人教A版2019必修第一冊專題2.4一元二次不等式恒成立、存在性問題大題專項訓(xùn)練(30道)(原卷版+解析)

專題2.4一元二次不等式恒成立、存在性問題大題專項訓(xùn)練（30道）【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>mx2?1.若不等式對于m∈?2,2恒成立，求實數(shù)x的取值范圍2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若a>0，且關(guān)于x的不等式ax2?3ax+3．（2023春·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=x(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,4上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若f(x)>0對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)k的取值范圍．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?a+2x+45．（2022秋·江蘇常州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=ax(1)若f(x)+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)≤?(m+5)x+3+m在-2,2有解，求m6．（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx(1)若不等式fx≥?2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)(2)解關(guān)于x的不等式fx7．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)fx(1)若不等式fx<0的解集為1,2，求實數(shù)a，(2)若f?1=5，且存在x∈R，使fx8．（2022秋·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知fx=x(1)若fx<0的解集是x?3<x<6，求a(2)若不等式fx<0有解，且解區(qū)間的長度不超過5個單位長度，求實數(shù)9．（2023秋·山東青島·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)若?x∈R,fx(2)若m<0，解關(guān)于x的不等式fx10．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)），若不等式fx≤0(1)求fx(2)對于任意的x∈R，不等式fx≥11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?2ax(1)若對?x∈R，fx+g(2)若對?x∈R，fx>0或g12．（2023春·四川綿陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=mx(1)若關(guān)于x的不等式fx>0在實數(shù)集R上恒成立，求實數(shù)(2)解關(guān)于x的不等式fx13．（2022·高一課時練習(xí)）已知不等式x2(1)若不等式在2≤x≤4時有解，求實數(shù)p的取值范圍；(2)若不等式在0≤p≤6時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．14．（2023秋·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)f(x)=mx(1)當(dāng)m=?2時，解關(guān)于x的不等式fx(2)若fx≥0對?x∈R恒成立，求實數(shù)15．（2022秋·安徽滁州·高一校考期末）設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足：①當(dāng)x∈R時，總有f(?1+x)=f(?1?x)；②函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點為A，B，且|AB|=4；③f(0)=?3(1)求f(x)的解析式；(2)若存在t∈R，只要x∈[1,m](m>1)，就有f(x+t)≤x?1成立，求滿足條件的實數(shù)m的最大值.16．（2023秋·上海浦東新·高一校考期末）已知(1?a)x2?4x+6>0(1)求實數(shù)a的值；(2)若ax2+bx+3≥017．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax(1)若不等式fx<0的解集為{x∣1<x<b}，求實數(shù)(2)若fx≥0在實數(shù)集R上恒成立，求18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+ca≠0的圖像過點(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx=m(x?1)，若函數(shù)f(x)≥g(x)在x∈[1,+∞19．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)若a>0，且關(guān)于x的不等式fx<0的解集是x|m<x<n，求(2)設(shè)關(guān)于x的不等式fx<0在0,1上恒成立，求20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足f(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=8x2+16x?m，若對任意x∈21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式x2(1)若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對于0≤m≤4，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．22．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（1）若關(guān)于x的不等式fx≥?2有實數(shù)解，求實數(shù)（2）若不等式fx≥?2對于實數(shù)a∈?1,1（3）解關(guān)于x的不等式：f(x)<a?1,(a∈R).23．（2023春·四川宜賓·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=mx（1）當(dāng)m=1時，求fx在區(qū)間?2,2（2）解關(guān)于x的不等式fx（3）當(dāng)m<0時，若存在x0∈1,+∞，使得f24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x（1）若對任意x∈?3,3，都有fx≤g（2）若存在x∈?3,3，使fx≤g（3）若對任意x1,x2∈25．（2022·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+(1)若關(guān)于x的不等式fx>0的解集為xx<?4或x>2，求實數(shù)a(2)若關(guān)于x的不等式fx≤b在x∈1,3(3)若關(guān)于x的不等式fx<12+b的解集中恰有3個整數(shù)，求實數(shù)26．（2022秋·廣東廣州·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=ax(1)若y>0的解集是{x∣x<2或x>3}，求實數(shù)a的值；(2)若y+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a=1時，若?2≤x≤2時函數(shù)y≤?m+5x+3+m有解，求27．（2022秋·北京·高一校考期中）已知二次函數(shù)fx的一個零點為?1，對任意實數(shù)x都滿足f1?x=f1+x，且(1)求fx(2)求fx在區(qū)間?1,a(3)若存在實數(shù)x∈?1,a，使得fx≥a+728．（2022秋·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1且不等式g(x)≤（1）求函數(shù)g(x)的解析式；（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)?(x)=2g(x)?2，關(guān)于x的不等式?(x?1)+4?(m)≤?xm?4m229．（2022·高一單元測試）已知函數(shù)fx(1)若fx>0的解集是?∞，2∪(2)若fx+2>0恒成立，求實數(shù)(3)當(dāng)a=1時，函數(shù)fx≤?m+5x+3+m在30．（2022秋·山西太原·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y1=x+m和（1）若c=2?a，關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x?1<x<3.求實數(shù)（2）若c=2?a，b=2，a≥0，解關(guān)于x的不等式ax（3）若a=1，b=?m，c=m22+2m?3，對?x1∈x0≤x≤1，總?x2∈x1≤x≤2，使得y1x專題2.4一元二次不等式恒成立、存在性問題大題專項訓(xùn)練（30道）【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>mx2?1.若不等式對于m∈【解題思路】由不等式2x?1>mx2?1對于m∈?2,2恒成立，轉(zhuǎn)化為當(dāng)m∈?2,2【解答過程】由題知，設(shè)fm當(dāng)m∈?2,2時，f當(dāng)且僅當(dāng)f2<0f解得1?32<x<或1?32<x<則?1+7所以x的取值范圍是x|?1+2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若a>0，且關(guān)于x的不等式ax2?3ax+【解題思路】根據(jù)二次不等式的解法即得；或參變分離，求函數(shù)的最值即得.【解答過程】方法一（判別式法）關(guān)于x的不等式ax2?3ax+由題可得Δ=解得?7又a>0，所以實數(shù)a的取值范圍為0,4；方法二（分離變量法）因為a>0，所以關(guān)于x的不等式ax2?3ax+因為x2所以?94<又a>0，所以實數(shù)a的取值范圍為0,4．3．（2023春·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=x(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,4上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若f(x)>0對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)k的取值范圍．【解題思路】（1）利用對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，列不等式，解不等式即可；（2）利用判別式Δ<0【解答過程】（1）因為函數(shù)f(x)在區(qū)間1,4上是單調(diào)遞增函數(shù)，且f(x)的對稱軸為x=?k，所以?k≤1，解得k≥?1.（2）若f(x)>0對一切實數(shù)x都成立，則Δ=4k24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?a+2x+4【解題思路】首先不等式變形為ax?1≤x【解答過程】∵對任意的x∈0,4，fx+a+1≥0即ax?1≤x2?2x+5恒成立．當(dāng)x=1時，不等式為0≤4恒成立；當(dāng)x∈1,4時，a≤x2?2x+5x?1=x?1+4x?1，∵1<x≤4當(dāng)x∈1,0時，a≥∵0≤x<1，∴0<1?x≤1．令t=1?x，則t∈0,1，∵函數(shù)y=?t+4∴當(dāng)t=1?x=1，即x=0時，函數(shù)y=?t+4t取到最大值?5綜上所述，a的取值范圍是?5,4．5．（2022秋·江蘇常州·高一校考期中）已知函數(shù)f(x)=ax(1)若f(x)+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)≤?(m+5)x+3+m在-2,2有解，求m【解題思路】（1）對a進(jìn)行分類討論，結(jié)合判別式來求得正確答案.（2）對m進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式在區(qū)間?2,2上有解列不等式，求得m的取值范圍，進(jìn)而求得m2【解答過程】（1）若f(x)+2>0恒成立，則f(x)+2>0?ax當(dāng)a=0時，當(dāng)a≠0時，a>0Δ=2a+3實數(shù)a的取值范圍為：12（2）當(dāng)a=1時，fx≤?m+5即x2+mx+3?m≤0在因為y=x2+mx+3?m①?m2≤?2即m≥4，x=?2時，函數(shù)取得最小值4?2m+3?m≤0∴m≥4.②?2<?m2<2即?4<m<4時，當(dāng)x=?解得2≤m<4.③當(dāng)?m2≥2即m≤?4時，當(dāng)x=2解得m≤?7，綜上，m≥2或m≤?7.所以m2+3的范圍為6．（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx(1)若不等式fx≥?2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)(2)解關(guān)于x的不等式fx【解題思路】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.【解答過程】（1）?x∈R，f(x)≥?2恒成立等價于?x∈R，當(dāng)a=0時，x≥0，對一切實數(shù)x不恒成立，則a≠0，此時必有a>0Δ即a>03a2所以實數(shù)a的取值范圍是13（2）依題意，f(x)<a?1，可化為ax當(dāng)a=0時，可得x<1，當(dāng)a>0時，可得(x+1a)(x?1)<0解得?1當(dāng)a<0時，不等式ax2+(1?a)x?1<0當(dāng)a=?1時，?1a=1當(dāng)?1<a<0時，?1a>1，解得x<1當(dāng)a<?1時，0<?1a<1，解得x<?所以，當(dāng)a>0時，原不等式的解集為x?當(dāng)a=0時，原不等式的解集為xx<1當(dāng)?1<a<0時，原不等式的解集為{x|x<1或x>?1當(dāng)a=?1時，原不等式的解集為{x∈R當(dāng)a<?1時，原不等式的解集為{x|x<?1a或7．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)fx(1)若不等式fx<0的解集為1,2，求實數(shù)a，(2)若f?1=5，且存在x∈R，使fx【解題思路】（1）根據(jù)f(x)=ax2+(b?1)x+2<0（2）根據(jù)f(?1)=5，得到a?b=2，再由存在x∈R，ax2+(a?3)x+1<0成立，分a=0，a<0【解答過程】（1）解：因為f(x)=ax2+(b?1)x+2<0所以{a>01?ba（2）（2）因為f(?1)=5，所以a?b=2，因為存在x∈R，f(x)=ax即存在x∈R，ax當(dāng)a=0時，x>1當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax當(dāng)a>0時，Δ=(a?3)2解得a>9或a<1，此時，a>9或0<a<1，綜上：實數(shù)a的取值范圍a>9或a<1.8．（2022秋·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知fx=x(1)若fx<0的解集是x?3<x<6，求a(2)若不等式fx<0有解，且解區(qū)間的長度不超過5個單位長度，求實數(shù)【解題思路】（1）由題意可得方程x2?ax?6a=0的兩個根分別為?3和6，從而可求出a，進(jìn)而可得不等式（2）由不等式fx<0有解，可得Δ=a2+24a>0，設(shè)方程x2?ax?6a=0的兩個根為【解答過程】（1）因為fx<0的解集是所以方程x2?ax?6a=0的兩個根分別為所以a=?3+6=3，所以fx由fx≥0，得x2?3x?18≥0，解得所以不等式fx≥0的解集（2）由fx<0有解，得Δ=a2設(shè)方程x2?ax?6a=0的兩個根為x1+x由題意得x1所以(x所以a2+24a?25≤0，解得綜上，?25≤a<?24或0<a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為[?25,?24)∪(0,1].9．（2023秋·山東青島·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)若?x∈R,fx(2)若m<0，解關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式在R上恒成立問題運算求解；（2）分類討論兩根大小解一元二次不等式.【解答過程】（1）由fx=x2+則Δ=1?m2故m的取值范圍?3,1.（2）由題意可得：fx令fx=0，可得x=?1或?qū)τ诓坏仁絝x當(dāng)m<?1時，不等式的解集為?∞當(dāng)m=?1時，不等式的解集為x|x≠?1；當(dāng)?1<m<0時，不等式的解集為?∞10．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)），若不等式fx≤0(1)求fx(2)對于任意的x∈R，不等式fx≥【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，結(jié)合不等式的解集，列出不等式組，求得a,b,c，即得答案.（2）根據(jù)一元二次不等式在R上恒成立，利用判別式即可求得答案.【解答過程】（1）由fx≤0的解集為x|?1≤x≤6且知?1,6為方程ax2+bx+c=0解得a=1,b=?5,c=?6，所以fx（2）由（1）知fx則由x∈R，fx≥由題意得Δ解得?1≤k≤1，所以k的取值范圍為?1,1.11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?2ax(1)若對?x∈R，fx+g(2)若對?x∈R，fx>0或g【解題思路】（1）利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)a的取值分情況討論即可求解.【解答過程】（1）由題意可得fx則Δ=?a2?4×1×3?a故a的取值范圍為?6,2.（2）當(dāng)a=0時，fx=x當(dāng)a<0時，由fx=x2?2ax>0故當(dāng)2a≤x≤0時，gx=ax+3?a>0恒成立，而gx在R上為減函數(shù)，故只需g0=3?a>0，而由a<0當(dāng)a>0時，由fx=x2?2ax>0故當(dāng)0≤x≤2a時，gx=ax+3?a>0恒成立，而gx在R上為增函數(shù)，故只需g綜上a的取值范圍是?∞12．（2023春·四川綿陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=mx(1)若關(guān)于x的不等式fx>0在實數(shù)集R上恒成立，求實數(shù)(2)解關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）對m進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)即可求解.（2）化簡問題得出x?2mx+1>0，對【解答過程】（1）依題意，mx2+mx+3>0①當(dāng)m=0時，3>0，成立；②當(dāng)m≠0時，要使原不等式恒成立，則m>0Δ=m綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m0≤m<12（2）不等式fx等價于mx即x?2mx+1①當(dāng)m>0時，解原不等式可得x>2或x<?1②當(dāng)m=0時，不等式整理為x?2>0，解得x>2；③當(dāng)m<0時，方程x?2mx+1=0的兩根為x1（i）當(dāng)?12<m<0時，因為?（ii）當(dāng)m=?12時，因為?1（iii）當(dāng)m<?12時，因為?1綜上所述，當(dāng)m<?12時，原不等式的解集為當(dāng)m=?12時，原不等式的解集為當(dāng)?12<m<0當(dāng)m=0時，原不等式的解集為{x|x>2}；當(dāng)m>0時，原不等式的解集為x|x<?113．（2022·高一課時練習(xí)）已知不等式x2(1)若不等式在2≤x≤4時有解，求實數(shù)p的取值范圍；(2)若不等式在0≤p≤6時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【解題思路】（1）設(shè)f(x)=x2+(p?4)x+4?p，依題意f（2）設(shè)g(p)=p(x?1)+(x2?4x+4)【解答過程】（1）不等式x2+px>4x+p?4可化為x設(shè)f(x)=x當(dāng)不等式①在2≤x≤4時有解時，即存在x∈2,4，使得f(x)>0所以f2>0或即4+2(p?4)+4?p>0或16+4(p?4)+4?p>0，解得p>0或p>?3所以實數(shù)p的取值范圍是?3（2）不等式x2+px>4x+p?4化為設(shè)g(p)=p(x?1)+(x因為0≤p≤6時不等式②恒成立，即g(0)>0g(6)>0所以x2解得x<?1?3或?1+3<x<2所以實數(shù)x的取值范圍是?∞14．（2023秋·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)f(x)=mx(1)當(dāng)m=?2時，解關(guān)于x的不等式fx(2)若fx≥0對?x∈R恒成立，求實數(shù)【解題思路】（1）m=?2代入函數(shù)解析式，求解二次不等式即可.（2）根據(jù)不等式恒成立的條件，列不等式組求實數(shù)m的取值范圍【解答過程】（1）m=?2時，f(x)=?2x由?2x2?5x?2=?(2x+1)(x+2)≤0，解得：x≤?2則不等式fx≤0的解集為：（2）f(x)=mx若fx≥0對?x∈R恒成立，則m>0Δ所以實數(shù)m的取值范圍為1415．（2022秋·安徽滁州·高一校考期末）設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足：①當(dāng)x∈R時，總有f(?1+x)=f(?1?x)；②函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點為A，B，且|AB|=4；③f(0)=?3(1)求f(x)的解析式；(2)若存在t∈R，只要x∈[1,m](m>1)，就有f(x+t)≤x?1成立，求滿足條件的實數(shù)m的最大值.【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?1對稱，且方程f(x)=0的兩根為?3和1，可設(shè)設(shè)f(x)=a(x+3)(x?1)，由f(0)=?3（2）取x=1和x=m，可得m≤9，從而可得解.【解答過程】（1）（1）由題意知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?1對稱，且方程f(x)=0的兩根為?3和1，設(shè)f(x)=a(x+3)(x?1)，又f(0)=?34，則f(0)=?3a=?3故f(x)=1（2）（2）只要x∈[1,m](m>1)，就有f(x+t)≤x?1，即x2取x=1,t取x=m,[m+(t?1)]2≤?4t由?4≤t≤0得0≤?t≤4,1?t+2?t故t=?4時，m≤9；當(dāng)m=9時，存在t=?4，只要x∈[1,9]，就有f(x?4)?(x?1)=1故滿足條件的實數(shù)m的最大值為9.16．（2023秋·上海浦東新·高一校考期末）已知(1?a)x2?4x+6>0(1)求實數(shù)a的值；(2)若ax2+bx+3≥0【解題思路】（1）由題意知：1?a<0，且?3，1是方程(1?a)x2?4x+6=0（2）不等式恒成立，即3x2+bx+3≥0【解答過程】（1）因為(1?a)x2?4x+6>0所以1?a<0而且(1?a)x2?4x+6=0所以1?a<0?3+1=41?a（2）因為ax2+bx+3≥0所以Δ=b2所以實數(shù)b的取值范圍為?6≤b≤6．即?6,6.17．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax(1)若不等式fx<0的解集為{x∣1<x<b}，求實數(shù)(2)若fx≥0在實數(shù)集R上恒成立，求【解題思路】（1）首先根據(jù)fx<0的解集為{x∣1<x<b}，得到ax2?3x+2=0（2）對a分類討論，再根據(jù)恒成立思路求解.【解答過程】（1）由不等式ax2?3x+2<0可知a>0且x=1是方程ax把x=1代入方程ax2?3x+2解不等式x2?3x+2<0得所以b=2.（2）因為ax2?3x+2≥0所以當(dāng)a=0時，?3x+2≥0在實數(shù)集R上不是恒成立的.當(dāng)a≠0時，需滿足a>0Δ=9?8a≤0，解得綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是9818．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+ca≠0的圖像過點(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx=m(x?1)，若函數(shù)f(x)≥g(x)在x∈[1,+∞【解題思路】（1）由題意得c=04a?2b+c=0，得f(x)=ax2+2ax，從而（2）依題意可得x2+2x≥m(x?1)，分x=1和x>1兩種情況，當(dāng)【解答過程】（1）由題意得c=04a?2b+c=0，所以b=2a,c=0,f(x)=a因為對于任意x∈R，都有f(x)≥2x，即a故a>0Δ=4(a?1)2≤0，解得所以f(x)=x（2）由f(x)≥g(x)得x當(dāng)x=1時，不等式恒成立；當(dāng)x>1時，m≤x2令t=x?1>0，則x2+2x即m≤4+23當(dāng)且僅當(dāng)t=3時，即x=3+1時，實數(shù)m19．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)若a>0，且關(guān)于x的不等式fx<0的解集是x|m<x<n，求(2)設(shè)關(guān)于x的不等式fx<0在0,1上恒成立，求【解題思路】（1）由韋達(dá)定理得m+n=a2+6a+9,mn=a+1（2）不等式fx<0在0,1上恒成立可得【解答過程】（1）因為a>0，且關(guān)于x的不等式fx<0的解集是所以x=m和x=n是方程x2所以m+n=a所以1m+1n＝(a+1)+4a+1+4≥4+4=8所以1m（2）因為關(guān)于x的不等式fx<0在所以f0<0f1<0所以a的取值范圍為?∞20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足f(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=8x2+16x?m，若對任意x∈【解題思路】（1）將“?x”代入等式，消去f(?x)解出f(x)；（2）將條件轉(zhuǎn)化為m≥6x2+12x?4對任意x∈?3,3恒成立，求出y=6x【解答過程】（1）由fx得f?x消去f(?x)得3fx=6x（2）由fx≥gx，得2x2令y=6x2+12x?4=6當(dāng)x=3時，y=6x所以實數(shù)m的取值范圍為86,+∞21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式x2(1)若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對于0≤m≤4，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【解題思路】（1）不等式整理成標(biāo)準(zhǔn)的一元二次不等式，由判別式Δ<0（2）不等式換成以m為主元，為一次不等式，這樣只要m=0和m=4時不等式都成立即可得x的范圍．【解答過程】（1）若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，即x2則關(guān)于x的方程x2+mx?4x?m+4=0的判別式即m2?4m<0，解得0<m<4，所以實數(shù)m的取值范圍為（2）不等式x2可看成關(guān)于m的一次不等式mx?1+x所以x2?4x+4>04(x?1)+x2?4x+4>0，解得x≠2且22．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（1）若關(guān)于x的不等式fx≥?2有實數(shù)解，求實數(shù)（2）若不等式fx≥?2對于實數(shù)a∈?1,1（3）解關(guān)于x的不等式：f(x)<a?1,(a∈R).【解題思路】(1)將給定的不等式等價轉(zhuǎn)化成ax2+(1?a)x+a≥0，按a=0(2)將給定的不等式等價轉(zhuǎn)化成(x(3)將不等式化為ax【解答過程】(1)依題意，fx≥?2有實數(shù)解，即不等式當(dāng)a=0時，x≥0有實數(shù)解，則a=0，當(dāng)a>0時，取x=0，則ax2+(1?a)x+a=a>0成立，即a當(dāng)a<0時，二次函數(shù)y=ax2+(1?a)x+a的圖象開口向下，要y≥0有解，當(dāng)且僅當(dāng)Δ=綜上，a≥?1，所以實數(shù)a的取值范圍是a≥?1；(2)不等式fx≥?2對于實數(shù)a∈?1,1顯然x2?x+1>0，函數(shù)g(a)=(x2?x+1)a+x在a∈?1,1上遞增，從而得所以實數(shù)x的取值范圍是{1}；(3)不等式f(x)<a?1?ax當(dāng)a=0時，x<1，當(dāng)a>0時，不等式可化為(x+1a)(x?1)<0，而?當(dāng)a<0時，不等式可化為(x+1當(dāng)?1a=1，即a=?1當(dāng)?1a<1，即a<?1時，x<?當(dāng)?1a>1，即?1<a<0時，x<1所以，當(dāng)a=0時，原不等式的解集為(?∞,1)，當(dāng)a>0時，原不等式的解集為(?1當(dāng)?1≤a<0時，原不等式的解集為(?∞,1)∪(?1當(dāng)a<?1時，原不等式的解集為(?∞,?123．（2023春·四川宜賓·高一校考期末）已知函數(shù)fx=mx（1）當(dāng)m=1時，求fx在區(qū)間?2,2（2）解關(guān)于x的不等式fx（3）當(dāng)m<0時，若存在x0∈1,+∞，使得f【解題思路】（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果；（2）化為(mx+1)(x?3)>0后，先對m分類討論，再對?1m與（3）轉(zhuǎn)化為f(x)在(1,+∞)上的最大值大于0，根據(jù)二次函數(shù)的知識求出最大值，再解關(guān)于m的不等式可得結(jié)果.【解答過程】（1）當(dāng)m=1時，fx=x2?2x?4所以f(x)的最小值為f(1)=1?2?4=?5，最大值為f(?2)=4+4?4=4.（2）fx>?1可化為mx當(dāng)m>0時，不等式化為(x+1m)(x?3)>0，解得x<?當(dāng)m=0時，不等式化為x?3>0，解得x>3；當(dāng)m<0時，不等式化為(x+1當(dāng)?1m<3，即m<?當(dāng)?1m=3當(dāng)?1m>3，即?綜上所述：當(dāng)m>0時，不等式的解集為{x|x<?1m或x>3當(dāng)m=0時，不等式的解集為{x|x>3}；當(dāng)?13<m<0時，不等式的解集為{x|3<x<?當(dāng)m=?1當(dāng)m<?13時，不等式的解集為{x|?1（3）當(dāng)m<0時，若存在x0∈1,+∞，使得fx>0因為fx=mx所以f(x)max=f(?1?3m2m)所以?(1?3m)24m?4>0，即解得m<?1或?124．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x（1）若對任意x∈?3,3，都有fx≤g（2）若存在x∈?3,3，使fx≤g（3）若對任意x1,x2∈【解題思路】（1）通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為k≥x2+6x對任意x∈（2）通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為存在x∈?3,3，使得k≥x2（3）將問題轉(zhuǎn)化為fx【解答過程】（1）由題意得：gx?fx即k≥x2+6x當(dāng)x=3時，x2+6x取得最大值27，∴k≥27，即k的取值范圍為（2）由題意得：存在x∈?3,3，使得g即存在x∈?3,3，使得k≥當(dāng)x=?3時，x2+6x取得最小值?9，∴k≥?9，即k的取值范圍為（3）由題意得：當(dāng)x∈?3,3時，f當(dāng)x=3時，fxmax=18+12?k=30?k；當(dāng)x=1∴30?k≤?1，解得：k≥31，即k的取值范圍為31,+∞.25．（2022·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+(1)若關(guān)于x的不等式fx>0的解集為xx<?4或x>2，求實數(shù)a(2)若關(guān)于x的不等式fx≤b在x∈1,3(3)若關(guān)于x的不等式fx<12+b的解集中恰有3個整數(shù)，求實數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系，即可求出a，b的值；（2）將不等式有解（能成立）問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解決即可；（3）構(gòu)造函數(shù)?x=fx?12?b，討論【解答過程】（1）∵關(guān)于x的不等式fx=x2+∴方程x2+3?ax+2+2a+b=0的兩根為∴x1∴解得a=1，b=?12.（2）令gx若關(guān)于x的不等式fx≤b在x∈1,3上有解，則g∴只需使gx在區(qū)間1,3上的最小值ggx=x∴gx在區(qū)間?∞,①當(dāng)a?32≤1，即a≤5時，gx∴gxmin=g此時，a∈?②當(dāng)a?32≥3，即a≥9時，gx∴gxmin=g此時，a∈20,+③當(dāng)1<a?32<3，即5<a<9時，gx在區(qū)間∴gxmin=ga?32此時，a∈?；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是?∞（3）令?若關(guān)于x的不等式fx<12+b的解集中恰有則?x<0的解集中恰有?x①當(dāng)a?5=2，即a=7時，?x<0解集為②當(dāng)a?5>2，即a>7時，?x<0解集為若解集中恰有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)為3，4，5，∴5<a?5≤6，解得10<a≤11，∴此時a∈10,11③當(dāng)a?5<2，即a<7時，?x<0解集為若解集中恰有3個整數(shù)，則這3個整數(shù)為?1，0，1，∴?2≤a?5<?1，解得3≤a<4，∴此時a∈3,4綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是3,4∪26．（2022秋·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=ax(1)若y>0的解集是{x∣x<2或x>3}，求實數(shù)a的值；(2)若y+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a=1時，若?2≤x≤2時函數(shù)y≤?m+5x+3+m有解，求【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式的解以及根與系數(shù)關(guān)系求得a的值.（2）對a進(jìn)行分類討論，結(jié)合判別式來求得正確答案.（3）對m進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式在區(qū)間?2,2上有解列不等式，求得m的取值范圍，進(jìn)而求得m2【解答過程】（1）依題意，y=ax2?2a+3x+6>0所以a>02+3=2a+3a（2）若y+2>0恒成立，則y+2>0?ax當(dāng)a=0時，當(dāng)a≠0時，a>0Δ=2a+3實數(shù)a的取值范圍為：12（3）a=1時，y≤?m+5x+3+m在即x2+mx+3?m≤0在因為y=x2+mx+3?m①?m2≤?2即m≥4，x=?2時，函數(shù)取得最小值4?2m+3?m≤0∴m≥4.②?2<?m2<2即?4<m<4時，當(dāng)x=?解得2≤m<4.③當(dāng)?m2≥2即m≤?4時，當(dāng)x=2解得m≤?7，綜上，m≥2或m≤?7.所以：m2+3的范圍為27．（2022秋·北京·高一?？计谥校┮阎魏瘮?shù)fx的一個零點為?1，對任意實數(shù)x都滿足f1?x=f1+x，且(1)求fx(2)求fx在區(qū)間?1,a(3)若存在實數(shù)x∈?1,a，使得fx≥a+7【解題思路】（1）設(shè)fx=mx?12+n，由題意可得n=?4（2）分類討論?1≤a<1和a>1，即可求出fx在區(qū)間?1,a（3）若存在實數(shù)x∈?1,a，使得fx≥a+7成立，則fxmax≥a+7，分類討論【解答過程】（1）因為二次函數(shù)fx對任意實數(shù)x都滿足f所以設(shè)fx由二次函數(shù)fx的一個零點為?1，fx的最小值為則n=?4m?1?12所以fx（2）當(dāng)?1≤a<1時，fx當(dāng)a>1時，fx所以fx（3）若存在實數(shù)x∈?1,a，使得f則fx當(dāng)?1≤a≤3時，fx所以a+7≤0，則a≤?7，則a無解；當(dāng)a>3時，fxmax=f解得：a≥5或a≤?2，則a≥5.綜上：實數(shù)a的取值范圍為：5,+∞28．（2022秋·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1且不等式g(x)≤（1）求函數(shù)g(x)的解析式；（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)?(x)=2g(x)?2，關(guān)于x的不等式?(x?1)+4?(m)≤?xm?4m2【解題思路】（1）根據(jù)條件g(1)=1得到a,c的一個關(guān)系式，然后將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為Δ與0的關(guān)系，從而求解出a,c的值，則gx（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為“1m2?4m2≥1?2x?【解答過程】（1）∵二次函數(shù)gx=ax2+ca,c∈R又∵不等式gx≤x∴a?1x2+x+c?1≤0當(dāng)a?1=0時，x+c?1≤0不恒成立，∴a=1不合題意，舍去；當(dāng)a?1≠0時，要使得a?1x2+x+c?1≤0需要滿足：a?1＜0Δ=1?4∴由①②解得a=