成立，因此命題得以證明.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)討論的零點個數(shù)．(2)若有兩個不同的零點，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以1不是的零點．當，可變形為，令，則的零點個數(shù)即直線與圖象的交點個數(shù)．因為，，得，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，且當時，，所以當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，有兩個零點．（2）證明：由（1）知，當時，有兩個零點．設(shè)，則，由得，所以，即．令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．要證，即證．因為，且在上單調(diào)遞增，所以只需證．因為，所以即證．令，則，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以．因為，所以，故．3．（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)設(shè)函數(shù)有兩個零點，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是.當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，無最大值；當時，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2），因為為的兩個零點，所以，不妨設(shè)．因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又證明等價于證明，又因為在上單調(diào)遞增，因此證明原不等式等價于證明，即要證明，即要證明，即恒成立．令，則，所以在上為減函數(shù)，所以，即在時恒成立，因此不等式恒成立，即．方法二：利用韋達定理代換法令典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1），其中若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故無最值.若，當時，；當時，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，無最小值.（2）方程即為，故，因為為上的增函數(shù)，所以所以關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根即為：有兩個不同的實數(shù)根.所以，所以，不妨設(shè)，，故，要證：即證，即證，即證，即證，設(shè)，則，故，所以在上為增函數(shù)，故，所以在上為增函數(shù)，所以，故成立.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當時，若函數(shù)恰有兩個不同的極值點、，且，求證：.【答案】(1)(2)答案見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）解：當時，，，則，故曲線在點處的切線方程為，即.（2）解：當時，，該函數(shù)的定義域為..當時，由可得或.（i）當時，，由，可得，由，可得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；（ii）當時，，對任意的，且不恒為零，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；（iii）當時，，由，可得，由，可得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（3）證明：，則，令，則.當時，由可得.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.下面證明不等式，其中，即證，令，即證對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，則對任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，所以，當時，，由已知可得，兩式作差可得，則，即，故原不等式得證.例題3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個極值點，，且，求的取值范圍.【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，，令，得，當時，時，，所以在單調(diào)遞增；當時，方程的，①當時，，則，所以在單調(diào)遞增；②當時，，令，得，，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（2）由（1）得，若有兩個極值點，，則，且，，即，；故，，令，則，所以在上單調(diào)遞減；即，故，綜上所述：的取值范圍為：.練透核心考點1．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學校考期末）設(shè)向量.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個極值點，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）根據(jù)已知得，定義域為，則，若，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，由，得或；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由已知得，定義域為，從而.當，即時，恒成立，函數(shù)不可能有兩個極值點；當時，有兩個根，因為，與都是正數(shù)相矛盾，不合題意；當時，有兩個根，因為，且，所以兩根均為正數(shù)，故有兩個極值點，因為，由知，因為，所以等價于，即，令，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，，故成立.2．（2023春·山東東營·高二東營市第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，求的范圍.【答案】(1)答案見解析.(2)【詳解】（1）∵，，當時，，，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在定義域上，時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，令得，，，時，；時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知：當時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（其中，）（2）由（1）知有兩個極值點，則，的二根為，則，，，設(shè)，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個極值點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，求的范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，，因在定義域內(nèi)有兩個極值點，則有二不等的正實根，從而得，解得，所以的取值范圍是；(2)由(1)知，而，則，，令，則，，從而得在上單調(diào)遞增，即有，的值域是，所以的范圍是.方法三：比值代換法典型例題例題1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)（1）若，(為的導函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：【答案】（1）當時，；當時，；當時，；（2）證明見解析．【詳解】（1）因為，，①當時，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；②當，即時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；，③當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；④當，即時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．綜上，當時，；當時，；當時，.（2）要證，只需證：，若有兩個極值點，即函數(shù)有兩個零點，又，所以是方程的兩個不同實根，即，解得，另一方面，由，得，從而可得，于是．不妨設(shè)，設(shè)，則．因此，．要證，即證：，即當時，有，設(shè)函數(shù)，則，所以為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．于是，當時，有．所以成立，．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)當，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析(1)，，在上單調(diào)遞增，且，所以時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，（），時，遞增，時，，遞減，時，，存在使得，則，令，，，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，，.例題3．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)有兩個不同的零點，，為其極值點，證明：．【答案】(1)函數(shù)的極小值為1，無極大值；(2)見解析.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值，且極小值為；（2）()，，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，則.又函數(shù)在上有2個零點，所以，解得.設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，即，所以，又，，兩式相減，得，設(shè)，要證，只需證，即證，即證，令，則，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即在上恒成立，所以.綜上，.練透核心考點1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)有兩個零點、.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，由可得，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減且當時，，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，因此，實數(shù)的取值范圍是.（2）解：由已知可得，可得，由可得，要證，即證，即證，即證，由題意可知，令，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，即證，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，故原不等式成立.2．（2023春·青海西寧·高三?？奸_學考試）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對于任意，證明：.【答案】（1）當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）的定義域為，且，則，當時，，此時在上單調(diào)遞增，，此時在上單調(diào)遞減；當時，，此時在上單調(diào)遞增，，此時在上單調(diào)遞減.綜上可知：當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）由，，，由于，所以.設(shè)，故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故，即：所證不等式成立.3．（2023·江蘇·高二專題練習）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的零點，，求證：.【答案】（1）最大值為；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）解：當時，所以．注意，且當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞增減．所以的最大值為．（2）證明：由題知，，即，，可得．．不妨，則上式進一步等價于．令，則只需證．設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，故原不等式得證．高頻考點三：與對數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點偏移問題典型例題例題1．（2023·四川涼山·二模）已知函數(shù)．(1)為函數(shù)的導函數(shù)，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，證明：．【答案】(1)(2)證明過程見詳解【詳解】（1）依題意得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，又，當且僅當時取“=”，所以．（2）由（1）知當時單調(diào)遞減，無極值點，不滿足條件．當時，令，得，則，所以其兩根為，由韋達定理得，又∵，∴，滿足條件，令，則，∴，∴，要證只需證，即證，即證，即，令，即證，令，，則，所以在單增，，故結(jié)論得證．例題2．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，當時，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，，所以，所以．因為，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）因為且，所以．（*）因為，，所以，令得；函數(shù)單調(diào)遞增；令得，函數(shù)單調(diào)遞減；所以．令，，則，等號不恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是由（*）可得，即．要證，即證，即證．不妨設(shè)，則上式等價于，即．令，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故原命題得證．即成立.例題3．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當湖高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，函數(shù)在上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍;(2)當時，存在實數(shù)，使得，求證：．【答案】(1)或；(2)證明見解析.【詳解】（1），，，求導得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，要在上沒有零點，而，則必有，解得，因此；當時，由得，當，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即函數(shù)在上沒有零點，因此；當，即時，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，解得，因此，綜上得或，所以實數(shù)a的取值范圍是或.（2），由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨令，由得：，因為函數(shù)在上遞減，要證，即證，只證，就證，令，，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，因此，所以.練透核心考點1．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）設(shè)函數(shù).(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)曲線與直線交于，兩點，求證：；(3)證明：.【答案】(1)，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增(2)證明見解析(3)證明見解