高三數(shù)學一輪復習五層訓練(新高考地區(qū))第21練解三角形(原卷版+解析)

第21練解三角形一、課本變式練1.（人A必修二P52習題2.4T1變式）若在,則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形2.（人A必修二P52習題2.4T8變式）小李從地面D點看樓頂點A的仰角為30°,沿直線前進72米到達E點,此時看點C的仰角為45°,若,則樓高AB約為（

）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米3.（人A必修二P52習題2.4T6變式）在△中,,,,則________4.（人A必修二P52習題2.4T22變式）已知△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為,求的值．二、考點分類練(一)利用正弦余弦定理解三角形5．（2022屆河南省多校聯(lián)盟高考終極押題）已知的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,,,則（

）A． B．5 C．8 D．6.（多選）在銳角中,角所對的邊分別為,且,則下列結論正確的有（

）A． B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為7.（2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三三模）已知分別為銳角的內角的對邊,若,則面積的最大值為_________．8.（2022屆廣西南寧市高三5月診斷）已知△ABC中,分別為內角的對邊,且.(1)求角的大??；(2)設點為上一點,是的角平分線,且,,求的面積.(二)幾何圖形中的解三角形9．空間四邊形ABCD的對角線,,M,N分別為AB,CD的中點,,則異面直線AC和BD所成的角等于（

）A．30° B．60° C．90° D．120°10.（2022屆山東省濟南市高三5月三模）如圖,某市擬建造一個扇形體育公園,其中,千米．現(xiàn)需要在,OB,上分別取一點D,E,F,建造三條健走長廊DE,DF,EF,若,,則的最大值為______千米．11.（2022屆湖北省華中師大一附中高三高考前測試）為了測量一個不規(guī)則公園兩點之間的距離,如圖,在東西方向上選取相距的兩點,點在點A的正東方向上,且四點在同一水平面上．從點A處觀測得點在它的東北方向上,點在它的西北方向上；從點處觀測得點在它的北偏東方向上,點在它的北偏西方向上,則之間的距離為______km.(三)實際應用中的解三角形12．（2022屆安徽省阜陽市高三上學期期末）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中,地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為h.將地球看作是一個球心為O,半徑為r的球,其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù).如果地球表面上某一觀測點與該衛(wèi)星在同一條子午線（經線）所在的平面,且在該觀測點能直接觀測到該衛(wèi)星.若該觀測點的緯度值為,觀測該衛(wèi)星的仰角為,則下列關系一定成立的是（

）A． B．C． D．13.（2022屆江西師范大學附屬中學高三三模）滕王閣,位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸,始建于唐朝永徽四年,因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛,秋水共長天一色”而流芳后世．如圖,小明同學為測量滕王閣的高度,在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB,高為,在它們的地面上的點M（B,M,D三點共線）測得樓頂A,滕王閣頂部C的仰角分別為和,在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為,則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到）A． B． C． D．14.（2022屆浙江省嘉興市高三4月二模）2022年北京冬奧會閉幕式上,呈現(xiàn)了大雪花（火炬）被中國結緊緊包裹的畫面,體現(xiàn)了中國“世界大同,天下一家”的理念,數(shù)學中也有類似“包裹”的圖形.如圖,雙圓四邊形即不僅有內切圓而且有外接圓的四邊形,20世紀80年代末,國內許多學者對雙圓四邊形進行了大量研究,如：邊長分別為a,b,c,d的雙圓四邊形,則其內切圓半徑,外接圓半徑.現(xiàn)有邊長均為1的雙圓四邊形,則___________.三、最新模擬練15．（2022屆云南省昆明市高三考前適應性訓練）在中,內角A、B、C所對的邊分別為、、,,,則（

）A． B． C．1 D．1或16.（2022屆安徽省合肥市高三最后一卷）已知在中,．若與的內角平分線交于點,的外接圓半徑為,則面積的最大值為（

）A． B．C． D．17.（2022屆華大新高考聯(lián)盟名校5月押題卷）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器,它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當太陽在正午時刻照射在表上時,日影便會投影在圭面上,圭面上日影長度最長的那一天定為冬至,日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設計的圭表的示意圖,已知某地冬至正午時太陽高度角（即）大約為15°,夏至正午時太陽高度角（即）大約為60°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a,則表高（即AC的長）為（

）A． B． C． D．18.（多選）（2022屆河北省石家莊市高三5月模擬）已知中,為外接圓的圓心,為內切圓的圓心,則下列敘述正確的是（

）A．外接圓半徑為 B．內切圓半徑為C． D．19.（2022屆內蒙古呼倫貝爾市滿洲里市高三三模）在中,角、、的對邊分別是、、,,的面積為,則的最小值是_______.20.（2022屆河北省衡水市部分學校高三聯(lián)考）在中,角的對邊分別為,且__________．(1)求角；(2)若,求的面積的最大值．在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面的問題中并作答．21．(2022屆陜西省西安地區(qū)八校高三5月聯(lián)考)如圖,在平面四邊形ABCD中,E為AD邊上一點,,,.(1)若,求的值；(2)若,求BE的長.四、高考真題練22．（2021新高考全國卷Ⅰ）記的內角,,的對邊分別為,,．已知,點在邊上,．（1）證明：；（2）若,求．23.（2021新高考全國卷Ⅱ）在中,角、、所對的邊長分別為、、,,.．（1）若,求的面積；（2）是否存在正整數(shù),使得為鈍角三角形?若存在,求出的值；若不存在,說明理由．24．（2020新高考山東卷）在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求的值；若問題中的三角形不存在,說明理由．問題：是否存在,它的內角的對邊分別為,且,,________?注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分．25．(2020年全國卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3,求周長的最大值．26．(2019年全國卷Ⅰ)的內角的對邊分別為．設．(1)求；(2)若,求．五、綜合提升練27．（2022屆江蘇省揚州市高郵市高三3月質量檢測）在銳角中,角,,的對邊分別為,,,為的面積,且,則的取值范圍為（

）A． B． C． D．28.（多選）設的三個內角,,所對的邊分別為,,．下列有關等邊三角形的四個命題中正確的是（

）．A．若,則是等邊三角形B．若,則是等邊三角形C．若,則是等邊三角形D．若,則是等邊三角形29.（2022屆江西省景德鎮(zhèn)市高三第二次質檢）1643年法國數(shù)學家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形,求作一點,使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時,所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°）,該點稱為費馬點.已知中,其中,,P為費馬點,則的取值范圍是__________.30.（2022屆河南省安陽市高三模擬）如圖,在平面四邊形ABCD中,,,．(1)若,求的面積；(2)若,求BC．第21練解三角形一、課本變式練1.（人A必修二P52習題2.4T1變式）若在,則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】由以及余弦定理得,化簡得,所以三角形的形狀一定是等腰三角形.故選B2.（人A必修二P52習題2.4T8變式）小李從地面D點看樓頂點A的仰角為30°,沿直線前進72米到達E點,此時看點C的仰角為45°,若,則樓高AB約為（

）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米【答案】A【解析】設,則由題意可得,所以,解得,所以樓高.故選A.3.（人A必修二P52習題2.4T6變式）在△中,,,,則________【答案】【解析】由余弦定理得,.4.（人A必修二P52習題2.4T22變式）已知△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為,求的值．【解析】(1)因為,由正弦定理得：,因為,所以,又因為,,所以．(2)由（1）及余弦定理知,整理得：①由面積公式,整理得②,②相加得,所以．二、考點分類練(一)利用正弦余弦定理解三角形5．（2022屆河南省多校聯(lián)盟高考終極押題）已知的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,,,則（

）A． B．5 C．8 D．【答案】A【解析】由題意可知,,得,,,由余弦定理可得：,整理得：,,故選A6.（多選）在銳角中,角所對的邊分別為,且,則下列結論正確的有（

）A． B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】AD【解析】在中,由正弦定理可將式子化為,把代入整理得,,解得或,即或(舍去).所以.選項A正確.選項B：因為為銳角三角形,,所以.由解得,故選項B錯誤.選項C：,因為,所以,,即的取值范圍.故選項C錯誤.選項D：.因為,所以,.令,,則.由對勾函數(shù)的性質知,函數(shù)在上單調遞增.又,,所以.即的取值范圍為.故選項D正確.故選AD.7.（2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三三模）已知分別為銳角的內角的對邊,若,則面積的最大值為_________．【答案】【解析】因為,由正弦定理可得：,所以.又為銳角三角形,所以.由余弦定理得：（當且僅當a=b時等號成立）即,所以（當且僅當a=b,即為等邊三角形時等號成立）.所以面積的最大值為.8.（2022屆廣西南寧市高三5月診斷）已知△ABC中,分別為內角的對邊,且.(1)求角的大??；(2)設點為上一點,是的角平分線,且,,求的面積.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理及得：,..由余弦定理得,又,所以(2)是的角平分線,,由可得因為,,即有,,故(二)幾何圖形中的解三角形9．空間四邊形ABCD的對角線,,M,N分別為AB,CD的中點,,則異面直線AC和BD所成的角等于（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】取BC的中點P,連接MP,NP,則且,且．故或其補角即為異面直線AC和BD所成的角.由余弦定理可知,,而為三角形內角,故,故異面直線AC和BD所成的角為．故選B．10.（2022屆山東省濟南市高三5月三模）如圖,某市擬建造一個扇形體育公園,其中,千米．現(xiàn)需要在,OB,上分別取一點D,E,F,建造三條健走長廊DE,DF,EF,若,,則的最大值為______千米．【答案】【解析】∵在四邊形中,,,,∴,在△中,由余弦定理得,即,,,當且僅當時取等號,,,即,.11.（2022屆湖北省華中師大一附中高三高考前測試）為了測量一個不規(guī)則公園兩點之間的距離,如圖,在東西方向上選取相距的兩點,點在點A的正東方向上,且四點在同一水平面上．從點A處觀測得點在它的東北方向上,點在它的西北方向上；從點處觀測得點在它的北偏東方向上,點在它的北偏西方向上,則之間的距離為______km.【答案】2【解析】由題意可知,,,故在中,,故,,在中,,故,,所以在中,,則(三)實際應用中的解三角形12．（2022屆安徽省阜陽市高三上學期期末）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中,地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為h.將地球看作是一個球心為O,半徑為r的球,其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù).如果地球表面上某一觀測點與該衛(wèi)星在同一條子午線（經線）所在的平面,且在該觀測點能直接觀測到該衛(wèi)星.若該觀測點的緯度值為,觀測該衛(wèi)星的仰角為,則下列關系一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示,,由正弦定理可得,即,化簡得,故選A13.（2022屆江西師范大學附屬中學高三三模）滕王閣,位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸,始建于唐朝永徽四年,因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛,秋水共長天一色”而流芳后世．如圖,小明同學為測量滕王閣的高度,在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB,高為,在它們的地面上的點M（B,M,D三點共線）測得樓頂A,滕王閣頂部C的仰角分別為和,在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為,則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得,在中,,在中,,,所以,由正弦定理,得,又,在中,.故選D.14.（2022屆浙江省嘉興市高三4月二模）2022年北京冬奧會閉幕式上,呈現(xiàn)了大雪花（火炬）被中國結緊緊包裹的畫面,體現(xiàn)了中國“世界大同,天下一家”的理念,數(shù)學中也有類似“包裹”的圖形.如圖,雙圓四邊形即不僅有內切圓而且有外接圓的四邊形,20世紀80年代末,國內許多學者對雙圓四邊形進行了大量研究,如：邊長分別為a,b,c,d的雙圓四邊形,則其內切圓半徑,外接圓半徑.現(xiàn)有邊長均為1的雙圓四邊形,則___________.【答案】【解析】由題意知：,故,,,故.三、最新模擬練15．（2022屆云南省昆明市高三考前適應性訓練）在中,內角A、B、C所對的邊分別為、、,,,則（

）A． B． C．1 D．1或【答案】A【解析】將代入,得,化簡得,解得,因為,所以,得,所以,故選A．16.（2022屆安徽省合肥市高三最后一卷）已知在中,．若與的內角平分線交于點,的外接圓半徑為,則面積的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由及正弦定理可得,,所以,,則,所以,,所以,的外接圓直徑為,設內角、、的對邊分別記為、、,則,所以,,設的內切圓半徑為,則,所以,,因此,,因為,所以,,當且僅當時,等號成立,因此,面積的最大值為.故選C.17.（2022屆華大新高考聯(lián)盟名校5月押題卷）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器,它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當太陽在正午時刻照射在表上時,日影便會投影在圭面上,圭面上日影長度最長的那一天定為冬至,日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設計的圭表的示意圖,已知某地冬至正午時太陽高度角（即）大約為15°,夏至正午時太陽高度角（即）大約為60°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a,則表高（即AC的長）為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．在中,,在中,．由,得,故選D．18.（多選）（2022屆河北省石家莊市高三5月模擬）已知中,為外接圓的圓心,為內切圓的圓心,則下列敘述正確的是（

）A．外接圓半徑為 B．內切圓半徑為C． D．【答案】BCD【解析】在中,,所以,設外接圓半徑為,則,則,故A錯誤；設內切圓半徑為,則,解得,故B正確；因為,,所以,故C正確；設內切圓與三角形分別切于,則設,,解得,所以,則,,所以,故D正確.故選BCD.19.（2022屆內蒙古呼倫貝爾市滿洲里市高三三模）在中,角、、的對邊分別是、、,,的面積為,則的最小值是_______.【答案】【解析】由及正弦定理可得,,則,,可得,由三角形的面積公式可得,可得,由基本不等式可得,當且僅當時,等號成立,故的最小值為.20.（2022屆河北省衡水市部分學校高三聯(lián)考）在中,角的對邊分別為,且__________．(1)求角；(2)若,求的面積的最大值．在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面的問題中并作答．【解析】(1)選擇條件①：解法一：因為,所以,所以,即,即．因為,所以．又,所以．解法二：因為,所以,即,所以．又,所以．選擇條件②：因為,所以,所以,即,所以．又,所以．選擇條件③：因為,所以,所以．又,所以．(2)因為,由（1）知：所以,故,當且僅當時,取等號,所以,即的面積的最大值為．21．(2022屆陜西省西安地區(qū)八校高三5月聯(lián)考)如圖,在平面四邊形ABCD中,E為AD邊上一點,,,.(1)若,求的值；(2)若,求BE的長.【解析】(1)過B作于F.∵,,∴,在直角中,,∴,∴.(2)連接BD.在中,,,,由余弦定理,得在中,,,由余弦定理,得.在中,,,由余弦定理,得.∵,得∴,得,（負值舍去）.∴.四、高考真題練22．（2021新高考全國卷Ⅰ）記的內角,,的對邊分別為,,．已知,點在邊上,．（1）證明：；（2）若,求．【解析】（1）證明：由正弦定理知,,,,,,即,．；解法二：證明：由正弦定理知,（2）解法一：由（1）知,,,,在中,由余弦定理知,,在中,由余弦定理知,,,,即,得,,,或,在中,由余弦定理知,,當時,（舍；當時,；綜上所述,．23.（2021新高考全國卷Ⅱ）在中,角、、所對的邊長分別為、、,,.．（1）若,求的面積；（2）是否存在正整數(shù),使得為鈍角三角形?若存在,求出的值；若不存在,說明理由．【解析】（1）因為,則,則,故,,,所以,銳角,則,因此,；（2）顯然,若為鈍角三角形,則為鈍角,由余弦定理可得,解得,則,由三角形三邊關系可得,可得,,故.24．（2020新高考山東卷）在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求的值；若問題中的三角形不存在,說明理由．問題：是否存在,它的內角的對邊分別為,且,,________?注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分．【解析】解法一：由可得：,不妨設,則：,即.選擇條件①的解析：據(jù)此可得：,,此時.選擇條件②的解析：據(jù)此可得：,則：,此時：,則：.選擇條件③的解析：可得,,與條件矛盾,則問題中的三角形不存在.25．(2020年全國卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3,求周長的最大值．【解析】（1）由正弦定理可得：,,,（2）由余弦定理得：,即．（當且僅當時取等號）,,解得：（當且僅當時取等號）,周長,周長的最大值為．26．(2019年全國卷Ⅰ)的內角的對邊分別為．設．(1)求；(2)若,求．【解析】（1）由已知得,故由正弦定理得．由余弦定理得．因為,所以．（2）由（1）知,由題設及正弦定理得,即,可得．由于,所以,故．五、綜合提升練27．（2022屆江蘇省揚州市高郵市高三3月質量檢測）在銳角中,角,,的對邊分別為,,,為的面積,且,則的取