重慶地區(qū)2023年高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

x+y>2,

1,若實(shí)數(shù)乂y滿足不等式組則3x+），的最小值等于（）

x-”0,

A.4B.5C.6D.7

2.在邊長為2的菱形ABC。中，BD=2后,將菱形ABC。沿對(duì)角線AC對(duì)折，使二面角B—AC—。的余弦值為g,

則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

A.——B.27rC.44D.67r

3

3.若集合A=k|y=Vr^},8={x|_3Vx<3},則AB=（）

A.[-3,2]B.{x|2<x<3}

C.（2,3）D.{x|-3Wx<2}

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

?32，,16

A.32B.—C.16D.—

33

5.已知函數(shù)/（幻=卜一0若f（a）>于出）,則下列不等關(guān)系正確的是（

)

Inx,x>1

3-<-：—B.\[a>y/b

3/+1

C.a2<ahD.ln(a~+1)>ln(/r+1)

6.已知函數(shù)g(x)=/(2x)+x2為奇函數(shù)，且/⑵=3,貝！|/(—2)=()

A.2B.5C.1D.3

7.如圖所示，正方體ABCO-Ai'GOi的棱長為1,線段BiOi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F且EF=注，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的

是()

A.AC1.BEB.E尸〃平面A8C。

C.三棱錐A-3EF的體積為定值D.異面直線AE,B尸所成的角為定值

8.已知函數(shù)./■(幻=(以2_。-1)，3€/?)若對(duì)區(qū)間[0,1]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)樸%、%,都有/(3)+/(々)2/。3)，

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.[1,2]B.[e,4]C.[14]D.[l,2)u[e,4]

9.已知等比數(shù)列｛4｝滿足q=3,4+4+/=21,則%+%+%=()

A.21B.42C.63D.84

io.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：

X1234

ym3.24.87.5

若)'關(guān)于X的線性回歸方程為y=2.卜―0.25,則加的值為()

C.3.5D.4.5

11.函數(shù)y=/(x)滿足對(duì)任意xeR都有/(x+2)=/(一力成立，且函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

"1)=4,貝！|〃2016)+〃2017)+〃2018)的值為()

A.0B.2C.4D.1

Xv*

12.已知函數(shù),g(x)=ln/+l,若/(〃?)=g(〃)成立，則”機(jī)的最小值為()

A.0B.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x＞1

13.已知羽）滿足x+y44且目標(biāo)函數(shù)z=2x+），的最大值為7,最小值為1,則小土￡=.

7八61

QX++cW0

a?°T

14.設(shè)數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意正整數(shù)〃，都有。11=0,則q=一

1-2〃S“

15.曲線y=+1）/在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為一.

16.某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)），排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物

理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)

和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有種.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓。的焦點(diǎn)為耳（一0,0），K（G,0）,M為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

明用+|叫=4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：y=丘+加（左＞0,加＞0）交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，且滿足（即2,%”，后0分別為直線

PQ,OP,OQ的斜率），求\OPQ的面積為與時(shí)直線PQ的方程.

2

x—t

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系x。），中，直線/的參數(shù)方程為1Cc。為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的

y=3-2t

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4sin6.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線/與曲線。交于A、B兩點(diǎn),求AQ鉆的面積.

22

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓。：3+/=1（。＞0/＞0）的短軸長為2,直線/與橢圓。相交

171

于A5兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為".當(dāng)M與。連線的斜率為-大時(shí)，直線/的傾斜角為:

24

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若|AB|=2,P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：百

20.(12分)如圖，在四棱錐P—A3CD中，BC±CD,AD^CD,PA=30，八鉆C和AP3C均為邊長為2G

的等邊三角形.

(1)求證：平面P3C_L平面A8CD；

(2)求二面角C—的余弦值.

21.(12分)2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活

動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.

方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客

從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽

取3次.

方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客

從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.

(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

(2)若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)？

22.(10分)已知函數(shù)=g(x)=alnx,aeR.函數(shù)/z(x)=/(立-g(x)的導(dǎo)函數(shù)&'(x)

在I，4上存在零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)當(dāng)xe[(),同時(shí)，函數(shù)/(x)在x=0時(shí)取得最大值，求正實(shí)數(shù)b的最大值；

⑶若直線/與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在軸上的截距為-⑵求實(shí)數(shù)”的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求2的最小值.

【詳解】

x+y>2

解：作出實(shí)數(shù)x,）‘滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）

x-y>0

x+y-2=0

由*得

x—y=O

由z=3x+y得y=_3x+z,平移y=-3x,

易知過點(diǎn)A時(shí)直線在>上截距最小,

所以z而“=3xl+l=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題.

2.D

【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得NBND即為二面角B-AC—。的平面角，過點(diǎn)B作8OLDV于。，易得點(diǎn)。為一AOC的

[7Y（iQY

中心，則三棱錐A-BCD的外接球球心在直線80上，設(shè)球心為。I,半徑為廣，列出方程3-r+王=r

I3JI3J

即可得解.

【詳解】

如圖，由題意易知一A8C與一AOC均為正三角形，取AC中點(diǎn)N,連接3N,DN,

則BN_LAC,￡W_LAC,NffiVO即為二面角B—AC—。的平面角，

過點(diǎn)8作8O_L￡）N于0,則BO_L平面4C。，

由BN=N￡>=G，cosNBND==可得ON=BN?cosNBND=叵,0。=友，OB=

333

ON=；Nr>即點(diǎn)0為△AOC的中心，

.??三棱錐A—3C。的外接球球心在直線B0上，設(shè)球心為。],半徑為廣，

2娓

BO、=DO】=r,OO]

.{25/6j/zGYj加農(nóng)V6

??r+_Y解得i=9

332

I°7\7乙

93

???三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4萬/=4萬x—=6萬.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

先確定集合A中的元素，然后由交集定義求解.

【詳解】

A=卜|y=j2-x}=2},B={x]-3<3},AcB="x|-34xW2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵.

4.D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何

體的體積.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為-x2x2x2+-xlx2x2x2=^.

2323

故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/(X)在R上單調(diào)遞增，Af(a)>f(b),：.a>b.

???。切的符號(hào)無法判斷，故/與/，/與。。的大小不確定，

對(duì)A,當(dāng)。=1力=-1時(shí)，=故A錯(cuò)誤；

Q4~1h+1

對(duì)C,當(dāng)。=1,〃=-1時(shí)，ci~-1,ah——19故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)a=l,b=-1時(shí)，ln(?2+l)=ln(ft2+l),故D錯(cuò)誤；

對(duì)B,對(duì)則指〉強(qiáng),故8正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

由函數(shù)g(x)=/(2x)+X2為奇函數(shù)，則有g(shù)(—l)+g⑴=0=>/(-2)+1+/(2)+1=0，代入已知即可求得.

【詳解】

g(—l)+g(l)=0=/(—2)+l+/(2)+l=0=/(-2)=-5.

故選：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題的能力，難度較易.

7.D

【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假；D.根

據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因?yàn)锽D=D,所以AC_L平面8。。蜴，

又因?yàn)锽Eu平面6。，片，所以故正確；

B.因?yàn)镽BJ/DB,所以EF//DB,且EF仁平面ABC。，D3u平面ABC。，

所以EE//平面ABC。，故正確；

C.因?yàn)镾BEF=LXEFXBB]=也為定值,A到平面BOD4的距離為〃=」AC=也，

BEF2,422

所以匕,F=:'詆/='為定值，故正確;

D.當(dāng)4GBR=E,ACoBD^G,取尸為四，如下圖所示:

因?yàn)锽F//EG,所以異面直線所成角為NAEG,

V2

日AG_彳尤,

tanZA￡G~GE~~V~~

當(dāng)ACJBp=F,ACr>BD=G,取E為R,如下圖所示:

因?yàn)镈F//GB,DF=GB,所以四邊形是平行四邊形，所以BF//DQ,

也

.JG工一邪>

所以異面直線AE,BF所成角為ZAEG,且tdn4人七。一無-I,^-,7一號(hào)，

由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時(shí)，將直線平移至同一平面內(nèi).

8.C

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、々、￡，都有

/(x,)+/(x2)>/(x}),得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得fr(x)=ax-［ex+(x-l)ev］=ax-xex-x(a-ex).

當(dāng)aVl時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)無］、工2、七，都有/(%)+/(%2"/(七)，

所以/(1)+/(1)2/(0)，

所以一ad—a>l,

22

故哈1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當(dāng)，a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在［O,lna］單調(diào)遞增，在(Ina,1］單調(diào)遞減.

所以/(x)max=/(ln?)=-?ln2a-alna+a,

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0/內(nèi)的任意實(shí)數(shù)芯、%、%,都有/(M)+/(々)2/(毛),

所以〃0)+/(1)之/(如。),

B112

所以1+一。之一olrra-alna+a,

22

121

即一ciInci—olnaH—ci—140

22

令g(Q)=3。1口2。一。111。+3々-1,(1＜。＜6),

所以g'(a)=g(ln2a—l)＜0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,

所以g(a)m,x=g6=—g<°，

所以當(dāng)lWa<e時(shí)，滿足題意.

當(dāng)aNe時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)芭、々、七，都有/(石)+/(工2)?/(芻)，

所以/(0)+/(0)2/⑴，

故,

2

所以。<4.

故e工QW4.

綜上所述，ae［1,4］.

故選C.

點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間［。，1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)小馬、毛，都有/(3)+/(%2)2/(七)”的轉(zhuǎn)化.由于是函

數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、極值等)來分析解

答問題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破

口.

9.B

【解析】

由ai+a3+as=21得qQ+q?+q4)=211+g?+q4=7=2a3+a$+a7=/(4+4+%)=2x21=42,選B.

10.D

【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到1=2.5,代入回歸方程，可得亍=5,再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.

【詳解】

利用表格中數(shù)據(jù)，可得7=2.5,

又y=2.lx-0.25,r.y=5,

ZK+3.2+4.8+7.5—20?

解得m=4.5

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱可得"可為奇函數(shù)，結(jié)合/(x+2)=/(-x)可得“X)是周期為4

的周期函數(shù)，利用/(0)=。及/(1)=4可得所求的值.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以〉=/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以/(%)為R上的奇函數(shù).

由/(%+2)=/(-x)可得/(x+2)=-〃x),故_f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

故/(x)是周期為4的周期函數(shù).

因?yàn)?016=4x504,2017=4*504+1,2018=4*504+2,

所以/(2016)+/(2017)+〃2018)=/(0)+〃1)+/(2)=4+〃2).

因?yàn)?(x+2)=/(_x),故/(0+2)=/(4)=-/(0)=0,

所以/(2016)+/(2017)+/(2018)=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函數(shù)“X)滿足/(x+a)=-/(x)(a。。)，那么是周期

為2。的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.

12.A

【解析】

令"，〃)=g(〃)=r，進(jìn)而求得〃-m=2e'T-21n，-2,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求解.

【詳解】

in]

,.,/(/〃)==f,e2=]n]+l=f(Z>0)>?-n—m=2e''—2\nt—2>

令：h(t)^2e'-'-2lnt-2,h'(t)=2e'-l,〃⑺在(0,+。)上增，

且〃(I)=0,所以力(。在(0,1)上減，在(1,+oo)上增，

所以〃(0即=〃(1)=2-2=0,所以九一〃?的最小值為0.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來表示〃和機(jī)是本題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-2

【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y

軸上的截距最大最小值時(shí)所在的頂點(diǎn)即可.

【詳解】

由題意得：目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y在點(diǎn)B取得最大值為7,在點(diǎn)A處取得最小值為1,

/.A(l,-1),3(3,1),

，直線AB的方程是：x-y-2=0,

則竺竺￡=一2,故答案為—2.

a

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎(chǔ)題.

14.-1

【解析】

利用行列式定義，得到。〃與S“的關(guān)系，賦值〃=1,即可求出結(jié)果。

【詳解】

a0—1??

"1101

由o11=4。J-Lo=%(5.+2〃)+1=0,令〃=1,

-2/1S“|1-2n

1-2nS?1

得4(4+2)+l=0,解得4=-1。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。

15.x—y+1=0

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率，然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，即可寫出切線方程.

【詳解】

因?yàn)椋舅裕?任+2%+1產(chǎn)，從而切線的斜率左=1,

所以切線方程為丁-1=1。-0),即x—y+l=0.

故答案為：x-y+l=0

【點(diǎn)睛】

本題主要考查過曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.

16.1344

【解析】

分四種情況討論即可

【詳解】

解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有：C：xA：xC：=384

數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有：C；xA：xC：=288

數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有：C；xA：xC：=288

數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有：C：xA：xC：=384

所以共有1344種

故答案為：1344

【點(diǎn)睛】

考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)-+y2=1(2)y-—x+^-y-—x+^-

4?22-22

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義求得。力，得橢圓方程;

y=kx+m

⑵設(shè)尸（七,4）,0（七,%），由，X22,得（1+4左2+85式+4〉-4=0,應(yīng)用韋達(dá)定理得司+%,占與，

一+y=]

[4'

代入已知條件或=夠?自2可得k=再由橢圓中弦長公式求得弦長|PQ|,原點(diǎn)。到直線P。的距離d,得三角

形面積，從而可求得”?，得直線方程.

【詳解】

22

解：（1）據(jù)題意設(shè)橢圓C的方程為之■+3=l（a>A>0）

a~b~

2a=4

貝?|<c=G

-2^a2+b2

.a=2,h2=1

v-2

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4-

y=kx+m

2

(2)據(jù)x2得(1+4攵2)尤2+8/jnx+4根2-4=0

彳+)，=1

??.64224一40+4戶)(4加2一4)>0

Am2<48+1

設(shè)P(ay),。(J見)，貝！I玉+%=一法%馬=缶、

1十^TK1十^TK

,/=工.匹

%x2

/.(AXj+/77)(AX2+%2)=%2玉%2

2

：.nik^xx+x2)+m=0

暫心加=0

1+4公

又k>0,m>0

：.k=^-

2

,-----------I----------：-------4\/(1+公)(4、+1一九2

2

:.\PQ\=>Jl+k-A/(X1+X2)--4XIX2=△------浮---------

1十^"vK

原點(diǎn)。到直線PQ的距離d

,SAORO=；X|PQ|xd=2嗯:丁=H，2-Wm>0)

N1-rqK

解得m=―乙或根="

22

，所求直線P。的方程為yf+等或yf+半

【點(diǎn)睛】

本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題.解題時(shí)采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

P(4,,),。(々,為)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得X+%2，%丙，把這個(gè)結(jié)論代入題中條件求得

參數(shù)，用它求弦長等等，從而解決問題.

18.(1)/:2x+y-3=0,C:x2+y2-4^=0；(2)

【解析】

(1)在直線/的參數(shù)方程中消去參數(shù)/可得出直線/的普通方程，在曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以「，結(jié)合

n2=x2+y2

.八?可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

psm6=y

(2)計(jì)算出直線/截圓C所得弦長|A8|,并計(jì)算出原點(diǎn)。到直線〔的距離d'，利用三角形的面積公式可求得AOAB的

面積.

【詳解】

x=t

(1)由cc得y=3-2x,故直線/的普通方程是2x+y-3=0.

y=3-2/

’222

由夕=4sin。，得夕2=4/Jsin。，代入公式,'*'得/+9=4丫，Mx2+j2-4y=0,

psin0=y

故曲線C的直角坐標(biāo)方程是f+y2-4y=0；

(2)因?yàn)榍€。：/+)，2-4y=0的圓心為(0,2),半徑為r=2,

圓心(0,2)到直線2x+y-3=0的距離為4=匕3='5，

則弦長|A5|=2/2—/=2卜_[q]

又。到直線/：2x+y-3=0的距離為寸=甲=坐,

V55

所以SA匈=；|AB|xd'=；xWx乎=乎.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線與圓中三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力,

屬于中等題.

19.(1)y+y=1;(2)詳見解析.

【解析】

(1)由短軸長可知人=1,設(shè)ACr”x),B(x2,y2),由設(shè)而不求法作差即可求得n二立.=一［.±±玉，將相應(yīng)值

%一%aX+%

代入即求得a=血，橢圓方程可求；

(2)考慮特殊位置，即直線/與x軸垂直時(shí)候，=成立，當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)出直線/方程＞=區(qū)+加，

與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，弦長公式，得到加與人的關(guān)系，將|OM『表示出來，結(jié)合基本不等式求最值，證

明最后的結(jié)果

【詳解】

解：(1)由己知，得人=1

2

竺

+-

戶

由＜2兩式相減，得

%

+

一-

,a2戶

從百+當(dāng)

-2b

ayi+y2

根據(jù)已知條件有，

當(dāng)±12=—2時(shí)，21二&=1

乂+必西一工2

.〃—>即4=^2

a2

...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+＞2T

(2)當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，|。"=1(百，不等式成立.

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)/:y=Ax+機(jī)

y=kx+m得（2公+]）￡+4熱+2加一2=0

由，

x2+2y2=2y7

.-4km2/〃~—2,,

—s---，A=16左2—8機(jī)2+8>0

??須+%2二斤石，七九22/+1

-2kmm《+2

?M41

2k2+l'2k2+l）11（23+1）2

由|AB|=ViTF.旭旺頁亙=2

2k2+]

2二+1

化簡，得加2

2公+2

4左2+1

（2&2+1）（2&2+2）

令4公+1=年1，則

4f4

\OMf

（，+D（，+3）-

1+—+4

t

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

26=G-1

':\OF\<\OM\+X

.-.|0P|<V3

當(dāng)且僅當(dāng)公=4i二1時(shí)取等號(hào)

4

綜上，|O”(石

【點(diǎn)睛】

本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓方程的求法，點(diǎn)差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識(shí)轉(zhuǎn)

化處理復(fù)雜的計(jì)算形式，要求學(xué)生計(jì)算能力過關(guān)，為較難題

20.(1)見證明；(2)

13

【解析】

(1)取8c的中點(diǎn)。，連接ORQ4,要證平面BBC，平面ABC。，轉(zhuǎn)證OP，平面ABC。，即證OP_LQ4,

OPLBC即可；(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A,OB,OP為x，?z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求

出平面PBD與平面PBC的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】

(1)取BC的中點(diǎn)。，連接。P,OA,

因?yàn)閊ABC,\PBC均為邊長為26的等邊三角形，

所以AOLBC,OP1BC,且Q4=OP=3

因?yàn)锳P=3及，所以O(shè)/^+OA?二人產(chǎn)？，所以。PLQ4，

又因?yàn)椤?cBe=O,OAu平面ABC。，BCu平面ABC。，

所以O(shè)P,平面4BC￡).

又因?yàn)镺Pu平面PBC,所以平面PBC_L平面ABCO.

(2)因?yàn)锽CLCZ),ZV3C為等邊三角形，

所以NACO=—,又因?yàn)锳P=CQ,所以NC4O=上，ZADC=—,

663

在AADC中，由正弦定理，得：———=———,所以CD=2.

smZADCsinZCAP

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。4,03,0尸為乂乂2軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,3）,網(wǎng)0,百,0）,D（2,-V3,o）,BP=8一6,3）,BD=（2,-2后,0-

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

n-BP=Q-\[?>y+3z=0

則,即《

nBD=02%-2百y=0

令z=l,則平面PBD的一個(gè)法向量為〃=卜,百

依題意，平面PBC的一個(gè)法向量帆=(1,0,0)

~'/\mn3\/13

所以3（九"）=麗=下

故二面角C—PB—D的余弦值為主叵.

13

【點(diǎn)睛】

空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求

出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空

間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

21.⑴/（2）①100元,80元②第一種抽獎(jiǎng)方案.

【解析】

101門1

（1）方案一中每一次摸到紅球的概率為〃=者=3，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金券的概率為J=輸

根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概率

（2）①分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即

可②根據(jù)①得出結(jié)論.

【詳解】

（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為。=g

設(shè)“每位顧客獲得180元返金券”為事件A,則=:

所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=尸（A）?網(wǎng)㈤=擊

12

（2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次摸到紅球的概率為彳，每一次摸到白球的概率為；.

33

設(shè)獲得返金券金額為X元，則X可能的取值為60,100,140,180.

貝!JP（X=60）=C：C吟；

P（X=W0）=C；聯(lián)|）W，

P（X=U0）=嗯福$

"（X$8O）=C；?$.

所以選擇抽獎(jiǎng)方案一，該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為

X421

E（X）=60x—+100x-+140x-+180x—=100（元）

''279927

若選擇抽獎(jiǎng)方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為y,最終獲得返金券的金額為Z元，則丫~5。,；），

故E（y）=3x§=l

所以選擇抽獎(jiǎng)方案二，該顧客獲得返金券金額的

數(shù)學(xué)期望為￡（Z）=E（80Y）=80（元）.

②即￡（X）>E（Z）,所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎(jiǎng)方案

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布，期望，及概率知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

22.（1）[10,28]；（2）4；（3）12.

【解析】

（1）由題意可知，〃（x）=x2_x_alnx-a+16,求導(dǎo)函數(shù)"（x）,方程2/一工一。=0在區(qū)間|，4上有實(shí)數(shù)解，求

出實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵由/（x）：%3—V—g_]6）x,貝！j/'（x）=3x2-2x-a+16,分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，

得出正實(shí)數(shù)〃的最大值；

⑶設(shè)直線/與曲線y=〃x）的切點(diǎn)為16）%），因?yàn)?'（力=3%2-2x-（a—16）,所以切線斜率

左=3叫2一2%-（。-16）,切線方程為y=（24-a）x-12,設(shè)直線/與曲線y=g（x）的切點(diǎn)為（￡,aln尤2），因?yàn)?/p>

g'（x）=@,所以切