人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

第十一章三角形

第十二章全等三角形

第十三章軸對(duì)稱

第十四章整式乘法和因式分解

第十五章分式

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在允許直線上的三條線段首尾按次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)

叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡(jiǎn)稱三角形的高)。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一

般都制成三角形的形狀。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

三角形有下面三個(gè)特性：

(1)三角形有三條線段]

(2)三條線段不在同向來線上三角形是封閉圖形

(3)首尾按次相接

三角形用符號(hào)“A”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

不笄邊三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

《

等腰三角形

、等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

直角三角形(有一個(gè)角為直角的三角形)

三角形銳角三角形(三個(gè)角都是銳角的三角形)

斜三憊形

鈍角三角形(有一個(gè)角為鈍角的三角形)

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有J種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)2

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°o

推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。

③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。8、三角形的面積=1X底X高

2

多邊形知識(shí)要點(diǎn)梳理

定義：由三條或者三條以上的線段首位按次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。

凸多邊形

多邊形分類1：

凹多邊形

正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形

分類2：叫做正多邊形。

非正多邊形：

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)3

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、n邊形的內(nèi)角和等于180°(n-2)o

多邊形的定理2、任意凸形多邊形的外角和等于360°o

3、n邊形的對(duì)角線條數(shù)等于1/2-n(n-3)

只用一種正多邊形：3、4、6/0

鑲嵌拼成360度的角

只用一種非正多邊形(全等)：3、4。

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾按次相接組成的圖形叫做多邊形.

(1)多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

(2)在定義中應(yīng)注意：

①一些線段(多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù))；

②首尾按次相連，二者缺一不可；

③理解時(shí)要特殊注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件,其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況,即空間多邊形.

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)4

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

2、多邊形的分類：

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多

邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形(見圖1).本章所講的多邊形都是指凸多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形.三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)至少的多邊形.

知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形山

各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。

正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形

要點(diǎn)詮釋：國(guó)

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊

形也不一定是正方形，惟獨(dú)滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)5

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線圖

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.如圖2,BD為四邊形ABCD的一條對(duì)角線。

要點(diǎn)詮釋：Ld

（1）從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n—3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n—2）個(gè)三角形。

福（萬—3）

（2）n邊形共有2條對(duì)角線。

證明：過一個(gè)頂點(diǎn)有n-3條對(duì)角線（n23的正整數(shù)），又:?共有n個(gè)頂點(diǎn),

條對(duì)角線，但過兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，，凸n邊形，共有條對(duì)角線。

知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式國(guó)

1.公式:?邊形的內(nèi)角和X*-2）?1805之3）.

2.公式的證明:

證法1：在〃邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成"個(gè)三角形，這同個(gè)三角形的內(nèi)角和為180”,再減

去-個(gè)周角，即得至溜邊形的內(nèi)角和為伽一2）.18°.

證法2：曲邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作（花一⑤條對(duì)角線，并且改邊形被分成（4—2）個(gè)三角形，這（融—2）

個(gè)三

角形內(nèi)角和恰好是總

邊形的內(nèi)角和，等于

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)6

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

證法3：在國(guó)邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得(*―1)個(gè)三角形，n邊形內(nèi)角和等于這(花一9個(gè)三角形的內(nèi)角和減

去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，

(?-l)180B-180B=(rt-2)180'

即Bn,

要點(diǎn)詮釋：IL?J

(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的外角和公式山

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每一個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，帆邊形的內(nèi)角和加外角和第181r，外角

D

和等于1^180-(、?-2)-/180°=360°

注意：n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān)。

要點(diǎn)詮釋：聞

(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)7

知識(shí)占?xì)w納總結(jié)

①n邊形的內(nèi)角和等于(n—2)-180。(n23,n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1蔡邊，內(nèi)角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān)。

知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征也

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部份徹底覆蓋，通常把這種問題叫做用多邊形覆蓋平面(或者平面鑲嵌)。這里的

多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。

2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°o

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。

當(dāng)環(huán)繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形。

5一2)180。

事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為總，要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360°=

比伊-2)180。2%4

R,由此導(dǎo)出k=%-2=2+甩一2,而k是正整數(shù)，

所以n只能取3,4,6O于是，用相同的正多邊形地磚鋪地面，惟獨(dú)正三角形、

正方形、正六邊形的地磚可以用。

注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°o所以用一批形狀、大小徹底

相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)8

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

也可以鋪滿地面。

（3）用兩種或者兩種以上的正多邊形鑲嵌地面

用兩種或者兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。

例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：

又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周

角360°o規(guī)律方法指導(dǎo)

1.內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加180°（反過來也成

立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān).

3.多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，至少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，至少?zèng)]有鈍角.

4.在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法.

5.在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決.三角形是一種基本圖形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同

時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

經(jīng)典例題透析

類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用

1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用.只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的

值即可，這是一種常用的解題思路.

舉一反三：

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)9

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

【變式1]若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【變式2]一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少?

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為可這個(gè)內(nèi)角為＜

【變式3]一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

類型一：多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用

【變式1]一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是().

A.6B.7C.8D.9

【變式2]一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線。

n(n-3)

總結(jié)升華：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律2條，牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即

可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式惟獨(dú)在理解的基礎(chǔ)之上才干記得牢。

類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題

【變式11如圖所示，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.

【變式2]如圖所示，求NA+

NB+NC+ND+NE+NF的度數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)10

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

類型四：實(shí)際應(yīng)用題

C4.如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C

市，再到A市，最后返回P市,

這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？

思路點(diǎn)撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決.

舉一反三：i

【變式1］如圖所示，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)10m,又向右轉(zhuǎn)

15°,…，這樣向來走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了in.

【變式2］小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后繼續(xù)向前走10米，再

向右轉(zhuǎn)36°,他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回點(diǎn)A時(shí)共走

了多少米？若不能，寫出理由。

【變式3］如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知.該模板的邊AB〃CF,CD〃AE.按

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)11

E

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

規(guī)定AB、CD的延長(zhǎng)線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便癡道AB、CD的延長(zhǎng)線而至

角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎？說明理由.

思路點(diǎn)撥：本題中將AB、CD延長(zhǎng)后會(huì)得到一個(gè)五邊形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540°,又由AB〃CF,CD〃AE,可知NBAE+NAEF+

ZEFC=360°,從540°中減去800再減去360°,剩下NC的度數(shù)為100°,所以只需測(cè)/C的度數(shù)即可，同理還可直接測(cè)/A的度數(shù).

總結(jié)升華：本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確添加輔助線.

類型五：鑲嵌問題

C5.分別畫出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖。

⑴正方形和正八邊形；

⑵正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形。

思路點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那末

這些多邊形就能作平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的

每一個(gè)內(nèi)角分別是60°、90°、120°、135°、150°0

(1)因?yàn)?0+2X135=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正方形、2個(gè)正八邊形，如圖⑴所示。

(2)因?yàn)?0+2X150=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正十二邊形，如圖⑵所示。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)12

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

⑶因?yàn)?0+2X90+120=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、1個(gè)正六邊形和2個(gè)正方形了如圖⑶所示。

總結(jié)升華：用兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”

的問題。舉一反三：

【變式1］分別用形狀、大小徹底相同的①三角形木板；②四邊形木板；③正五邊形木板；④正六邊形木板作平面鑲嵌，其中

不能鑲嵌成地板的是（）A、①B、②C、③D、④

解析：用同一種多邊形木板鋪地面，惟獨(dú)正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板，故

【變式2］用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)的各邊徹底吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8,則第三塊木板

的邊數(shù)應(yīng)是（）

A>4B、5C、6D、8

【答案】A（提示：先算出正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2,然后用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一

個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到第三塊木板的邊數(shù)）

練習(xí)

1.多邊形的一個(gè)內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和為600°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

2.n邊形的內(nèi)角和與外角和互比為13：2,求n.

3.五邊形ABCDE的各內(nèi)角都相等，且AE=DE,AD〃CB嗎？

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)13

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

4.將五邊形砍去一個(gè)角，得到的是怎樣的圖形?

5.四邊形ABCD中，ZA+ZB=210°,ZC=4ZD.求：ZC或者ND的度數(shù).

6.在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.

求證：ZDBC=2ZBDC.

第十二章全等三角形

一、全等三角形

能夠徹底重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性質(zhì)

(1)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)14

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

（2）：全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。

（3）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。

3、全等三角形的判定

邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“SSS”）

邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“SAS”）

角邊角：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“ASA”）

角角邊:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“AAS”）

斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“HL”）

4、證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：

二、角的平分線：

1、（性質(zhì)）角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

2、（判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

（1）：要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”，“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”的不同含義；

（2）：表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上；

（3）：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或者“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等;

（4）：時(shí)刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”

1、全等三角形的概念

能夠徹底重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)15

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

能夠徹底重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相,合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互

相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號(hào)“四”表示，讀作“全等于"。如△ABCgADEF,讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或者“SAS")

(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或者“ASA")

(3)邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或者“SSS”)。

直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

全等(可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊"或者“HL”)

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行挪移的變換叫做平移變換。

(2)對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對(duì)稱變換。

(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)16

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

第十二章軸對(duì)稱

一、軸對(duì)稱圖形

1.把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部份能夠徹底重合，那末這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線就是它的對(duì)稱軸。

這時(shí)我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱。

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形徹底重合，那末就說這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸。

折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)

3、杳口對(duì)W押飆軸:

對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱圖形軸衿稱

圖形A

A,aah

（西T）窗形

⑴軸對(duì)稱囹形是指'（一個(gè)a）軸對(duì)稱是指

區(qū)別具有特殊形狀的圖形，的位置關(guān)需L必須涉及

只對(duì)（一個(gè)）圖形而言；（兩個(gè)）用形；

（2）對(duì)稱軸不（一定）惟獨(dú)一條（2）惟獨(dú)（一各七）對(duì)稱軸.

如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形

聯(lián)系分成兩部份，那末這兩個(gè)圖形拼在一起看成一個(gè)整體,那

就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)17

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

4.軸對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那末對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

③軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那末這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。

二、線段的垂直平分線

1.經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。

2.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

3.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上

三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié)

在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.

點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.

點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.

2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

四、（等腰三角形）知識(shí)點(diǎn)回顧

1.等腰三角形的性質(zhì)

①.等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（等邊對(duì)等角）

②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）

2、等腰三角形的判定：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那末這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。（等角對(duì)等邊）

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)18

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

五、（等邊三角形）知識(shí)點(diǎn)回顧

1.等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于600。

2、等邊三角形的判定：

①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

②有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。

3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于300,那末它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°o

（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或者直角），但頂角可為鈍角（或者直角）。

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,則一＜a

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為/A,底角為NB、ZC,則NA=180°—2ZB,ZB=ZC=J80o-^

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)19

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那末這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定會(huì)里常用于證明同一個(gè)三篇

形中的邊相等。

推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那末它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定

中1、等腰三角形底邊上的中線垂直底1、兩邊上中線相等的三角形是等腰

線邊，平分頂角；三角形；

2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并2、如果一個(gè)三角形的一邊中線垂直

且它們的交點(diǎn)與底邊兩端點(diǎn)距離這條邊（平分這個(gè)邊的對(duì)角），

相等。那末這個(gè)三角形是等腰三角形

角1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底1、如果三角形的頂角平分線垂直于

平邊；這個(gè)角的對(duì)邊（平分對(duì)邊），那

分2、等腰三角形兩底角平分線相等，并么這個(gè)三角形是等腰三角形；

線且它們的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距2、三角形中兩個(gè)角的平分線相等，

離相等。那末這個(gè)三角形是等腰三角形。

高1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、1、如果一個(gè)三角形一邊上的高平分

線平分底邊；這條邊（平分這條邊的對(duì)角），

那末這個(gè)三角形是等腰三角形；

2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)20

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

它們的交點(diǎn)和底邊兩端點(diǎn)距離相2、有兩條高相等的三角形是等腰三

等。角形。

角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

邊底的一半(腰長(zhǎng)＜周長(zhǎng)的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。

第十四章整式乘除與因式分解

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)21

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

一.回顧知識(shí)點(diǎn)

1、主要知識(shí)回顧：

幕的運(yùn)算性質(zhì)：

,an=a??+n（m、n為止整數(shù)）

同底數(shù)昂相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（m）n

=a?.（m、n為正整數(shù)）

基的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（ab）n=anbn

（n為正整數(shù)）

積的乘方等于各因式乘方的積.

Qm-7-3n

=a?-n（aWO,m、n都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

零指數(shù)幕的概念：

ao=1（aWO）

任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)嘉都等于1.

負(fù)指數(shù)塞的概念：

1

a-P=ap（aWO,p是正整數(shù)）

任何一個(gè)不等于零的數(shù)的一P（p是正整數(shù)）指數(shù)累，等于這個(gè)數(shù)的P指數(shù)募的倒數(shù).

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)22

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

qQ-p=(|小「

也可表示為：(mJ(nJ(mwo,nWO,P為正整數(shù))

單項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加.

單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：(a+b)(a—b)=az一枚

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

②徹底平方公式：(a+b)2=a?+2ab+b2

(a—b)2=a2-2ab+ba

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加之(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍.

3、因式分解：

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)23

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

因式分解的定義.

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；

(2)因式分解必須是恒等變形；

(3)因式分解必須分解到每一個(gè)因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

二、熟練掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)掌握提公因式法的概念；

(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成普通情況下有三部份：①系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母一一各項(xiàng)

含有的相同字母；③指數(shù)一一相同字母的最低次數(shù)；

(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)

因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

(4)注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，普通要提出“一”

號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

2、公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；

常用的公式：

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)24

知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

①平方差公式：a2—bz=(a+b)(a—b)

②徹底平方公式：a；+2ab+b2=(a+b)2

aa—2ab+b2=(a—b)2

3.十字相乘法

第十五章分式

知識(shí)