高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第14講拓展七：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(高頻精講)(原卷版+解析)

第14講拓展七：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 6高頻考點(diǎn)一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 6方法一：對(duì)稱化構(gòu)造法 6方法二：利用韋達(dá)定理代換法令 13方法三：比值代換法 20高頻考點(diǎn)三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 27高頻考點(diǎn)四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 34溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、極值點(diǎn)偏移的含義函數(shù)滿足對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn)，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移（如圖1）．若，則極值點(diǎn)偏移．若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)，，滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏如圖（2）；若，則稱為極值點(diǎn)右偏如圖（3）．2、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般解法2.1對(duì)稱化構(gòu)造法主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2.4．對(duì)數(shù)均值不等式法兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．2.5指數(shù)不等式法在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：3、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的類(lèi)型（1）加法型（2）減法型（3）平方型（4）乘積型（5）商型第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題方法一：對(duì)稱化構(gòu)造法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．例題2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.例題3．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．3．（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．方法二：利用韋達(dá)定理代換法令典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，且，求證：.例題3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)向量.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.2．（2023春·山東東營(yíng)·高二東營(yíng)市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范圍.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，求的范圍.方法三：比值代換法典型例題例題1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)（1）若，(為的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，為其極值點(diǎn)，證明：．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.2．（2023春·青海西寧·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：.3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）若，求的最大值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.高頻考點(diǎn)三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題典型例題例題1．（2023·四川涼山·二模）已知函數(shù)．(1)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：．例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：．例題3．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，求證：．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)曲線與直線交于，兩點(diǎn)，求證：；(3)證明：.2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上恒成立，求的取值范圍；(2)若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.3．（2023·全國(guó)·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．①證明：；②證明：．高頻考點(diǎn)四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)是上的增函數(shù)求的取值范圍；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)不等的極值點(diǎn)、，證明：.練透核心考點(diǎn)1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求證：．第14講拓展七：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 6高頻考點(diǎn)一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 6方法一：對(duì)稱化構(gòu)造法 6方法二：利用韋達(dá)定理代換法令 13方法三：比值代換法 20高頻考點(diǎn)三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 27高頻考點(diǎn)四：與指數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 34溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、極值點(diǎn)偏移的含義函數(shù)滿足對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱．可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn)，如圖(1)所示，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)；①若的兩根為，，則剛好滿足，則極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移（如圖1）．若，則極值點(diǎn)偏移．若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同．如圖(2)(3)所示．故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)，，滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏如圖（2）；若，則稱為極值點(diǎn)右偏如圖（3）．2、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般解法2.1對(duì)稱化構(gòu)造法主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．2.2．差值代換法（韋達(dá)定理代換令.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用差值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．2.4．對(duì)數(shù)均值不等式法兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．2.5指數(shù)不等式法在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：3、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的類(lèi)型（1）加法型（2）減法型（3）平方型（4）乘積型（5）商型第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻茫?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)椋孕枳C．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，即又因?yàn)椋?，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題方法一：對(duì)稱化構(gòu)造法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)證明見(jiàn)詳解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榱?，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，得；（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，則在定義域內(nèi)不單調(diào)；由當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上有，在上有，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設(shè)令則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增所以故，因?yàn)樗?，又，則，又在上單調(diào)遞減，所以，則．例題2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以.當(dāng)，即時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.當(dāng)，即時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.當(dāng)，即時(shí)，注意到，.下面證明.設(shè)，所以，由解得；由解得.則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以.因此，，，使得，所以此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（2）證明：（證法一）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.令，，則.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.所以.因?yàn)椋?又由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故.（證法二）由，得則.由對(duì)數(shù)平均不等式，得，所以，所以.又，所以.例題3．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋蔀槎x域上的增函數(shù)可得恒成立.則由得，令，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；故,則有解得.故a的取值范圍為（2）由有有即即.令由可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；則，即，解得或(負(fù)值舍去)，故.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【詳解】（1），該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，如下圖所示：所以要想有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需，即的取值范圍為；（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數(shù)在時(shí)恒成立，由，顯然當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因此命題得以證明.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所?不是的零點(diǎn)．當(dāng)，可變形為，令，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．因?yàn)?，，得，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．設(shè)，則，由得，所以，即．令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．要證，即證．因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以只需證．因?yàn)?，所以即證．令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故?．（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是.當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2），因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，不妨設(shè)．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又證明等價(jià)于證明，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，因此證明原不等式等價(jià)于證明，即要證明，即要證明，即恒成立．令，則，所以在上為減函數(shù)，所以，即在時(shí)恒成立，因此不等式恒成立，即．方法二：利用韋達(dá)定理代換法令典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1），其中若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故無(wú)最值.若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，無(wú)最小值.（2）方程即為，故，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即為：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.所以，所以，不妨設(shè)，，故，要證：即證，即證，即證，即證，設(shè)，則，故，所以在上為增函數(shù)，故，所以在上為增函數(shù)，所以，故成立.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，且，求證：.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，由可得或.（i）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；（ii）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（3）證明：，則，令，則.當(dāng)時(shí)，由可得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.下面證明不等式，其中，即證，令，即證對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，則對(duì)任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由已知可得，兩式作差可得，則，即，故原不等式得證.例題3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，，令，得，?dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程的，①當(dāng)時(shí)，，則，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（2）由（1）得，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，且，，即，；故，，令，則，所以在上單調(diào)遞減；即，故，綜上所述：的取值范圍為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)校考期末）設(shè)向量.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）根據(jù)已知得，定義域?yàn)椋瑒t，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，由，得或；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由已知得，定義域?yàn)?，從?當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，因?yàn)?，與都是正數(shù)相矛盾，不合題意；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，因?yàn)椋?，所以兩根均為正?shù)，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，因?yàn)?，由知，因?yàn)椋缘葍r(jià)于，即，令，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，故成立.2．（2023春·山東東營(yíng)·高二東營(yíng)市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)【詳解】（1）∵，，當(dāng)時(shí)，，，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在定義域上，時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，，，時(shí)，；時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知：當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（其中，）（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，的二根為，則，，，設(shè)，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，求的范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，，因在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有二不等的正實(shí)根，從而得，解得，所以的取值范圍是；(2)由(1)知，而，則，，令，則，，從而得在上單調(diào)遞增，即有，的值域是，所以的范圍是.方法三：比值代換法典型例題例題1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)（1）若，(為的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)，即時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；，③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；④當(dāng)，即時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）要證，只需證：，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，又，所以是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，即，解得，另一方面，由，得，從而可得，于是．不妨設(shè)，設(shè)，則．因此，．要證，即證：，即當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)，則，所以為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．于是，當(dāng)時(shí)，有．所以成立，．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)，研究的單調(diào)性；(2)令，若存在使得，求證.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析(1)，，在上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，（），時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，，存在使得，則，令，，，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，，.例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，為其極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)函數(shù)的極小值為1，無(wú)極大值；(2)見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，令，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值，且極小值為；（2）()，，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，則.又函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，即，所以，又，，兩式相減，得，設(shè)，要證，只需證，即證，即證，令，則，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即在上恒成立，所以.綜上，.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋煽傻?，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減且當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）解：由已知可得，可得，由可得，要證，即證，即證，即證，由題意可知，令，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，即證，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.2．（2023春·青海西寧·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.綜上可知：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）由，，，由于，所以.設(shè)，故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故，即：所證不等式成立.3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）若，求的最大值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）最大值為；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）解：當(dāng)時(shí)，所以．注意，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減．所以的最大值為．（2）證明：由題知，，即，，可得．．不妨，則上式進(jìn)一步等價(jià)于．令，則只需證．設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，故原不等式得證．高頻考點(diǎn)三：與對(duì)數(shù)均值不等式有關(guān)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題典型例題例題1．（2023·四川涼山·二模）已知函數(shù)．(1)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解【詳解】（1）依題意得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，令，得，則，所以其兩根為，由韋達(dá)定理得，又∵，∴，滿足條件，令，則，∴，∴，要證只需證，即證，即證，即，令，即證，令，，則，所以在單增，，故結(jié)論得證．例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以．因?yàn)椋郧€在處的切線方程為，即．（2）因?yàn)榍遥裕?）因?yàn)?，，所以，令得；函?shù)單調(diào)遞增；令得，函數(shù)單調(diào)遞減；所以．令，，則，等號(hào)不恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是由（*）可得，即．要證，即證，即證．不妨設(shè)，則上式等價(jià)于，即．令，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故原命題得證．即成立.例題3．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，求證：．【答案】(1)或；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1），，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，要在上沒(méi)有零點(diǎn)，而，則必有，解得，因此；當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，因此；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，解得，因此，綜上得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.（2），由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨令，由得：，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，要證，即證，只證，就證，令，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，因此，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)曲線與直線交于，兩點(diǎn)，求證：；(3)證明：.【答案】(1)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解