2.10導數(shù)的應用公開課一等獎課件省賽課獲獎課件

要點梳理1.函數(shù)的單調(diào)性對于函數(shù)y=f(x)，如果在某區(qū)間上f′(x)>0，那么f(x)為該區(qū)間上的______；如果在某區(qū)間上f′(x)<0,那么f(x)為該區(qū)間上的_______.§2.10導數(shù)的應用基礎知識自主學習增函數(shù)減函數(shù)2.函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的辦法普通地,當函數(shù)f(x)在點x0處持續(xù)時,①如果在x0附近的左側________,右側________,那么f(x0)是極大值.②如果在x0附近的左側________,右側________,那么f(x0)是極小值.(2)求可導函數(shù)極值的環(huán)節(jié)①求f′(x);②求方程________的根;③檢查f′(x)在方程_________的根左右值的符號.如果左正右負,那么f(x)在這個根處獲得______;如果左負右正,那么f(x)在這個根處獲得_______.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)=0f′(x)=0極大值極小值3.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a,b]上持續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則____為函數(shù)的最小值，_____為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則_____為函數(shù)的最大值,_____為函數(shù)的最小值.(3)設函數(shù)f(x)在[a,b]上持續(xù),在(a,b)內(nèi)可導，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的環(huán)節(jié)以下:①求f(x)在(a,b)內(nèi)的_____;②將f(x)的各極值與_________比較,其中最大的一個是最大值,最小的一種是最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)極值f(a),f(b)基礎自測1.函數(shù)f(x)=x3-3x2+1是減函數(shù)的區(qū)間為______.

解析

f′(x)=(x3-3x2+1)′=3x2-6x,∵當f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,∴3x2-6x<0,即0<x<2.故單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).(0,2)2.函數(shù)y=1+3x-x3的極大值、極小值分別為_______.

解析

由y=1+3x-x3,得y′=-3x2+3,令y′=0,即-3x2+3=0.得x=±1.∵當x<-1時,y′<0;當-1<x<1時,y′>0;當x>1時,y′<0.∴當x=1時,有y極大值=1+3-1=3;當x=-1時,有y極小值=1-3+1=-1.3,-13.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是___.

解析

f′(x)=3x2-6x,令f(x)=0,得x=0,x=2(舍去).比較f(-1),f(0),f(1)的大小知f(x)max=f(0)=2.4.函數(shù)y=ax3-x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則a的取值范圍是_______.

解析

y′=3ax2-1,∵函數(shù)y=ax3-x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),∴3ax2-1≤0在R上恒成立,即ax2≤恒成立,∴a≤0.a≤02【例1】已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范疇;(2)與否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減？若存在,求出a的取值范疇;若不存在,闡明理由;(3)證明:f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.(1)求f′(x)轉(zhuǎn)化成恒成立問題;(2)假設存在a,求出a值進行檢查.典型例題深度剖析分析(1)解由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2對x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0時,f′(x)=3x2≥0,即f(x)=x3-1在R上是增函數(shù),∴a≤0.(2)解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.當a=3時,f′(x)=3(x2-1),在x∈(-1,1)上,f′(x)<0,即f(x)在(-1,1)上為減函數(shù),∴a≥3.故存在實數(shù)a≥3,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.(3)證明∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的圖象不可能總在直線y=a的上方.跟蹤練習1已知函數(shù)f(x)=x3+ax(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解

由已知f′(x)=x2+a,當a≥0時,f′(x)=x2+a≥0,則f(x)在(-∞,+∞)上遞增;當a<0時,由f′(x)=x2+a>0,因此f(x)的遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是【例2】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=時,y=f(x)有極值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.(1)根據(jù)條件列出a,b,c的三個方程;(2)按照求最值的環(huán)節(jié)求出最值.分析解

(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,當x=1時,切線l的斜率為3,可得2a+b=0①當x=時,y=f(x)有極值,則可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴f′(x)=3x2+4x-4,令f′(x)=0,得x=-2,x=當x變化時,y,y′的取值及變化以下表:∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為x-3(-3,-2)-21y′+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4跟蹤練習2

(2009·廣東三校聯(lián)考)已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函數(shù)y=f(x)在上的最大值和最小值.

解

f′(x)=2x(x+a)+x2+1=3x2+2ax+1∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2.∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+)(x+1).由f′(x)>0,得x<-1或x>由f′(x)<0,得因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為∴f(x)在x=-1處獲得極大值為f(-1)=2;f(x)在x=處獲得極小值為∴f(x)在上的最大值為f(1)=6,最小值為【例3】(2008·山東理)已知函數(shù)f(x)=+aln(x-1),其中n∈N*,a為常數(shù).(1)當n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)當a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當x≥2時,有f(x)≤x-1.(1)解由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>1},當n=2時,f(x)=+aln(x-1),因此①當a>0時,由f′(x)=0,得當x∈(1,x1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(x1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.②當a≤0時,f′(x)<0恒成立,因此f(x)無極值.總而言之,n=2時,當a>0時,f(x)在處獲得極小值,極小值為當a≤0時,f(x)無極值.(2)證明辦法一由于a=1,當n為偶數(shù)時,因此,當x∈［2,+∞)時,g(x)單調(diào)遞增,又g(2)=0,因此,≥g(2)=0恒成立,因此f(x)≤x-1成立.當n為奇數(shù)時,要證f(x)≤x-1,由于因此只需證ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),因此,當x∈［2,+∞)時,h(x)=x-1-ln(x-1)單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,因此當x≥2時,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命題成立.總而言之,結論成立.辦法二當a=1時,當x≥2時,對任意的正整數(shù)n,恒有故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞).當x≥2時,h′(x)≥0,故h(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,因此,當x≥2時,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.故當x≥2時,有即f(x)≤x-1.跟蹤練習3設函數(shù)f(x)=x3-6x+5,x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若有關x的方程f(x)=a有三個不同實根,求實數(shù)a的取值范疇.解(1)f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為當時,f(x)有極大值當時,f(x)有極小值(2)由(1)的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示,當時,直線y=a與y=f(x)的圖象有三個不同交點,即方程f(x)=a有三個不同實根.因此【例4】(12分)(2009·天津)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率;(2)當a≠時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解題示范解(1)當a=0時,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.因此曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為3e.[2分](2)解f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex,令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,由a≠知,-2a≠a-2.[4分]以上分兩種狀況討論(1)若a>,則-2a<a-2.當x變化時,f′(x),f(x)的變化狀況以下表:因此f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-2a,a-2)內(nèi)是減函數(shù).[6分]函數(shù)f(x)在x=-2a處獲得極大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.函數(shù)f(x)在x=a-2處獲得極小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.[8分]x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)極大值極小值(2)若a<,則-2a>a-2.當x變化時,f′(x),f(x)的變化狀況以下表:因此函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,a-2),(-2a,+∞)單調(diào)減區(qū)間為(a-2,-2a).[10分]函數(shù)f(x)在x=a-2處獲得極大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.函數(shù)f(x)在x=-2a處獲得極小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.[12分]x(-∞,a-2)a-2(a-2,

-2a)-2a(-2a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)極大值極小值跟蹤練習4已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx-2的圖象過點(-1,-6),且函數(shù)g(x)=f′(x)+6x的圖象有關y軸對稱.(1)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a>0,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)的極值.解(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(-1,-6),得m-n=-3.①由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,則g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.g(x)的圖象有關y軸對稱,因此因此m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(2,+∞);由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),令f′(x)=0得x=0或x=2.當x變化時,f′(x)、f(x)的變化狀況以下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)極大值極小值由此可得:當0<a<1時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極大值f(0)=-2,無極小值;當a=1時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值;當1<a<3時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極小值f(2)=-6,無極大值;當a≥3時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值.總而言之:當0<a<1時,f(x)有極大值-2,無極小值;當1<a<3時,f(x)有極小值-6,無極大值;當a=1或a≥3時,f(x)無極值.高考中對導數(shù)的應用考察得很頻繁,可直接應用于對某一類函數(shù)性質(zhì)的研究,也能夠聯(lián)系方程的根、不等式的解等綜合問題,填空、解答等題型都有可能，分值比重比較高,是此后高考的重要內(nèi)容之一.特別是運用導數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題已成為炙手可熱的熱點.現(xiàn)有填空題,側重于運用導數(shù)擬定函數(shù)的單調(diào)性和極值;也有解答題,側重于導數(shù)的綜合應用,即導數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合應用.思想辦法感悟提高高考動態(tài)展望1.注意單調(diào)函數(shù)的充要條件,特別對已知單調(diào)性求參數(shù)值(范疇)時,隱含恒成立思想.2.求極值、最值時,規(guī)定環(huán)節(jié)規(guī)范、表格齊全，含參數(shù)時,要討論參數(shù)的大小.3.在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一種極值點,那么只要根據(jù)實際意義鑒定最大值還是最小值即可,不必再與端點的函數(shù)值比較.辦法規(guī)律總結一、填空題1.(2009·江蘇)函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)

間為_________.

解析∵f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),令f′(x)<0得-1<x<11,∴函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間為(-1,11).(-1,11)定時檢測2.(2010·廣東深圳模擬)若函數(shù)h(x)=在(1，+∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范疇是__________.解析∵h′(x)=h′(x)在(1,+∞)上恒不不大于等于0,即≥0,即k≥-2x2在(1,+∞)上恒成立,故k≥-2×(-1)2=-2.3.(2009·廣東改編)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是________.解析f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.[-2,+∞)(2,+∞)4.(2010·無錫調(diào)研)用邊長為48cm的正方形鐵皮做一種無蓋的鐵盒時,在鐵皮的四角各截去一種面積相等的小正方形,然后把四邊折起，就能焊接成鐵盒,所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為_______cm.解析設小正方形邊長為x,鐵盒體積為y.y=(48-2x)2·x=4x3-192x2+2304x.y′=12x2-384x+2304=12(x-8)(x-24).∵48-2x>0,∴0<x<24.∴x=8時,ymax=8192.x(0,8)8(8,24)y′+0-y極大值819285.(2010·常州模擬)已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a處取到極大值,則a的取值范疇是______.解析結合二次函數(shù)圖象知,當a>0或a<-1時,在x=a處獲得極小值,當-1<a<0時,在x=a處獲得極大值,故a∈(-1,0).(-1,0)6.(2009·福建莆田月考)已知函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間[-3,3]上的最大值與最小值分別為M,m，則

M-m=_____.

解析令f′(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2，列表得:可知M=24,m=-8,∴M-m=32.x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f′(x)+0-0+f(x)17極大值24極小值-8-1327.(2010·南京模擬)若函數(shù)f(x)=x+asinx在R上遞增,則實數(shù)a的取值范疇為_______.解析∵f′(x)=1+acosx,∴要使函數(shù)f(x)=x+asinx在R上遞增,則1+acosx≥0對任意實數(shù)x都成立.∵-1≤cosx≤1,①當a>0時-a≤acosx≤a,∴-a≥-1,∴0<a≤1;②當a=0時適合;③當a<0時,a≤acosx≤-a,∴a≥-1,∴-1≤a<0.綜上,-1≤a≤1.[-1,1]8.(2009·重慶改編)把函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象C1向右平移u個單位長度,再向下平移v個單位長度后得到圖象C2,若對任意u>0,曲線C1與C2至多只有一種交點,則v的最小值為_____.解析令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,∴函數(shù)f(x)=x3-3x在x=±1處獲得極值,且f(-1)=2,f(1)=-2,函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.圖象C1經(jīng)平移后得到C2,∵對任意v>0,曲線C1與C2至多只有一種交點,則C2的極大值必須不大于或等于C1的極小值;即2-v≤-2,∴v≥4.49.(2008·江蘇,14)f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1，1]總有f(x)≥0成立,則a=____.解析若x=0,則不管a取何值,f(x)≥0都成立;當x>0即x∈(0,1]時,f(x)=ax3-3x+1≥0可化為因此g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)max==4,從而a≥4;當x<0即x∈[-1,0)時,f(x)=ax3-3x+1≥0可化為在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增,因此g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上a=4.答案

4二、解答題10.(2010·河南開封調(diào)研)設a>0,函數(shù)b為常數(shù).(1)證明:函數(shù)f(x)的極大值點和極小值點各有一種;(2)若函數(shù)f(x)的極大值為1,極小值為-1,試求a的值.(1)證明令f′(x)=0,得ax2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b2+4a2>0,∴方程(*)有兩個不相等的實根,記為x1,x2(x1<x2),當x變化時,f′(x)與f(x)的變化狀況以下表:可見,f(x)的極大值點和極小值點各有一種.(2)解由(1)得x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)極小值極大值即(x2+x1)(x2-x1)=0,又x1<x2,∴x1+x2=0,從而b=0,∴a(x2-1)=0,得x1=-1,x2=1,由②得a=2.11.(2009·江蘇南通二模)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范疇;(2)若x=是f(x)的極值點,求f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的條件下,與否存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點,若存在,請求出實數(shù)b的取值范疇;若不存在,試闡明理由.解(1)f′(x)=3x2-2ax-3∵f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立則必有≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0.(2)依題意,∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x令f′(x)=3x2-8x-3=0,得x1=x2=3.則當x變化時,f′(x),f(x)的變化狀況以下表:∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.x1(1,3)3(3,4)4f′(x