高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊第七章 隨機(jī)變量及其分布 講義

第七章隨機(jī)變量及其分布章節(jié)復(fù)習(xí)夯實、拓展、感悟與提升一、夯實雙基，逐層認(rèn)知本章知識網(wǎng)絡(luò)重點1條件概率與全概率公式、貝葉斯公式例1（1）甲、乙、丙三人到三個景點旅游,每人只去一個景點，設(shè)事件“三個人去的景點不相同”，“甲獨自去一個景點”，則概率等于()A.B.C.D.【解析】由題意可知,，所以.故選C.例1（2）某種電子元件用滿3000小時不壞的概率為QUOTE34,用滿8000小時不壞的概率為QUOTE12.現(xiàn)有一只此種電子元件,已經(jīng)用滿3000小時不壞,還能用滿8000小時的概率是()A.QUOTE34 B.C. D.【解析】記事件“用滿3000小時不壞”,記事件“用滿8000小時不壞”,則.所以，，故選B.例1（3）某地一農(nóng)業(yè)科技實驗站,對一批新水稻種子進(jìn)行試驗,已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8,出芽后的幼苗成活率為0.9,在這批水稻種子中,隨機(jī)地抽取一粒,則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為()A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72【解析】設(shè)事件“這粒水稻種子發(fā)芽”,事件“這粒水稻種子成長為幼苗(發(fā)芽,又成長為幼苗)”,事件“這粒水稻種子出芽后能成活”,由,由條件概率計算公式，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72，故選D例1（4）現(xiàn)有12道四選一的單選題，小強(qiáng)對其中9道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.小強(qiáng)從這12道題中隨機(jī)選擇1題，則他做對該題的概率是_______.【解析】設(shè)“選到有思路的題”，“選到的題做對”，由全概率公式，得0.7375【答案】0.7375例1（5）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率為5%;第二批占60%，次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件.（1）求這件產(chǎn)品是合格品的概率;（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率.【解析】設(shè)“取到合格品”，“取到的產(chǎn)品來自第批”()，則，（1）由全概率公式，得（2）由貝葉斯公式，得重點2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值（數(shù)學(xué)期望）與方差例2（1）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求的分布列．【解析】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則（2）的可能取值為200,300,400.，，所以的分布列為200300400例2（2）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法，從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素的含量(單位：mg)，下表是乙廠的5件產(chǎn)品測量數(shù)據(jù).編號123451691781661751807580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中微量元素滿足時，該產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，試估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中任取3件，求抽取的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)的分布列和均值及方差．【解析】（1）設(shè)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為件，依題意得，所以.（2）因為上述樣本數(shù)據(jù)中滿足的只有2件，所以估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品為(件)．（3）依題意，可取0,1,2，則，，所以的分布列為012所以重點3二項分布、超幾何分布例3（1）（多選）下列結(jié)論中，正確的是（）A.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，若表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則B.小雞接種疫苗后，有80%可以免疫，若5只雞接種了疫苗，則恰有1只雞感染病毒的概率為0.4096C.12道四選一的單選題，隨機(jī)猜結(jié)果，猜對答案的題目數(shù)D.100件產(chǎn)品中包含10件次品，不放回地隨機(jī)抽取6件，其中的次品數(shù).【解析】對于A，，所以，，A正確；對于B，設(shè)5只接種疫苗的小雞感染病毒的只數(shù)為，則，所以0.4096，B正確；對于C，每道題猜對與否是獨立的，且每道題猜對答案的概率為0.25，這是一個12重伯努利試驗，正確；對于D，每次抽到次品的概率為0.1，但由于是不放回抽樣，所以每次是否抽到次品不獨立，不滿足二項分布的條件，錯誤，故選ABC例3（2）高一（5）班要從8名男生4名女生中選出4人參加混合接力賽，每名女生都有相同的機(jī)會被選入，則恰好有2名女生被選到的概率是________.【解析】設(shè)選到的4人中女生的人數(shù)為，則服從超幾何分布，所以【答案】例3（3）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和均值.【解析】（1）設(shè)事件“從甲箱中中摸出的1個球是紅球”，“從乙箱中摸出的1個球是紅球”，“顧客抽獎1次獲一等獎”，“顧客抽獎1次獲二等獎”，“顧客抽獎1次能獲獎”，由題意，與相互獨立，與互斥，與互斥，且，，，因為，，所以，所以，所以所求概率為.（2）由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，且每次抽獎是獨立的，是一個3重伯努利試驗，所以，，，，所以的分布列為0123于是的均值為.例3（4）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．【解析】（1）由已知，有所以事件發(fā)生的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為1,2,3,4.所以，隨機(jī)變量的分布列為1234所以隨機(jī)變量的均值重點4連續(xù)型隨機(jī)變量、正態(tài)分布例4（1）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于()A．0.2B．0.3C．0.4 D．0.6【解析】因為隨機(jī)變量，所以正態(tài)分布曲線的對稱軸是直線.又因為，所以，因此，故選C例4（2）某校高三年級在一次月考中約有600人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績(，試卷滿分150分)，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有________人．【解析】因為數(shù)學(xué)成績，所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱，又，所以所以此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有(人)．【答案】120例4（3）某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測試成績服從正態(tài)分布(滿分為100分)，已知，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取3位同學(xué)．（1）求抽到的3位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間[80,85)，[85,95)，[95,100]內(nèi)各有1位同學(xué)的概率；（2）記抽到的3位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間[75,85]內(nèi)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.【解析】（1）由題知，，所以所求概率.（2）所以服從二項分布，，，，所以隨機(jī)變量的分布列是01230.2160.4320.2880.064所以隨機(jī)變量的均值二、拓展思維，熟知方法1.高三畢業(yè)時,甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念,已知甲、乙二人相鄰,則甲、丙相鄰的概率是____.【解析】設(shè)事件“甲、乙二人相鄰”，事件“甲、丙二人相鄰”，則所求概率為,由于,而,表示事件“甲與乙、丙都相鄰”,所以,于是.【答案】2.如圖,三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)，已知取到的條件下，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為________.【解析】設(shè)事件“任取的三個數(shù)中有”，事件“三個數(shù)至少有兩個數(shù)位于同行或同列”，則“三個數(shù)互不同行且互不同列”.依題意可知,所以,所以.即已知取到的條件下,至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為QUOTE1314.【答案】3.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且0.1587，則________.【解析】由題意可知正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得0.1587，所以10.15870.8413.【答案】0.8413三、感悟問題，提升能力1.投擲兩顆均勻骰子,已知點數(shù)不同,設(shè)兩顆骰子點數(shù)之和為,則________.【解析】方法一：投擲兩顆骰子,其點數(shù)不同的所有可能結(jié)果共30種,其中點數(shù)之和的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共11種,所以所求概率.方法二：設(shè)“投擲兩顆骰子,其點數(shù)不同”,“”,則,所以.【答案】QUOTE11302.十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？【解析】依題意，從低層到頂層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次.所以，從低層到頂層停不少于3次的概率設(shè)從低層到頂層停次，則其概率為，所以當(dāng)或時，最大，即最大，答：從低層到頂層停不少于3次的概率為，停4次或5次概率最大．3.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（1）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值；（2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.【解析】（1）隨機(jī)變量的所有可能的值為0,1,2,3，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.4.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者和4名女志愿者，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的頻率；（2）用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列與均值.【解析】（1）設(shè)接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為，則（2）由題意知可能的取值為0,1,2,3,4,則，，，的分布列為01234所以5.某校四門課外選修課的學(xué)生人數(shù)如下表，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中選取15人參加學(xué)校的座談會.選修課學(xué)生人數(shù)A20B30C40D60（1）應(yīng)分別從四門課中各抽取多少名學(xué)生;（2）從抽取的15名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2人，求這2人的選修課恰好不同的概率;（3）若從兩門課中抽取的學(xué)生中再隨機(jī)抽取3人，用表示其中選修的人數(shù)，求的分布列和均值.【解析】（1）應(yīng)分別從四門課中各抽取的學(xué)生人數(shù)為2,3,4,6人（2）這2人的選修課恰好不同的概率為．（3）根據(jù)題意知可能的值為0,1,2,3，，，．的分布列為0123所以．6.某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.2