吉林省白山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE吉林省白山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）.1．復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為3，則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（）A．3 B．6 C．9 3．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．4．某校實(shí)行校內(nèi)歌手大賽，6位評(píng)委對(duì)某選手的評(píng)分分別為9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，設(shè)該選手得分的平均數(shù)為x，中位數(shù)為y，眾數(shù)為z，則（）A．x＜y＜z B．x＜y＝z C．y＜x＜z D．x＜x＜y5．已知l，m，n是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若α∥β，n∥α，則n∥β B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若α∩β＝n，m∥n，則m∥β D．若m，n是異面直線，m∥α，n∥α，l⊥m且l⊥n，則l⊥α6．某校對(duì)該校800名高一年級(jí)學(xué)生的體重進(jìn)行調(diào)查，他們的體重都處在A，B，C，D四個(gè)區(qū)間內(nèi)，依據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A．該校高一年級(jí)有300名男生 B．該校高一年級(jí)學(xué)生體重在C區(qū)間的人數(shù)最多 C．該校高一年級(jí)學(xué)生體重在C區(qū)間的男生人數(shù)為175 D．該校高一年級(jí)學(xué)生體重在D區(qū)間的人數(shù)最少7．在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均為等邊三角形，E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，則異面直線EF與PB所成角的正弦值是（）A． B． C． D．8．已知集合A＝{﹣2，0，3}，且a∈A，b∈A，則函數(shù)f（x）＝ax2+3x+b有零點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），則下列命題正確的是（）A．若a＝﹣3，則z1+z2是純虛數(shù) B．若z1+z2是純虛數(shù)，則a＝﹣3 C．若4a+3b＝0，則z1z2是實(shí)數(shù)D．若z1z2是實(shí)數(shù)，則4a+3b10．連續(xù)拋擲一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子（每個(gè)面上對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6）兩次．事務(wù)A表示“第一次正面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事務(wù)B表示“其次次正面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事務(wù)C表示“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和小于6”，事務(wù)D表示“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和是9A．事務(wù)A與事務(wù)B為對(duì)立事務(wù) B．事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 C．事務(wù)C與事務(wù)D是互斥事務(wù) D．事務(wù)C與事務(wù)C相互獨(dú)立11．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a＝2bcosB，且b≠c，則（）A．A＝2B B．角B的取值范圍是 C．cosA的取值范圍是 D．的取值范圍是12．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)O為該三棱柱外接球的球心，則下列命題正確的是（）A．A1C1∥平面AB1B．異面直線B1C與AA1所成角的大小是 C．球O的表面積是20π D．點(diǎn)O到平面AB1C的距離是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知向量，，若∥，則x＝．14．設(shè)一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是半徑為的半圓，則此圓錐的體積為．15．已知4+3i是方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的一個(gè)根，則a+b＝．16．如圖，已知兩座山的高分別為MN＝30米，BC＝20米，為測(cè)量這兩座山峰M，C之間的距離，選擇水平地面上一點(diǎn)A為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，則MC＝米．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知向量，的夾角為30°，且||＝2，||＝．（1）求|2﹣|的值；（2）若（k﹣）⊥（2﹣k），求k的值．18．某高校將參與該校自主招生考試的學(xué)生的筆試成果按得分分成5組，得到的頻率分布表如表所示．該校為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，確定從第4組和第5組的學(xué)生中用分層抽樣法抽取60名學(xué)生進(jìn)行面試，依據(jù)面試成果，得到如圖所示的頻率分布直方圖．組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[150，160）600.10第2組[160，170）1500.25第3組[170，180）2100.35第4組[180，190）1500.25第5組[190，200）300.05合計(jì)6001.00（1）求第4組和第5組的學(xué)生進(jìn)入面試的人數(shù)之差；（2）若該高校安排錄用15人，求該高校的錄用分?jǐn)?shù)．19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABB1＝∠ACC1＝∠ACB＝90°，點(diǎn)O為A，B的中點(diǎn)，AC＝BC＝2，．（1）證明：平面ACC1A1⊥平面ABC（2）求點(diǎn)B1到平面OA1C120．端午節(jié)，又稱端陽(yáng)節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，源于中國(guó)人對(duì)自然天象的崇拜，由上古時(shí)代祭龍演化而來(lái)．端午節(jié)與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日．某社區(qū)為豐富居民業(yè)余生活，舉辦了關(guān)于端午節(jié)文化習(xí)俗的學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，競(jìng)賽共分為兩輪．在第一輪競(jìng)賽中，每位參賽選手均需參與兩關(guān)競(jìng)賽，若其在兩關(guān)競(jìng)賽中均達(dá)標(biāo)，則進(jìn)入其次輪競(jìng)賽．已知在第一輪競(jìng)賽中，A，B第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，；其次關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，．A，B在第一輪的每關(guān)競(jìng)賽中是否達(dá)標(biāo)互不影響．（1）分別求出A，B進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率；（2）若A，B兩人均參與第一輪競(jìng)賽，求兩人中至少有1人進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率．21．在①asinB+bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且____．（1）求A；（2）若角A的角平分線AD＝1，且c≥3，求△ABC面積的最小值．22．如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PB，PD上，且．（1）證明：EF⊥平面PAC．（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得PA∥平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1．復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A． B． C． D．解：由題意可得，，∴復(fù)數(shù)z的實(shí)部是．故選：C．2．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為3，則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（）A．3 B．6 C．9 解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為3，∴數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是22×3＝12．故選：D．3．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴．故選：B．4．某校實(shí)行校內(nèi)歌手大賽，6位評(píng)委對(duì)某選手的評(píng)分分別為9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，設(shè)該選手得分的平均數(shù)為x，中位數(shù)為y，眾數(shù)為z，則（）A．x＜y＜z B．x＜y＝z C．y＜x＜z D．x＜x＜y解：由題意可得，，又z＝9.5，則x＜y＜z．故選：A．5．已知l，m，n是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列命題正確的是（）A．若α∥β，n∥α，則n∥β B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若α∩β＝n，m∥n，則m∥β D．若m，n是異面直線，m∥α，n∥α，l⊥m且l⊥n，則l⊥α解：對(duì)于A，若α//β，n//α，則n?β或n//β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m//α，m//β，則α//β，或α，β相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α∩β＝n，m//n，則m?β或m//β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m，n是異面直線，m//α，n//α，l⊥m，且l⊥n，則由線面垂直的判定定理得l⊥α，故D正確．故選：D．6．某校對(duì)該校800名高一年級(jí)學(xué)生的體重進(jìn)行調(diào)查，他們的體重都處在A，B，C，D四個(gè)區(qū)間內(nèi)，依據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A．該校高一年級(jí)有300名男生 B．該校高一年級(jí)學(xué)生體重在C區(qū)間的人數(shù)最多 C．該校高一年級(jí)學(xué)生體重在C區(qū)間的男生人數(shù)為175 D．該校高一年級(jí)學(xué)生體重在D區(qū)間的人數(shù)最少解：由題意可得該校高一年級(jí)有60+80+120+40＝300名女生，則有800﹣300＝500名男生，故男生體重在A，B，C，D區(qū)間內(nèi)的人數(shù)分別為75，150，175，100，從而該校高一年級(jí)學(xué)生體重在A，B，C，D區(qū)間的人數(shù)分別為135，270，255，140，故選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．故選：C．7．在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均為等邊三角形，E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，則異面直線EF與PB所成角的正弦值是（）A． B． C． D．解：如圖，分別取棱BC，AC的中點(diǎn)D，H，連接DE，DF，PH，BH．由題意可得PH⊥AC，BH⊥AC，則AC⊥平面PBH．因?yàn)镻B?平面PBH，所以AC⊥PB．因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱BC，PC的中點(diǎn)，所以DF//PB，則∠DFE是異面直線EF與PB所成的角，因?yàn)镈，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，所以DE//AC，則DF⊥DE，設(shè)AB＝4，則，，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，且PH⊥AC，所以PH⊥BH，所以，所以，則，故，故選：B．8．已知集合A＝{﹣2，0，3}，且a∈A，b∈A，則函數(shù)f（x）＝ax2+3x+b有零點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．解：由題意可得總的基本領(lǐng)件數(shù)為9，當(dāng)a＝0時(shí)，符合條件的基本領(lǐng)件有3個(gè)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）有零點(diǎn)，則9﹣4ab≥0，即，從而符合條件的基本領(lǐng)件有（﹣2，3），（﹣2，0），（3，﹣2），（3，0），共4個(gè)．故所求概率．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），則下列命題正確的是（）A．若a＝﹣3，則z1+z2是純虛數(shù) B．若z1+z2是純虛數(shù)，則a＝﹣3 C．若4a+3b＝0，則z1z2是實(shí)數(shù)D．若z1z2是實(shí)數(shù)，則4a+3b解：∵復(fù)數(shù)z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），∴z1+z2＝a+3+（b+4）i，z1z2＝（3a﹣4b）+（4a+3b）當(dāng)a＝﹣3且b≠﹣4時(shí)，z1+z2是純虛數(shù)，則A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)4a+3b＝0時(shí)，z1z2是實(shí)數(shù)，則C，D故選：BCD．10．連續(xù)拋擲一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子（每個(gè)面上對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6）兩次．事務(wù)A表示“第一次正面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事務(wù)B表示“其次次正面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事務(wù)C表示“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和小于6”，事務(wù)D表示“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和是9A．事務(wù)A與事務(wù)B為對(duì)立事務(wù) B．事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 C．事務(wù)C與事務(wù)D是互斥事務(wù) D．事務(wù)C與事務(wù)C相互獨(dú)立解：由題意可知事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，則A錯(cuò)誤，B正確；事務(wù)C與事務(wù)D是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)，則C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．11．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a＝2bcosB，且b≠c，則（）A．A＝2B B．角B的取值范圍是 C．cosA的取值范圍是 D．的取值范圍是解：因?yàn)閍＝2bcosB，所以sinA＝2sinBcosB＝sin2B，所以A＝2B或A+2B＝π．因?yàn)閎≠c，所以B≠C，所以A+2B≠A+B+C＝π，則A＝2B，故A正確．因?yàn)锳+B+C＝π，所以C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B．因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以，即，解得，所以，利用正弦定理：，故B錯(cuò)誤，D正確．因?yàn)锳＝2B，所以，所以，則C正確．故選：ACD．12．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)O為該三棱柱外接球的球心，則下列命題正確的是（）A．A1C1∥平面AB1B．異面直線B1C與AA1所成角的大小是 C．球O的表面積是20π D．點(diǎn)O到平面AB1C的距離是解：如圖，由題意可知A1C1∥AC因?yàn)锳C?平面AB1C，A1C1?平面AB所以A1C1∥平面AB1C，故因?yàn)锳A1∥CC1，所以∠B1CC1是異面直線B1C與AA1因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤．設(shè)△A1B1C1外接圓的圓心為O1，連接OO1，O1C1，OC由題意可得，，則球O的半徑，從而球O的表面積是，故C正確．設(shè)△AB1C外接圓的半徑為r由題意可得，則．由正弦定理可得，則點(diǎn)O到平面AB1C的距離，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知向量，，若∥，則x＝﹣．解：由題意可得2x+3＝0，解得x＝﹣．故答案為：．14．設(shè)一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是半徑為的半圓，則此圓錐的體積為3π．解：∵圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是半徑為的半圓，∴圓錐的母線l＝，半徑r＝＝，∴圓錐的高h(yuǎn)＝＝3，故圓錐的體積V＝＝3π；故答案為：3π15．已知4+3i是方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的一個(gè)根，則a+b＝33．解：設(shè)該方程的另一個(gè)根為z＝x+yi（x，y∈R），則，從而，解得，即，故a+b＝8+25＝33，故答案為：33．16．如圖，已知兩座山的高分別為MN＝30米，BC＝20米，為測(cè)量這兩座山峰M，C之間的距離，選擇水平地面上一點(diǎn)A為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，則MC＝10米．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，則DM＝MN﹣BC＝10米，CD＝BN．由題意可得AN＝10米，AB＝20米，∠BAN＝150°則BN2＝300+400﹣2×10，從而MC2＝CD2+DM2＝1300+100＝1400，故MC＝10米故答案為：10．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知向量，的夾角為30°，且||＝2，||＝．（1）求|2﹣|的值；（2）若（k﹣）⊥（2﹣k），求k的值．解：由已知得，．（1）＝＝．（2）由（k﹣）⊥（2﹣k）得（k﹣）?（2﹣k）＝0，所以，化簡(jiǎn)得3k2﹣11k+6＝0，解得，或k＝3．18．某高校將參與該校自主招生考試的學(xué)生的筆試成果按得分分成5組，得到的頻率分布表如表所示．該校為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，確定從第4組和第5組的學(xué)生中用分層抽樣法抽取60名學(xué)生進(jìn)行面試，依據(jù)面試成果，得到如圖所示的頻率分布直方圖．組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[150，160）600.10第2組[160，170）1500.25第3組[170，180）2100.35第4組[180，190）1500.25第5組[190，200）300.05合計(jì)6001.00（1）求第4組和第5組的學(xué)生進(jìn)入面試的人數(shù)之差；（2）若該高校安排錄用15人，求該高校的錄用分?jǐn)?shù)．解：（1）由題意可知，抽取比例為，則從第4組應(yīng)抽取的人數(shù)為，從第5組應(yīng)抽取的人數(shù)為，故第4組和第5組的學(xué)生進(jìn)人面試的人數(shù)之差為50﹣10＝40；（2）由題意可知，該高校的錄用率為，因?yàn)椋?.02+0.04）×10＝0.6＜0.75，0.6+0.03×10＝0.9＞0.75，則該高校的錄用分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)，設(shè)該高校的錄用分?jǐn)?shù)為x，則（x﹣80）×0.03+0.6＝0.75，解得x＝85，故該高校的錄用分?jǐn)?shù)為85分．19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABB1＝∠ACC1＝∠ACB＝90°，點(diǎn)O為A，B的中點(diǎn)，AC＝BC＝2，．（1）證明：平面ACC1A1⊥平面ABC（2）求點(diǎn)B1到平面OA1C1【解答】（1）證明：因?yàn)椤螦BB1＝∠ACC1＝90°，所以AB⊥BB1，AC⊥CC1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1//CC1所以AB⊥CC1，又因?yàn)锳B∩AC＝A，所以CC1⊥平面ABC，又因?yàn)镃C1?平面ACC1A1所以平面ACC1A1⊥平面ABC（2）解：設(shè)點(diǎn)O到平面A1B1C1的距離為h，點(diǎn)B1到平面OA1C1的距離為因?yàn)辄c(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)锳C＝BC＝2，，所以，則．因?yàn)?，所以，故點(diǎn)B1到平面OA1C1的距離為．20．端午節(jié)，又稱端陽(yáng)節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，源于中國(guó)人對(duì)自然天象的崇拜，由上古時(shí)代祭龍演化而來(lái)．端午節(jié)與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日．某社區(qū)為豐富居民業(yè)余生活，舉辦了關(guān)于端午節(jié)文化習(xí)俗的學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，競(jìng)賽共分為兩輪．在第一輪競(jìng)賽中，每位參賽選手均需參與兩關(guān)競(jìng)賽，若其在兩關(guān)競(jìng)賽中均達(dá)標(biāo)，則進(jìn)入其次輪競(jìng)賽．已知在第一輪競(jìng)賽中，A，B第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，；其次關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是，．A，B在第一輪的每關(guān)競(jìng)賽中是否達(dá)標(biāo)互不影響．（1）分別求出A，B進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率；（2）若A，B兩人均參與第一輪競(jìng)賽，求兩人中至少有1人進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率．解：（1）設(shè)事務(wù)A1為“A在第一輪第一關(guān)競(jìng)賽中達(dá)標(biāo)”，事務(wù)A2為“A在第一輪其次關(guān)競(jìng)賽中達(dá)標(biāo)”，事務(wù)B1為“B在第一輪第一關(guān)競(jìng)賽中達(dá)標(biāo)”，事務(wù)B2為“B在第一輪其次關(guān)競(jìng)賽中達(dá)標(biāo)”．則A進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率，B進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率．（2）由（1）可知A沒(méi)有進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率，B沒(méi)有進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率，則A，B兩人都沒(méi)有進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率為．故A，B兩人中至少有1人進(jìn)入其次輪競(jìng)賽的概率．21．在①asinB+bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充