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文檔簡介
正弦和余弦(一)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
使學生知道當直角三角形的銳角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都
固定這一事實.
(二)能力訓練點
逐步培養(yǎng)學生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
引導(dǎo)學生探索、發(fā)現(xiàn),以培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學習
習慣.
二、教學重點、難點
1.重點:使學生知道當銳角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固
定的這一事實.
2.難點:學生很難想到對任意銳角,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固
定的事實,關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學生比較、分析,得出結(jié)論.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.如圖6-1,長5米的梯子架在高為3米的墻上,則A、B間距離為多少
米?
2.長5米的梯子以傾斜角NCAB為30??吭趬ι希瑒tA、B間的距離為
多少?
3.若長5米的梯子以傾斜角400架在墻上,則A、B間距離為多少?
4.若長5米的梯子靠在墻上,使A、B間距為2米,則傾斜角NCAB為多
少度?
前兩個問題學生很容易回答.這兩個問題的設(shè)計主要是引起學生的回憶,并
使學生意識到,本章要用到這些知識.但后兩個問題的設(shè)計卻使學生感到疑惑,
這對初三年級這些好奇、好勝的學生來說,起到激起學生的學習興趣的作用.同
時使學生對本章所要學習的內(nèi)容的特點有一個初步的了解,有些問題單靠勾股定
理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的,解決這類
問題,關(guān)鍵在于找到一種新方法,求出一條邊或一個未知銳角,只要做到這一點,
有關(guān)直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來.
通過四個例子引出課題.
(二)整體感知
1.請每一位同學拿出自己的三角板,分別測量并計算30。、45。、60°
角的對邊、鄰邊與斜邊的比值.
學生很快便會回答結(jié)果:無論三角尺大小如何,其比值是一個固定的值.程
度較好的學生還會想到,以后在這些特殊直角三角形中,只要知道其中一邊長,
就可求出其他未知邊的長.
2.請同學畫一個含40°角的直角三角形,并測量、計算40°角的對邊、
鄰邊與斜邊的比值,學生又高興地發(fā)現(xiàn),不論三角形大小如何,所求的比值是固
定的.大部分學生可能會想到,當銳角取其他固定值時,其對邊、鄰邊與斜邊的
比值也是固定的嗎?
這樣做,在培養(yǎng)學生動手能力的同時,也使學生對本節(jié)課要研究的知識有了
整體感知,喚起學生的求知欲,大膽地探索新知.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
1.通過動手實驗,學生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值,它的對
邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”.但是怎樣證明這個命題呢?學生這時
的思維很活躍.對于這個問題,部分學生可能能解決它.因此教師此時應(yīng)讓學生
展開討論,獨立完成.
2.學生經(jīng)過研究,也許能解決這個問題.若不能解決,教師可適當引導(dǎo):
若一組直角三角形有一個銳角相等,可以把其
頂點A”2,A3重合在一起,記作A,并使直角邊AC,AC2,AC3……落
在同一條直線上,則斜邊AB”AB2,AB3……落在另一條直線上.這樣同學們
能解決這個問題嗎?引導(dǎo)學生獨立證明:易知,BCl〃B2c2〃B3c3……,/.△
ABlClSaAB2c2s2^AB3c3s,?\
形中,NA的對邊、鄰邊與斜邊的比值,是一個固定值.
通過引導(dǎo),使學生自己獨立掌握了重點,達到知識教學目標,同時培養(yǎng)學生
能力,進行了德育滲透.
而前面導(dǎo)課中動手實驗的設(shè)計,實際上為突破難點而設(shè)計.這一設(shè)計同時起
到培養(yǎng)學生思維能力的作用.
sin60P
練習題為2作了孕伏同時使學生知道任意銳角的對邊與斜邊的比
值都能求出來.
(四)總結(jié)與擴展
1.引導(dǎo)學生作知識總結(jié):本節(jié)課在復(fù)習勾股定理及含30°角直角三角形的
性質(zhì)基礎(chǔ)上,通過動手實驗、證明,我們發(fā)現(xiàn),只要直角三角形的銳角固定,它
的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.
教師可適當補充:本節(jié)課經(jīng)過同學們自己動手實驗,大膽猜測和積極思考,
我們發(fā)現(xiàn)了一個新的結(jié)論,相信大家的邏輯思維能力又有所提高,希望大家發(fā)揚
這種創(chuàng)新精神,變被動學知識為主動發(fā)現(xiàn)問題,培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識.
2.擴展:當銳角為30°時,它的對邊與斜邊比值我們知道.今天我們又發(fā)
現(xiàn),銳角任意時,它的對邊與斜邊的比值也是固定的.如果知道這個比值,己知
一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了.看來這個比值很重要,下節(jié)課我們就著
重研究這個“比值”,有興趣的同學可以提前預(yù)習一下.通過這種擴展,不僅對
正、余弦概念有了初步印象,同時又激發(fā)了學生的興趣.
四、布置作業(yè)
本節(jié)課內(nèi)容較少,而且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的,因此課后應(yīng)要求學生預(yù)
習正余弦概念.
五、板書設(shè)計
?正弦和余弦(二)
一、素質(zhì)教育
目標
第十四章解直角三角形
(一)知識教學
一、銳角三角函數(shù)證明:
點
使學生初步了
解正弦、余弦概念;
結(jié)論:
能夠較正確地用
sinA、cosA表示直
角三角形中兩邊的
練習:比;熟記特殊角
30°、45°、60°
角的正、余弦值,
--------------------------------------------------------并能根據(jù)這些值說
出對應(yīng)的銳角度數(shù).
(二)能力訓練點
逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的思維能力.
(三)德育滲透點
滲透教學內(nèi)容中普遍存在的運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點.
二、教學重點、難點
1.教學重點:使學生了解正弦、余弦概念.
2.教學難點:用含有幾個字母的符號組sinA、cosA表示正弦、余弦;正
弦、余弦概念.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.引導(dǎo)學生回憶“直角三角形銳角固定時,它的對邊與斜邊的比值、鄰邊
與斜邊的比值也是固定的.”
2.明確目標:這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的
比值一一正弦和余弦.
(二)整體感知
只要知道三角形任一邊長,其他兩邊就可知.
而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn):只要直角三角形的銳角固定,它的對邊與斜邊、鄰邊與
斜邊的比值也固定.這樣只要能求出這個比值,那么求直角三角形未知邊的問題
也就迎刃而解了.
通過與“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比,學生自然產(chǎn)生想
學習的欲望,產(chǎn)生濃厚的學習興趣,同時對以下要研究的內(nèi)容有了大體印象.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
正弦、余弦的概念是全章知識的基礎(chǔ),對學生今后的學習與工作都十分重要,
因此確定它為本課重點,同時正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應(yīng)的函
數(shù)思想,又用含幾個字母的符號組來表示,因此概念也是難點.
在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上,引入正、余弦,“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做
正弦、余弦”.如圖6—3:
請學生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義,以培養(yǎng)學生概括能力及語言表達能
力.教師板書:在AABC中,NC為直角,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫
做NA的正弦,記作sinA,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦,記作cosA.
若把NA的對邊BC記作a,鄰邊AC記作b,斜邊AB記作c,則
引導(dǎo)學生思考:當/A為銳角時,sinA、cosA的值會在什么范圍內(nèi)?得結(jié)
論0VsinA<1,0VcosA<1(NA為銳角).這個問題對于較差學生來說有些難
度,應(yīng)給學生充分思考時間,同時這個問題也使學生將數(shù)與形結(jié)合起來.
教材例1的設(shè)置是為了鞏固正弦概念,通過教師示范,使學生會求正弦,這
里不妨增問“cosA、cosB”,經(jīng)過反復(fù)強化,使全體學生都達到目標,更加突
出重點.
例1?求出圖6—4所示的RtAABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.
學生練習1中1、2、3.
讓每個學生畫含30。、45°的直角三角形,分別求sin30°、sin45°、
sin60°和cos30°、cos45°、cos60°.這一練習既用到以前的知識,又鞏固
正弦、余弦的概念,經(jīng)過學習親自動筆計算后,對特殊角三角函數(shù)值印象很深刻.
例2?求下列各式的值:
為了使學生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值,這里還應(yīng)安排六個小題:
(1)sin45°+cos45;????????????????(2)sin30°-cos60°;
在確定每個學生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后,引導(dǎo)學生思考,”請大家觀
察特殊角的正弦和余弦值,猜測一下,sin20°大概在什么范圍內(nèi),cos50°呢?"
這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學生的觀察力、注意力,而且培養(yǎng)學生勇于思考、大膽創(chuàng)新
的精神.還可以進一步請成績較好的同學用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增
大而增大,余弦值隨角度增大而減小."為查正余弦表作準備.
(四)總結(jié)、擴展
首先請學生作小結(jié),教師適當補充,”主要研究了銳角的正弦、余弦概念,
已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值.知道任意銳角A的正、余弦
值都在。?1之間,即
0<sinA<1,????????????????????????????0VcosA<1(NA為銳
角).
還發(fā)現(xiàn)RtZSABC的兩銳角NA、ZB,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值
隨角度增大而增大,余弦值隨角度增大而減小.”
四、布置作業(yè)
教材習題14.1中A組3.
預(yù)習下一課內(nèi)容.
五、板書設(shè)計
14.1正弦和余弦(二)
一、概念:三、例1---------四、特殊角的正余弦值
二、范圍:-----------五、例2-----------
正弦和余弦(三)
?一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
使學生了解一個銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)
系.
(二)能力訓練點
逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神.
二、教學重點、難點
1.重點:使學生了解一個銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之
間的關(guān)系并會應(yīng)用.
2.難點:一個銳角的正弦(余弦)與它的余角的余弦(正弦)之間的關(guān)系的應(yīng)用.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.復(fù)習提問
(1)、什么是NA的正弦、什么是NA的余弦,結(jié)合圖形請學生回答.因為正
弦、余弦的概念是研究本課內(nèi)容的知識基礎(chǔ),請中下學生回答,從中可以了解教
學班還有多少人不清楚的,可以采取適當?shù)难a救措施.
(2)請同學們回憶30°、45°、60°角的正、余弦值(教師板書).
(3)請同學們觀察,從中發(fā)現(xiàn)什么特征?學生一定會回答“sin30°=
cos60°,sin45°=cos45°,sin60°=cos30°,這三個角的正弦值等于它們
余角的余弦值”.
2.導(dǎo)入新課
根據(jù)這一特征,學生們可能會猜想“一個銳角的正弦(余弦)值等于它的余角
的余弦(正弦)值.”這是否是真命題呢?引出課題.
(二卜整體感知
關(guān)于銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)系,是通過
30°、45°、60°角的正弦、余弦值之間的關(guān)系引入的,然后加以證明.引入
這兩個關(guān)系式是為了便于查“正弦和余弦表”,關(guān)系式雖然用黑體字并加以文字
語言的證明,但不標明是定理,其證明也不要求學生理解,更不應(yīng)要求學生利用
這兩個關(guān)系式去推證其他三角恒等式.在本章,這兩個關(guān)系式的用處僅僅限于查
表和計算,而不是證明.
(三)重點、難點的學習和目標完成過程
1.通過復(fù)習特殊角的三角函數(shù)值,引導(dǎo)學生觀察,并猜想“任一銳角的正
弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值嗎?”提出問題,激發(fā)學生的學習熱情,
使學生的思維積極活躍.
2.這時少數(shù)反應(yīng)快的學生可能頭腦中已經(jīng)“畫”出了圖形,并有了思路,
但對部分學生來說仍思路凌亂.因此教師應(yīng)進一步引導(dǎo):sinA=cos(90°-A),
cosA=sin(90°-A)(A是銳角)成立嗎?這時,學生結(jié)合正、余弦的概念,完全可
以自己解決,教師要給學生足夠的研究解決問題的時間,以培養(yǎng)學生邏輯思維能
力及獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神.
3.教師板書:
任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余
角的正弦值.
sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).
4.在學習了正、余弦概念的基礎(chǔ)上,學生了解以上內(nèi)容并不困難,但是,
由于學生初次接觸三角函數(shù),還不熟練,而定理又涉及余角、余函數(shù),使學生極
易混淆.因此,定理的應(yīng)用對學生來說是難點、在給出定理后,需加以鞏固.
已知NA和NB都是銳角,
(1)把cos(90°-A)寫成NA的正弦.
⑵把sin(90°-A)寫成NA的余弦.
這一練習只能起到鞏固定理的作用.為了運用定理,教材安排了例3.
(2)已知sin35。=0.5736,求cos55°;
(3)已知cos47°6'=0.6807,求sin42°54'.
(1)問比較簡單,對照定理,學生立即可以回答.(2)、(3)比(1)則更深一步,
因為(1)明確指出NB與NA互余,(2)、(3)讓學生自己發(fā)現(xiàn)35°與55°的角,
47°6'分42°54'的角互余,從而根據(jù)定理得出答案,因此(2)、(3)問在課堂
上應(yīng)該請基礎(chǔ)好一些的同學講清思維過程,便于全體學生掌握,在三個問題處理
完之后,最好將題目變形:
⑵已知sin35°=0.5736,則cos=0.5736.
(3)cos47°6Z=0.6807,則sin=0.6807,以培養(yǎng)學生思維能力.
為了配合例3的教學,教材中配備了練習題2.
⑵已知sin67°18'=0.9225,求cos22°42';
(3)已知cos4°24'=0.9971,求sin85°36'.
學生獨立完成練習2,就說明定理的教學較成功,學生基本會運用.
教材中3的設(shè)置,實際上是對前二節(jié)課內(nèi)容的綜合運用,既考察學生正、余
弦概念的掌握程度,同時又對本課知識加以鞏固練習,因此例3的安排恰到好
處.同時,做例3也為下一節(jié)查正余弦表做了準備.
(四)小結(jié)與擴展
1.請學生做知識小結(jié),使學生對所學內(nèi)容進行歸納總結(jié),將所學內(nèi)容變成
自己知識的組成部分.
2.本節(jié)課我們由特殊角的正弦(余弦)和它的余角的余弦(正弦)值間關(guān)系,以
及正弦、余弦的概念得出的結(jié)論:任意一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,
任意一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.
四、布置作業(yè)
教材習題14.1A組4、5.
五、板書設(shè)計
14.1正弦和余弦(三)
一、余角余函數(shù)關(guān)系二、例3
正弦和余弦(四)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
使學生會查“正弦和余弦表”,即由已知銳角求正弦、余弦值.(二)能力滲
透點
逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育訓練點
培養(yǎng)學生良好的學習習慣.
二、教學重點、難點
1.重點:“正弦和余弦表”的查法.
2.難點:當角度在0。?90°間變化時,正弦值與余弦值隨角度變化而變
化的規(guī)律.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.復(fù)習提問
1)30。、45°、60°的正弦值和余弦值各是多少?請學生口答.
2)任意銳角的正弦(余弦)與它的余角的余弦(正弦)值之間的關(guān)系怎樣?通過
復(fù)習,使學生便于理解正弦和余弦表的設(shè)計方式.
(二)整體感知
我們已經(jīng)求出了30°、45。、60°這三個特殊角的正弦值和余弦值,但在
生產(chǎn)和科研中還常用到其他銳角的正弦值和余弦值,為了使用上的方便,我們把
0°-90°間每隔1'的各個角所對應(yīng)的正弦值和余弦值(一般是含有四位有效
數(shù)字的近似值),列成表格一一正弦和余弦表.本節(jié)課我們來研究如何使用正弦
和余弦表.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
1.“正弦和余弦表”簡介
學生己經(jīng)會查平方表、立方表、平方根表、立方根表,對數(shù)學用表的結(jié)構(gòu)與
查法有所了解.但正弦和余弦表與其又有所區(qū)別,因此首先向?qū)W生介紹“正弦和
余弦表”.
(1)“正弦和余弦表”的作用是:求銳角的正弦、余弦值,已知銳角的正弦、
余弦值,求這個銳角.
2)表中角精確到1',正弦、余弦值有四位有效數(shù)字.
3)凡表中所查得的值,都用等號,而非“七”,根據(jù)查表所求得的值進行近
似計算,結(jié)果四舍五入后,一般用約等號“弋”表示.
2.舉例說明
例4?查表求37°24'的正弦值.
學生因為有查表經(jīng)驗,因此查sin37°24'的值不會是到困難,完全可以自
己解決.
例5?查表求37°26'的正弦值.
學生在獨自查表時,在正弦表頂端的橫行里找不到26',但26'在24'?
30'間而靠近24',比24'多2',可引導(dǎo)學生注意修正值欄,這樣學生可能
直接得答案.教師這時可設(shè)問“為什么將查得的5加在0.6074的最后一個數(shù)位
上,而不是0.6074減去0.0005”.通過引導(dǎo)學生觀察思考,得結(jié)論:當角度在
0°?90°間變化時,正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減?。?
解:sin37°24'=0.6074.
角度增2'??????????????????值增0.0005
sin37°26'=0.6079.
例6?查表求sin37°23z的值.
如果例5學生已經(jīng)理解,那么例6學生完全可以自己解決,通過對比,力U
強學生的理解.
解:sin37°24'=0.6074
角度減1'值減0.0002
sin37°23'=0.6072.
在查表中,還應(yīng)引導(dǎo)學生查得:
sin0°=0,sin90°=1.
根據(jù)正弦值隨角度變化規(guī)律:當角度從0°增加到90°時,正弦值從。增
加到1;當角度從90°減少到0°時,正弦值從1減到0.
可引導(dǎo)學生查得:
cosO°=1,cos90°=0.
根據(jù)余弦值隨角度變化規(guī)律知:當角度從0°增加到90°時,余弦值從1
減小到0,當角度從90°減小到0°時,余弦值從0增加到1.
(四)總結(jié)與擴展
1.請學生總結(jié)
本節(jié)課主要討論了“正弦和余弦表”的查法.了解正弦值,余弦值隨角度的
變化而變化的規(guī)律:當角度在0°?90°間變化時,正弦值隨著角度的增大而增
大,隨著角度的減小而減?。划斀嵌仍?°?90°間變化時,余弦值隨著角度的
增大而減小,隨著角度的減小而增大.
2.“正弦和余弦表”的用處除了已知銳角查其正、余弦值外,還可以已知
正、余弦值,求銳角,同學們可以試試看.
四、布置作業(yè)
預(yù)習教材中例8、例9、例10,養(yǎng)成良好的學習習慣.
五、板書設(shè)計
14.1正弦和余弦(四)
一、正余弦值隨角度變二、例題例5例6
化規(guī)律例4
正弦和余弦(五)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
使學生會根據(jù)一個銳角的正弦值和余弦值,查出這個銳角的大小.(二)能力
訓練點
逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
培養(yǎng)學生良好的學習習慣.
二、教學重點、難點和疑點
1.重點:由銳角的正弦值或余弦值,查出這個銳角的大小.
2.難點:由銳角的正弦值或余弦值,查出這個銳角的大小.
3.疑點:由于余弦是減函數(shù),查表時“值增角減,值減角增”學生常常出
錯.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.銳角的正弦值與余弦值隨角度變化的規(guī)律是什么?
這一規(guī)律也是本課查表的依據(jù),因此課前還得引導(dǎo)學生回憶.
答:當角度在0°?90°間變化時,正弦值隨著角度的增大(或減?。┒龃?/p>
(或減小);當角度在0°?90°間變化時,余弦值隨角度的增大(或減小)而減?。ɑ?/p>
增大).
2.若cos21°30'=0.9304,且表中同一行的修正值是
分1J2'31
修正值123
cos21°28'=.
3.不查表,比較大小:
(1)sin20°sin20°15';
(2)cos51°cos50°10';
(3)sin21°cos68°.
學生在回答2題時極易出錯,教師一定要引導(dǎo)學生敘述思考過程,然后得出
答案.
3題的設(shè)計主要是考察學生對函數(shù)值隨角度的變化規(guī)律的理解,同時培養(yǎng)學
生估算.
(二)整體感知
已知一個銳角,我們可用“正弦和余弦表”查出這個角的正弦值或余弦值.反
過來,已知一個銳角的正弦值或余弦值,可用“正弦和余弦表”查出這個角的大
小.因為學生有查“平方表”、“立方表”等經(jīng)驗,對這一點必深信無疑.而且
通過逆向思維,可能很快會掌握已知函數(shù)值求角的方法.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程.
例8?已知sinA=S2974,求銳角A.
學生通過上節(jié)課已知銳角查其正弦值和余弦值的經(jīng)驗,完全能獨立查得銳角
A,但教師應(yīng)請同學講解查的過程:從正弦表中找出0.2974,由這個數(shù)所在行向
左查得17°,由同一數(shù)所在列向上查得18',即0.2974=sin17°18',以培
養(yǎng)學生語言表達能力.
解:查表得sin1表18'=0.2974,所以
銳角A=17°18'.
例9?已知cosA=0.7857,求銳角A.
分析:學生在表中找不到0.7857,這時部分學生可能束手無策,但有上節(jié)
課查表的經(jīng)驗,少數(shù)思維較活躍的學生可能會想出辦法.這時教師最好讓學生討
論,在探討中尋求辦法.這對解決本題會有好處,使學生印象更深,理解更透徹.
若條件許可,應(yīng)在討論后請一名學生講解查表過程:在余弦表中查不到
0.7857.但能找到同它最接近的數(shù)0.7859,由這個數(shù)所在行向右查得38°,由
同一個數(shù)向下查得12,,即0.7859=cos38°12'.但cosA=0.7857,比0.7859
小0.0002,這說明NA比38°12'要大,由0.7859所在行向右查得修正值
0.0002對應(yīng)的角度是1',所以NA=38°12'+T=38°13'.
解:查表得cos38°12'=0.7859,所以:
0.7859=cos38°12,.
值減0.0002角度增
0.7857=cos38°13',
即?銳角A=38°13'.
例10?已知cosB=0.4511,求銳角B.
例10與例9相比較,只是出現(xiàn)余差(本例中的0.0002)與修正值不一致.教
師只要講清如何使用修正值(用最接近的值),以使誤差最小即可,其余部分學生
在例9的基礎(chǔ)上,可以獨立完成.
解:0.4509=cos63°12'
值增0.0003角度減1'
0.4512=cos63°1T
...銳角B=63°1T
為了對例題加以鞏固,教師在此應(yīng)設(shè)計練習題,教材P.15中2、3.
2.已知下列正弦值或余弦值,求銳角A或B:
(1)sinA=0.7083,sinB=0.9371,
sinA=0.3526,sinB=0.5688;
(2)cosA=0.8290,cosB=0.7611,
cosA=0.2996,cosB=0.9931.
此題是配合例題而設(shè)置的,要求學生能快速準確得到答案.
(1)45°6',69°34',20°39',34°40';
(2)34°Q',40°26',72°34,,6°44,.
3.查表求sin57°與cos33°,所得的值有什么關(guān)系?
此題是讓學生通過查表進一步印證關(guān)系式sinA=cos(90°-A),cosA=
0.8387,.-.sin57°=cos33°,或sin57°=cos(90°-57°),cos33°=sin(90°
-33°).
(四)、總結(jié)、擴展
本節(jié)課我們重點學習了已知一個銳角的正弦值或余弦值,可用“正弦和余弦
表”查出這個銳角的大小,這也是本課難點,同學們要會依據(jù)正弦值和余弦值隨
角度變化規(guī)律(角度變化范圍0°?90°)查“正弦和余弦表”.
四、布置作業(yè)
教材復(fù)習題十四A組3、4,要求學生只查正、余弦。
五、板書設(shè)計
14.1正弦和余弦(五)
例8例9例10
正弦和余弦(六)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
歸納綜合第一大節(jié)的內(nèi)容,使之系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化,并使學生綜合運用這些知
識,解決簡單問題.
(二)能力訓練點
培養(yǎng)學生分析、比較、綜合、概括邏輯思維能力;培養(yǎng)學生分析問題、解決
問題的能力;使學生逐步形成用數(shù)學的意識.
(三)德育滲透點
滲透數(shù)學知識來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點;培養(yǎng)學生的學習興趣
及良好的學習習慣.
二、教學重點、難點和疑點
1.重點:歸納總結(jié)前面的知識,并運用它們解決有關(guān)問題.
2.難點:歸納總結(jié)前面的知識,并運用它們解決有關(guān)問題.
3.疑點:學生在用“正弦和余弦表”時,往往在修正值的加減上混淆不清.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.結(jié)合圖6-5,請學生回憶,什么是NA的正弦,余弦?教師板
2.互余兩角的正弦、余弦值之間具有什么關(guān)系?
答:sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).
教師板書.
3.特殊角0°、30°、45°、60°、90°的正弦值余弦值各是多少?
4.在0°?90°之間,銳角的正弦值、余弦值怎樣隨角度的變化而變化?
答:在0。?90°之間,銳角的正弦值隨角度的增加(或減?。┒黾樱ɑ驕p
?。?;銳角的余弦值隨角度的增加(或減?。┒鴾p?。ɑ蛟黾樱?
本節(jié)課我們將運用以上知識解決有關(guān)問題.
(二)重點、難點的學習與目標完成過程
1.本章引言中提到這樣一個問題:修建某揚水站時,要沿著斜坡鋪設(shè)水管.假
設(shè)水管AB長為105.2米,ZA=30°6',求坡高BC(保留四位有效數(shù)字).現(xiàn)
在,這個問題我們能否解決呢?
這里出示引言中的問題,不僅調(diào)動學生的積極性,激發(fā)學習動機,同時體現(xiàn)
了教學的完整性,首尾照應(yīng).
對學生來說,此題比較容易解答.教師可以請成績較好的學生口答,
,BC=AB,sinA
=105.2?sin30°6'
=105.2X0.5015
-52.76(米).
這一例題不僅起到鞏固銳角三角函數(shù)
概念的作用,同時為下一節(jié)“解直角三角形”做了鋪墊.同時向?qū)W生滲透了
數(shù)學知識來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點,培養(yǎng)學生用數(shù)學
的意識.
2.為了過渡到第二大節(jié)“解直角三角形”,教材還安排了例1,它既是對
概念的鞏固、應(yīng)用,又為解直角三角形作了鋪墊.出示投影片
例11?如圖6-7,在RQABC中,已知AC=35,AB=45,求NA(精確到
1°).
分析:本題已知直角三角形的斜邊長,直角邊長,所以根據(jù)直角三角形中銳
角的余弦定義,先求出cosA,進而查表求得NA.
教師可請一名中等學生板書,其他學生在本上完成.
查表得NA比39°,
3.教材為例題配置了兩個練習題,因此在完成例題后,請學生做鞏固練習
在4ABC中,NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c.
(1)已知a=32,ZB=50°,求c(保留兩位有效數(shù)字).
(2)已知c=20,b=14,求NA(精確到1°).
學生在做這兩個小題時,可能有幾種不同解法,如(1),應(yīng)選擇c=
當?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式解題,培養(yǎng)學生的計算能力.
4.本課安排在第一大節(jié)最后一課,因此本課還有對整個第一大節(jié)進行歸納、
總結(jié)的任務(wù).由于在課前復(fù)習中已經(jīng)將幾個知識點一一復(fù)習,因此這里主要配備
小題對概念加以鞏固和應(yīng)用.
(1)判斷題:
i?對于任意銳角a,都有OVsinaV1和OVcosa<1
??????????????????????????????????????????????????????????
ii?對于任意銳角a”a2,如果aiVa2,那么cosaycosa2?????????
(???)
iii?如果sina1Vsina2,那么銳角a銳角a
2P7?77777?777?77?7?7?7?777??77?777977?????(???)
iv?如果cosaVcosa2,那么銳角ai>銳角a
這道題是為鞏固正弦、余弦的概念而配備的,可引導(dǎo)學生用圖形來判斷,也
可用“正弦和余弦表”來判斷.對于假命題,應(yīng)請學生舉出反例.
(2)回答下列問題
i?sin20°+sin40°是否等于sin60°;
ii?cos10°+cos20°是否等于cos30°.
可引導(dǎo)學生查表得答案.這兩個小題對學生來說極易出錯,因為學生對函數(shù)
sinA、cosA理解得并不深,而且由于數(shù)與式的四則運算造成的負遷移,使學生
易混淆.
(3)在RtZiABC中,下列式子中不一定成立的是
A.sinA=sinB
B.cosA=sinB
C.sinA=cosB
D.sin(A+B)=sinC
這一小題是為復(fù)習任意銳角的正弦值與余弦值的關(guān)系而設(shè)計的.通過比較幾
個等式,加深學生對余角余函數(shù)概念理解.
教師可請學生口答答案并說明原因.
A.0°VNAW30。
B.30°VNAW45。
C.45<ZA^60°
D.60°<ZA<90°
對于初學三角函數(shù)的學生來說,解答此題是個難點,教師應(yīng)給學生充足時間
討論,這對培養(yǎng)學生分析問題、解決問題能力很有好處,如果學生沒有思路,教
師可適當點撥;要想探索NA在哪個范圍,首先觀察
其余弦值cosA在哪一范圍內(nèi)?答:0<cosA<J,進一步引導(dǎo)學生得出
范圍,答案選D.
(三)總結(jié)與擴展
請學生總結(jié):我們研究了正弦、余弦的概念及余角余函數(shù)關(guān)系,會用“正弦
和余弦表”查任一銳角的正弦、余弦值,并會用這些知識解決有關(guān)問題.
四、布置作業(yè)
1.看教材培養(yǎng)學生看書習慣.
2.教材習題14.1A組.
對學有余力的學生可選作B組第1題.
五、板書設(shè)計
14.1正弦和余弦(六)
一、正余弦概念及有關(guān)二、例解例11
知識引例----------------
正切和余切(一)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
使學生了解正切、余切的概念,能夠正確地用tanA、cotA表示直角
三角形(其中一個銳角為NA)中兩邊的比,了解tanA與cotA成倒數(shù)
關(guān)系,熟記30。、45。、60°角的各個三角函數(shù)值,會計算含有這
三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子,會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值
說出這個角的度數(shù),了解一個銳角的正切(余切)值與它的余角的余切
(正切)值之間的關(guān)系.
(二)能力訓練點
逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力.
(二)律育滲透占
培泉學生起立氤考、勇于創(chuàng)新的精神.
二、教學重點、難點
1.重點:了解正切、余切的概念,熟記特殊角的正切值和余切值.
2.難點:了解正切和余切的概念.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.什么是銳角NA的正弦、余弦?(結(jié)合圖6-8回答).
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系?
4.當角度在0°?90°變化時,銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)
律?
5.我們已經(jīng)掌握一個銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的
對邊(鄰邊)與斜邊的比值.那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳
角的關(guān)系如何呢?在銳角三角函數(shù)中,除正、余弦外,還有其它一些
三角函數(shù),本節(jié)課我們學習正切和余切.
(二)整體感知.
正切、余切的概念,也是本章的重點和關(guān)鍵,是全章知識的基礎(chǔ),對
學生今后的學習或工作都十分重要.教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后,
又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切.像這樣,把概念、計算和應(yīng)用
分成兩塊,每塊自成一個整體小循環(huán),第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的
內(nèi)容,可以有效地克服難點,同時也使學生通過對比,便于掌握銳角
三角函數(shù)的有關(guān)知識.
(三)重點、難點的學習與目標完成
1.引入正切、余切概念
①①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系,因此同學們首
先應(yīng)思考:當銳角固定時,兩直角邊的比值是否也固定?
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后,已經(jīng)接觸過這類問題,所以
大部分學生能口述證明,并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是正切
和余切
②給出正切、余切概念如圖6-10,在Rt/XABC中,把NA的對邊與鄰
邊的比叫做NA的正切,記作tanA.
NA的對邊
即tanA=NA的鄰邊
并把NA的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切,記作cotA,
ZA的鄰邊
即cotA=4的對邊
2.tanA與cotA的關(guān)系
tanA=」一
請學生觀察tanA與cotA的表達式,得結(jié)論cotA(或
cotA=-—,taa4cotA=1
tanA)
這個關(guān)系式既重要又易于掌握,必須讓學生深刻理解,并與tanA=
cot(90°-A)區(qū)別開.
3.銳角三角函數(shù)
▲aAb人aAb
tt『sinA=—,cosA=—,tanA=—,cotA=—,,,、,―一一
由上圖,ccb。把銳角A的正
弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù).
銳角三角函數(shù)概念的給出,使學生茅塞頓開,初步理解本節(jié)題目.
問:銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)?
學生回答這個問題很容易.
4.特殊角的三角函數(shù).
①教師出示幻燈片
而且使
學生熟記特殊角的正切值與余切值,同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思
想.
0°,90°正切值與余切值可引導(dǎo)學生查“正切和余切表”,學生完全
能獨立
查出.
5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關(guān)系,結(jié)合圖形,引導(dǎo)學生發(fā)
現(xiàn)互
為余角的正切值與余切值的關(guān)系.
結(jié)論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值
等于它的余角的正切值.
即tanA=cot(90°-A),cotA=tan(90°-A).
練習:1)請學生回答tan45°與cot45°的值各是多少?tan60°與
cot30°?tan30°與cot60°呢?學生口答之后,還可以為程度較高
的學生設(shè)置問題:tan60°與cot60°有何關(guān)系?為什么?tan30°與
cot30°呢?
2)把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切:
(l)tan52°;(2)tan36°20';(3)tan75°17';
(4)cotl9°;(5)cot24°48';(6)cotl5°23'.
6.例題
例1求下列各式的值:
(l)2sin30°+3tan30°+cot45°;
(2)cos245°+tan60°,cos30°.
解:(l)2sin30°+3tan30°+cot45°
(2)cos2450+tan60°,cos30°
=(Y)2+^XT
13
——十一
22
=2.
練習:求下列各式的值:
(l)sin30°-3tan300+2cos30°+cot90°;
(2)2cos300+tan60°-6cot60°;
(3)5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°;
⑷cos245°+sin245°;
sin60°-8t45°
(5)tan600-2tan45°
學生的計算能力可能不很強,尤其是分式,二次根式的運算,因此這
里應(yīng)查缺補漏,以培養(yǎng)學生運算能力.
(四)總結(jié)擴展
請學生小結(jié):本節(jié)課了解了正切、余切的概念及tanA與cotA關(guān)系.知
道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關(guān)系.本課用
到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.
tanA=---即tanA=cotA(90°-A),可擴展為tanA=--------------
結(jié)合cotAtan(90°-A)
四、布置作業(yè)
1.看教材,培養(yǎng)學生看書習慣.
2.教材P.102中習題14.2A組2、3、5、6.
五、寫書設(shè)計
14.2正切和余切(一)
一、概念三、銳角三角函數(shù)
五、互為余角的正切與余
切值關(guān)系
二、tanA與cotA關(guān)系四、特殊角的正切與余
六、例題
切值(幻燈片)
?正切和余切(二)
一、素質(zhì)教育目標
(一)知識教學點
使學生學會查“正切和余切表”.
(二)能力訓練點
逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
培養(yǎng)學生良好的學習習慣.
二、教學重點、難點和疑點
1.重點:使學生會查“正切和余切表”.
2.難點:使學生會查“正切和余切表”.
3.疑點:在使用余切表中的修正值時,如果角度增加,相應(yīng)的余切
值要減少一些;如果角度減小,相應(yīng)的余切值要增加一些.這里取加
還是取減,學生極易出錯.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.結(jié)合圖6T2說明:什么是NA的正切、余切?因為這是本章最重
要的概念,因此要求全體學生掌握.這里不妨提問成績較差的學生,
以檢查學生掌握的情況.
2.一個銳角的正切(余切)與其余角的余切(正切)之間具有什么關(guān)
系?并寫出表達式.
答:tanA=cot(90°-A),cotA=tan(90°-A).
3.NA的正切值與余切值具有什么關(guān)系,請用式子表達一
一、上、
答tanA=cotA或cotA=tanA或tanA,cotA=1
4.結(jié)合2、3中復(fù)習的內(nèi)容,配備練習題加以鞏固:
(1)tan35°?tan45°,tan55°=;
(2)若tan350,tan?=l,則。=;
(3)若tan47°,cot3=1,則6=.
這幾個小題學生在回答時,極易出霜萬t匕在本課課前復(fù)習中出示它
們,結(jié)合知識點的復(fù)習,便于學生加以比較.
5.提問0°、30°、45°、60°、90°五個特殊角的三角函數(shù)值各
是多少?要求學生熟記.
6.對于任意銳角的正切值、余切值,我們從何得知呢?本節(jié)課,我
們就來研究“正切和余切表”.
這樣引入較自然.學生有查“正弦和余弦表”的經(jīng)驗,對查“正切和
余切表”必定充滿信心.
(二)整體感知
學生在第一大節(jié)曾查過“正弦和余弦表”,知道為什么正、余弦用同
一份表格,并了解在0°?90°之間正、余弦值隨角度變化的情況,
會正確地使用修正值.
本節(jié)課在第一大節(jié)基礎(chǔ)上安排查“正切和余切表”,學生不會感到困
難.只是正切表在76°?90。無修正值,余切表在0°?14°無修正
值,這一點與“正弦和余弦表”有所區(qū)別,教學中教師應(yīng)著重強調(diào)這
—'部分
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
1.請學生觀察“正切和余切表”的結(jié)構(gòu),并用語言加以概括.
答:正切表在76°?90°無修正值,余切表在0°?14°無修正值.其
余與正弦和余弦表類似,對于正切值,隨角度的增大而增大,隨角度
的減小而減小,而余切值隨角度的增大而減小,隨角度的減小而增大.
2.查表示范.
例2查表求下列正切值或余切值.
(l)tan53°49';(2)cotl4°32'.
學生有查“正弦和余弦表”的經(jīng)驗,又了解了“正切和余切表”的結(jié)
構(gòu),完全可自行查表.在學生得出答案后,請一名學生講解“我是怎
樣查表的”,教師板書:
解:(l)tan53°487=1.3663
角度增1'值減0.0008.
tan53°49'=1.3671;
(2)cotl4°30'=3.867
角度增2'值增0.009.
cotl4°30'=3.858.
在講解示范例題后,應(yīng)請學生作一小結(jié):查銳角的正切值類似于查正
弦值,應(yīng)“順”著查,若使用修正值,則角度增加時,相應(yīng)的正切值
要增加,反之,角度減小時,相應(yīng)的正切值也減?。徊橛嗲斜砼c查余
弦表類似,“倒”著查,在使用修正值時,角度增加,就相應(yīng)地減去
修正值,反之,角度減小,就相應(yīng)地加上修正值.
為了使學生熟練地運用“正切和余切表”,已知銳角查其正切、余切
值,書上配備了練習題1,查表求下列正切值和余切值:
(l)tan30°12',tan40°557,tan54°28z,tan74°3';
(2)cot72°18',cot56°567,cot32°23',cotl5°15'.
在這里讓學生加以練習.
例3已知下列正切值或余切值,求銳角A.
(1)tanA=l.4036;(2)cotA=0.8637.
因為學生已了解由正弦(余弦)值求銳角的方法,由其正遷移,不難發(fā)
現(xiàn)由正切值或余切值求銳角的方法.所以例3出示之后,應(yīng)請學生先
探索查表方法,試查銳角A的度數(shù),如有疑問,教師再作解釋.
解:(l)1.4019=tan54°30'
值增0.0017角度增2,
1.4036=tan54°32'.
,銳角A=54°32'.
(2)0.8632=cot49°12,.
值增0.0005角度減1'
0.8637=cot49°11'.
工銳角A=49°11,.
已知銳角的正切值或余切值,查表求銳角對學生來說比已知銳角查表
求值要難,因此在解完例題之后還應(yīng)引導(dǎo)學生加以小結(jié).
教材為例3配備了練習2,已知下列正切值或余切值,求銳角A或B.
(1)tanB=0.9131,tanA=0.3314,
tanA=2.220,tanB=31.80;
(2)cotA=l.6003,cotB=3.590,
cotB=0.0781,cotA=180.9.
學生在獨立完成此練習之后,教師應(yīng)組織學生互評,使學生在交流中
互相幫助.
(四)總結(jié)與擴展
請學生小結(jié):這節(jié)課我們學習了查“正切和余切表”,已知銳角可以
查其正切值和余切值;反之,已知銳角的正切值、余切值,會查表求
角的度數(shù).
四、布置作業(yè)
教材pl08習題14.3第1題把用計算器求下列銳角三角函數(shù)值改為查
表求下列銳角三角函數(shù)
用計算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳角
一素質(zhì)教育目標
(-)(一)知識教學點
1.1.會用計算器求出一個數(shù)的平方、平方根、立方、立方根。
2.2.會用計算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求銳
角。
(二)(二)能力訓學點:培養(yǎng)學生熟練地使用現(xiàn)代化輔助計算
手段的能力
(三)(三)德育滲透點;激發(fā)學生學習興趣與求知欲。
二教學重點:會用計算器求銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值
求銳角
三教學過程
問題1你能用計算器求出(1)4\(2)100x53、(3)49+7\
(4)V2演的值嗎?試一試。
說明和建議
(1)組織學生人人用計算器來計算上述運算,分別求出它們的結(jié)果,
使學生回憶出以前學過的用計算器進行數(shù)的乘方、開方的計算方法。
(2)在計算上述4個問題時,采取兵教兵的方法,教師只需作個別
輔導(dǎo)。計算結(jié)束后,可叫學生逐一說出使用計算器的順序和方法,以
糾正學生中存在的錯誤。
(3)教師還可在小黑板上做出如下使用方法說明
算式按鍵順序顯示
4y*5=1024(為4、的值)
62500(為100x54的
100x5,100X5yx4
值)
49+7yx
49+742450(為49+7"的值)
4
12.6785054(為癡覺
2028黃yx=
的值)
在使用CZ1206型計算器時,要求乘方的底數(shù)大于或等于0,當算
式中乘方的底數(shù)小于0,且指數(shù)是奇數(shù)時一,應(yīng)將計算器中得到的結(jié)果
加上負號,再進行加、減、乘、除運算時,只要按四則運算算式順序
輸入數(shù)據(jù)與運算符號即可完成運算,具有括號的算式,可按照算式中
的括號出現(xiàn)的順序按[]鍵即可,如計算:
200—{2x3—(8+4+2x(3—4x2)—(5+6))}
可按以下順序按鍵
2、00、-、(、2、義、3、-、[、8、
十、4、
+、2、X、[、3、-、4、X、2、]、
-、[、5
+、6、]、]、]、=,顯示176
(4)教師還可以出一組加減乘除和乘方、開方的簡單的計算題,
讓學生練習,以復(fù)習和鞏固以前學過的計算器的有關(guān)內(nèi)容和方法。
問題2(閱讀課本第105頁的有關(guān)內(nèi)容并使用計算器進行計算,
逐一回答問題。)
(1)(1)??????用計算器求銳角的三角函數(shù)值時應(yīng)首先按哪一個
鍵?
(2)(2)會??怎樣用計算器求銳角的三角函數(shù)值?要注意什么
問題?
說明和建議:
(1)(1)對求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值時,要先把它化為
以度為單位的角后再求它的三角函數(shù)值。在用計算器計算時
注意度與分、秒之間均要用+鍵,分化度時用+、6、
0鍵,秒化度時用+、3、6、0、0、
鍵。
(2)按鍵時要正確,順序不能搞錯。
(3)教師可根據(jù)學生邊讀閱、邊動手計算的情況,再提供已知銳
角求它的正弦、余弦、正切、余
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