作業(yè)03概率（7大題型鞏固提升練能力培優(yōu)練拓展突破練仿真考場練）原卷版

完成時間：月日天氣：作業(yè)03概率（7大題型鞏固提升練+能力培優(yōu)練+拓展突破練+仿真考場練）一、條件概率與全概率公式1．求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率．條件概率的計算要注意以下三點(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率．(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關(guān)系，實現(xiàn)三者間的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想．二、離散型隨機變量的概率分布、均值和方差1．均值和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．角度1均值、方差的計算求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟角度2均值、方差在決策中的應(yīng)用若X～B(n，p)，則可直接利用公式求E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．三、正態(tài)分布1．正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量X的一種分布，其在概率和統(tǒng)計中占有重要地位，尤其統(tǒng)計學(xué)中的(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三個區(qū)間內(nèi)的概率值在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用．2．熟記正態(tài)分布的特征及應(yīng)用(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三個區(qū)間內(nèi)的概率值解決實際問題是本章的兩個重點，在學(xué)習(xí)中提升直觀想象、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．3.利用正態(tài)密度曲線解決實際性問題時常利用其對稱性解題，并注意借助(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三個區(qū)間內(nèi)的概率值求解．并注意正態(tài)密度曲線與頻率直方圖的結(jié)合．一．條件概率與獨立事件（共6小題）1．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）已知（A），，，下列選項正確的是A．（B） B． C． D．（A）（B）2．（2024春?灌云縣校級期中）設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則A． B． C． D．3．（2024春?錫山區(qū)校級期中）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有35名的年齡位于區(qū)間，內(nèi)．已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，年齡位于區(qū)間，內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模F(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，內(nèi)，則此人患該疾病的概率為A． B． C． D．4．（2024春?連云區(qū)校級期中）一個袋子中有除顏色外都相同的2個紅球和3個白球，從中不放回地抽取2個球，每次只取1個．設(shè)事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則A． B． C． D．5．（2024春?泉山區(qū)校級期中）質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”，如：3和5，5和7，，那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素數(shù)：事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則A． B． C． D．6．（2024?蘇州校級模擬）袋中有5個球，其中紅黃藍(lán)白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則．二．全概率公式（共7小題）7．（2023春?鹽城期中）據(jù)美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為，在人群中有是吸煙者，他們患肺癌的概率約為，則不吸煙患肺癌的概率為A． B． C． D．8．（2023春?南京月考）已知，為兩個隨機事件，（A），（A），，，則（B）A．0.1 B． C．0.33 D．9．（2023春?鼓樓區(qū)校級月考）已知某倉庫中有10箱同樣型號的零件，其中有5箱、3箱、2箱依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該型號零件的次品率依次為，現(xiàn)從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一個零件，則取得的零件是次品的概率為A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.210．（2023春?濱海縣期中）甲罐中有5個紅球，3個白球，乙罐中有4個紅球，2個白球．整個取球過程分兩步，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別用，表示由甲罐取出的球是紅球，白球的事件；再從乙罐中隨機取出兩球，分別用，表示第二步由乙罐取出的球是“兩球都為紅球”，“兩球為一紅一白”的事件，則下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．11．（2023春?丹陽市校級期中）在，，三個地區(qū)爆發(fā)了甲型流感，這三個地區(qū)分別有，，的人患了甲流．假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，這個人患甲流的概率是（用分?jǐn)?shù)作答）12．（2023春?連云港期末）某廠用甲、乙兩臺機器生產(chǎn)相同的零件，它們的產(chǎn)量各占，，而各自的產(chǎn)品中廢品率分別為，，則該廠這種零件的廢品率為．13．（2023春?連云區(qū)校級期中）甲袋中裝有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙袋中裝有4個紅球，3個白球和3個黑球，且所有球的大小和質(zhì)地均相同．先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋中，再從乙袋中隨機取出一球，則從乙袋中取出的球是紅球的概率是．三．離散型隨機變量及其分布列（共6小題）14．（2024春?武進(jìn)區(qū)期中）在籃球比賽中，規(guī)定一次中距離投籃投中得2分，投不中得0分，則選手甲在三次中距離投籃中的總得分的所有可能取值的和是A．8 B．10 C．12 D．1415．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）離散型隨機變量的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以，代替，分布列如下：1234560.210.200．0.100.10則A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.6516．（2024春?錫山區(qū)校級期中）若隨機變量的分布列為：01230.10.20.20.30.10.1則當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是．17．（2023春?漣水縣校級月考）將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，小球?qū)⒂龅胶谏系K物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是．設(shè)小球向左的次數(shù)為隨機變量．（1）求隨機變量的概率分布列；（2）分別求出小球落入袋和袋中的概率．18．（2024春?泗洪縣期中）高考結(jié)束后，甲、乙兩同學(xué)決定各購置一部，經(jīng)了解，目前市場上銷售的主流國產(chǎn)有：華為、小米、、等；甲從華為、、中挑選，乙從，中挑選，甲、乙二人選擇各類型的概率如下表：華為甲乙0若甲、乙都選的概率為．（1）求，的值；（2）求甲、乙選擇不同的概率；（3）某市場舉辦購買進(jìn)行打折活動，活動標(biāo)準(zhǔn)如下表：華為補貼金額（百元部）354記甲、乙兩人購所獲得的補貼和為元，求的分布列．19．（2024春?鹽城期中）從甲、乙、丙、丁4人中隨機抽取3個人去做傳球訓(xùn)練．訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，，2，3，①直接寫出，，的值；②求與的關(guān)系式，并求．四．離散型隨機變量的期望與方差（共7小題）20．（2024春?常州期中）設(shè)隨機變量的分布列為，，2，3，則的數(shù)學(xué)期望A． B． C． D．21．（2024春?蘇州期中）若隨機變量滿足，其中為常數(shù)，則A．0 B． C． D．122．（2024春?東?？h期中）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)表示擲出的點數(shù)，則．23．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）若為非負(fù)實數(shù)，隨機變量的概率分布如表，則的最大值為，的最大值為．01224．（2024春?武進(jìn)區(qū)期中）設(shè)離散型隨機變量可能的取值為，，0，1，2，，若的均值為，則的值為．25．（2024春?鹽城期中）為推動黨史學(xué)習(xí)教育工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委決定在教師黨員中開展“學(xué)黨史”知識競賽．甲老師從裝有6個不同問題的紙盒中依次不放回抽取4個問題作答．已知這6個問題中，甲能正確回答其中的4個問題，且甲老師對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的．（1）求甲老師答對2個問題的概率；（2）若測試過程中答對1個問題得2分，答錯得0分，設(shè)隨機變量表示甲的得分，求，．26．（2024春?沛縣期中）某品牌汽車店，對最近100位采用分期付款的購車者進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表所示．已知分9期付款的頻率為0.2．該店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為1.5萬元；分12期或15期付款，其利潤為2萬元．用表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤．付款方式分3期分6期分9期分12期分15期頻數(shù)302010（1）求如表中的，值；（2）若以頻率作為概率，求事件“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用分9期付款”的概率（A）；（3）求的分布列及均值．五．超幾何分布（共3小題）27．（2023春?鹽城期中）已知隨機變量服從兩點分布，且．設(shè)，那么等于A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.428．（2022春?江蘇月考）若隨機變量服從超幾何分布，10，，則的均值．29．（2022春?海陵區(qū)校級期中）幸福農(nóng)場生產(chǎn)的某批次20件產(chǎn)品中含有件次品，從中一次任取10件，其中次品恰有件．（1）若，求取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率；（2）記，則當(dāng)為何值時，取得最大值．六．二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型（共6小題）30．（2024春?東?？h期中）已知隨機變量分布，且，設(shè)，那么A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.631．（2024春?鹽城期中）已知隨機變量服從兩點分布，若，則A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.432．（2023春?淮安月考）已知隨機變量，隨機變量，若，，則A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.433．（2023春?淮安月考）設(shè)隨機變量服從二項分布，若，則．34．（2023春?連云港期中）已知隨機變量服從兩點分布，若，則的標(biāo)準(zhǔn)差．35．（2023春?南京月考）籃球運動員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知運動員甲投籃命中率的概率為．（1）若投籃1次得分記為，求方差的最大值；（2）當(dāng)（1）中取最大值時，求運動員甲投5次籃得分為4分的概率．七．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共11小題）36．（2024春?邗江區(qū)校級期中）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于A．0.484 B．0.628 C．0.936 D．0.96837．（2024春?常州期中）對，兩地國企員工的上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中地員工的上班遲到時間為（單位：，，對應(yīng)的曲線為，地員工的上班遲到時間為（單位：，，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是A． B． C． D．38．（2024春?灌云縣校級期中）對，兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中地員工的上班遲到時間為（單位：，，對應(yīng)的曲線為，地員工的上班遲到時間為（單位：，，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是A． B． C． D．39．（2024春?泉山區(qū)校級期中）已知某市高三女生在國家體質(zhì)健康測試中的50米跑成績（單位：近似地服從正態(tài)分布，且，則A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.540．（2024?山東）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，，則（若隨機變量服從正態(tài)分布，則A． B． C． D．41．（2024春?鹽城期中）已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中，的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．42．（2024春?廣陵區(qū)校級月考）某地區(qū)高三年級2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試，已知數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，統(tǒng)計結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績低于80分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間，的學(xué)生人數(shù)約為．43．（2024春?南通月考）在某次數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布．若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績低于80分的概率是．44．（2023春?廣陵區(qū)校級月考）新能源汽車是中國戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)之一，政府高度重視新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，某企業(yè)為了提高新能源汽車品控水平，需要監(jiān)控某種型號的汽車零件的生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機抽取100件，測得該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表．質(zhì)量差（單位：5667707886件數(shù)（單位：件）102048193（1）求樣本平均數(shù)的值；根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，得到該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值）近似服從正態(tài)分布，其中的近似值為36，用樣本平均數(shù)作為的近似值，求概率的值；（2）若該企業(yè)有兩條生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率的兩倍．若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.015，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.018，將這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出來的零件混放在一起，這兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)廢品相互獨立．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機抽取一件．求該零件為廢品的概率；若在抽取中發(fā)現(xiàn)廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，．45．（2023春?賈汪區(qū)校級期中）電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的地球聯(lián)合政府機械設(shè)備，均出自中國工程機械領(lǐng)導(dǎo)者品牌—徐工集團．電影中有很多硬核的裝備，其實并不是特效，而是用國產(chǎn)尖端裝備設(shè)計改造出來的，許多的裝備都能在現(xiàn)實中尋找到原型．現(xiàn)集團某車間新研發(fā)了一臺設(shè)備，集團對新設(shè)備的具體要求是：零件內(nèi)徑（單位：在范圍之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為次品；零件內(nèi)徑滿足正態(tài)分布．（1）若該車間對新設(shè)備安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑（單位：分別為：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，試根據(jù)原則判斷這臺設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？并說明你的理由．（2）若該設(shè)備符合集團的生產(chǎn)要求，現(xiàn)對該設(shè)備生產(chǎn)的10000個零件進(jìn)行跟蹤調(diào)查．①10000個零件中大約有多少個零件的內(nèi)徑可以超過？②10000個零件中的次品的個數(shù)最有可能是多少個？參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，，，，．46．（2023春?無錫期末）某校擬對全校學(xué)生進(jìn)行體能檢測，并規(guī)定：學(xué)生體能檢測成績不低于60分為合格，否則為不合格；若全年級不合格人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則該年級體能檢測達(dá)標(biāo)，否則該年級體能檢測不達(dá)標(biāo)，需加強鍛煉．（1）為準(zhǔn)備體能檢測，甲、乙兩位同學(xué)計劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用七局四勝制（一方獲勝四局則本輪比賽結(jié)束）．假設(shè)甲同學(xué)每局比賽獲勝的概率均為，求甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下，前3局比賽均獲勝的概率；（2）經(jīng)過一段時間的體能訓(xùn)練后，該校進(jìn)行了體能檢測，并從高二年級1000名學(xué)生中隨機抽取了40名學(xué)生的成績作分析．將這40名學(xué)生體能檢測的平均成績記為，標(biāo)準(zhǔn)差記為，高二年級學(xué)生體能檢測成績近似服從正態(tài)分布．已知，，請估計該校高二年級學(xué)生體能檢測是否合格？附：若隨機變量，則，，．一．選擇題（共1小題）1．（2024春?啟東市期中）已知隨機變量服從兩點分布，則方差的可能值是A． B． C． D．二．多選題（共1小題）2．（2024春?贛榆區(qū)期中）下列說法正確的是A．若隨機變量分布，則 B．若隨機變量，則 C．已知隨機變量的分布列為，則 D．已知，為兩個隨機事件，且（B），則（A）三．填空題（共3小題）3．（2024春?江陰市期中）已知隨機變量的分布列如下，則．12340.10.20.30.44．（2024春?江陰市校級月考）一個筆袋內(nèi)裝有10支同型號簽字筆，其中黑色簽字筆有7支，藍(lán)色簽字筆有3支，若從筆袋內(nèi)每次隨機取出1支筆，取后不放回，取到藍(lán)色簽字筆就停止，最多取5次，記取出的簽字筆支數(shù)為，則．5．（2024春?啟東市期中）已知隨機變量，且，則．四．解答題（共18小題）6．（2024?武進(jìn)區(qū)校級三模）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家把一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按規(guī)定拾取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否驗收這批產(chǎn)品：（1）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗，求至少有1件是合格產(chǎn)品的概率；（2）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，來進(jìn)行檢驗，只有2件產(chǎn)品都合格時才接收這些產(chǎn)品，否則拒收．①求該商家檢驗出不合格產(chǎn)品件數(shù)的均值；②求該商家拒收這些產(chǎn)品的概率．7．（2024?六合區(qū)校級二模）在三維空間中，單位立方體的頂點坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)，，表示，其中，．而在維空間中，以單位立方體的頂點坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，，，，，其中，，現(xiàn)有如下定義：在維空間中，，，，，，，，，，兩點的曼哈頓距離為．（1）在3維單位立方體中任取兩個不同頂點，試求所取兩點的曼哈頓距離為1的概率；（2）在維單位立方體中任取兩個不同頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離．求出的分布列與期望；證明：隨機變量的方差小于．8．（2024春?武進(jìn)區(qū)期中）某電器廠打算處理一批臺燈，這些臺燈每箱10盞，以箱為單位銷售．已知這批臺燈中每箱出現(xiàn)的廢品只有兩種可能：1盞或者2盞，兩種可能對應(yīng)的概率分別為、．假設(shè)該臺燈正品每盞市場價格為100元，廢品不值錢，現(xiàn)每箱處理價格為860元，遇到廢品不予更換．現(xiàn)以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望大于處理價格作為可以購買的依據(jù)．（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；（2）現(xiàn)允許開箱，從一箱中隨機任取2盞進(jìn)行檢驗．①若已知此箱中有2盞為廢品，記抽到的廢品數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2盞臺燈中，恰有一盞是廢品，判斷此箱是否可以購買．9．（2024春?常州期中）有甲乙兩個骰子，甲骰子正常且均勻，乙骰子不正常且不均勻，經(jīng)測試，投擲乙骰子得到6點朝上的概率為，若投擲乙骰子共6次，設(shè)恰有3次得到6點朝上的概率為，是的極大值點．（1）求；（2）若且等可能地選擇甲乙其中的一個骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點朝上的結(jié)果的前提下，求這個骰子是乙骰子的概率；（3）若且每次都等可能地選擇其中一個骰子，共投擲了10次，在得到都是6點朝上的結(jié)果的前提下，設(shè)這10次中有次用了乙骰子的概率為，試問當(dāng)取何值時最大？并求的最大值（精確到．（參考數(shù)據(jù)10．（2024春?東?？h期中）某小組為調(diào)查高二學(xué)生在寒假名著閱讀情況，隨機抽取了20名男生和20名女生，得到如下閱讀時長（單位：小時）的數(shù)據(jù)：男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49．（1）在抽取的40名高二學(xué)生中，閱讀時長超過45小時的為“閱讀能手”，時長低于15小時的為“閱讀后進(jìn)者”．為了培養(yǎng)“閱讀后進(jìn)者”的閱讀興趣，現(xiàn)從“閱讀能手”中挑選幾人，對“閱讀后進(jìn)者”進(jìn)行一對一指導(dǎo)．求閱讀時長最短的同學(xué)被閱讀時長最長的同學(xué)指導(dǎo)的概率；（2）時長超過30小時的為“閱讀愛好者”，用頻率估計概率．現(xiàn)從高二學(xué)生中隨機抽取兩位男生、兩位女生交流心得，其中“閱讀愛好者”有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．11．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：介于，之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示．（1）求的值；（2）以頻率估計概率，完成下列問題．若從所有花卉中隨機抽4株，記高度在，內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在，的條件下，至多1株高度低于的概率．12．（2024春?沛縣期中）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列．為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為（單位：．（1）現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共8個，其中直徑大于的有4個．現(xiàn)從這8個零件中隨機抽取3個．記表示取出的零件中直徑大于的零件的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個零件是否合格相互獨立．現(xiàn)任取6個零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù)超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅成功．求技術(shù)攻堅成功的概率及的方差；（3）若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑，從生產(chǎn)的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件直徑大于的概率．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，．13．（2024春?南通期中）“五一”假期期間是旅游的旺季，某旅游景區(qū)為了解不同年齡游客對景區(qū)的總體滿意度，隨機抽取了“五一”當(dāng)天進(jìn)入景區(qū)的青、老年游客各120名進(jìn)行調(diào)查，得到下表：滿意不滿意青年8040老年10020（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“是否滿意”與“游客年齡”有關(guān)聯(lián)；（2）若用頻率估計概率，從“五一”當(dāng)天進(jìn)入景區(qū)的所有游客中任取3人，記其中對景區(qū)不滿意的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（2024春?泉山區(qū)校級期中）隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場監(jiān)管局加強了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．郴州市某中學(xué)食堂每天都會提供，兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù)．記同學(xué)甲第天選擇套餐的概率為．（1）求同學(xué)甲第二天選擇套餐的概率；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）從該校所有學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生統(tǒng)計第二天選擇去餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學(xué)生中恰有名學(xué)生選擇去餐廳就餐的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值．15．（2024春?江陰市期中）“國家反詐中心”集合報案助手、舉報線索、風(fēng)險查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”年該于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代替）；（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．（2024春?南通月考）為推動黨史學(xué)習(xí)教育工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委決定在教師黨員中開展“學(xué)黨史”知識競賽．該校理綜支部經(jīng)過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在甲，乙兩名教師中間產(chǎn)生，支部書記設(shè)計了兩種測試方案供兩位教師選擇．方案一：從裝有6個不同問題的紙盒中依次有放回抽取4個問題作答；方案二：從裝有6個不同問題的紙盒中依次不放回抽取4個問題作答．已知這6個問題中，甲，乙兩名教師都能正確回答其中的4個問題，且甲，乙兩名教師對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的．假設(shè)甲教師選擇了方案一，乙教師選擇了方案二．（1）求甲，乙兩名教師都只答對2個問題的概率；（2）若測試過程中每位教師答對1個問題得2分，答錯得0分．你認(rèn)為安排哪位教師參賽比較合適？請說明理由．17．（2024春?啟東市期中）為適應(yīng)社會化安全宣傳新形勢新要求，充分發(fā)揮區(qū)域特色和示范效應(yīng)，深入推進(jìn)安全宣傳進(jìn)企業(yè)、進(jìn)農(nóng)村、進(jìn)社區(qū)、進(jìn)學(xué)校、進(jìn)家庭，普及安全知識、培育安全文化，某單位用簡單隨機抽樣的方法從，兩個社區(qū)中抽取居民進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查中有“滿意”和“不滿意”兩個選項，調(diào)查的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：社區(qū)居民意見合計滿意不滿意社區(qū)3045社區(qū)55合計25（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認(rèn)為居民滿意度與所在社區(qū)有關(guān)？（2）現(xiàn)從“不滿意”的居民中隨機抽取2位居民進(jìn)行深入調(diào)研，用表示抽取的“不滿意”的居民來自社區(qū)的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（2024春?啟東市期中）某技術(shù)部門需研發(fā)新型材料，研發(fā)過程中發(fā)現(xiàn)每次實驗會得到型材料和型材料之一．為測試新型材料是否能夠穩(wěn)定投產(chǎn)，制定了以下測試規(guī)則：每一輪測試都會進(jìn)行兩次實驗，若兩次實驗均得到型材料，則測試成功并停止測試；否則將加大催化劑的劑量并進(jìn)行新一輪的測試．已知第輪測試中每次實驗得到型材料的概率為．（1）如果最多進(jìn)行3輪測試（第三輪測試不成功也停止測試），記測試輪數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）如果最多可進(jìn)行輪測試（第輪測試不成功也停止測試），記為在第，2，，輪測試成功的概率，則測試成功的概率為．求（4）的值；求證：．19．（2024春?廣陵區(qū)校級月考）已知甲社區(qū)有120人計劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)；去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組西小組合計（2）在東小組的游客中，以他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率，從乙社區(qū)任選3名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（2024春?如皋市月考）現(xiàn)有兩個靜止且相互獨立的粒子經(jīng)過1號門進(jìn)入?yún)^(qū)域一，運行一段時間后，再經(jīng)過2號門進(jìn)入?yún)^(qū)域二，繼續(xù)運行．兩粒子經(jīng)過1號門后由靜止等可能變?yōu)椤靶D(zhuǎn)”運動狀態(tài)或“不旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)，并在區(qū)域一中保持此運動狀態(tài)直到兩粒子到2號門，經(jīng)過2號門后，兩粒子運動狀態(tài)發(fā)生改變的概率為（運動狀態(tài)發(fā)生改變即由區(qū)域一中的“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)變?yōu)閰^(qū)域二中的“不旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)或區(qū)域一中的“不旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)變?yōu)閰^(qū)域二中的“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)），并在區(qū)域二中一直保持此運動狀態(tài)．（1）求兩個粒子經(jīng)過1號門后為“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)的條件下，經(jīng)過2號門后狀態(tài)不變的概率；（2）若經(jīng)過2號門后“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)的粒子個數(shù)為2，求兩個粒子經(jīng)過1號門后均為“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)的概率；（3）將一個“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)的粒子經(jīng)過2號門后變?yōu)椤安恍D(zhuǎn)”運動狀態(tài)，則停止經(jīng)過2號門，否則將一個“旋轉(zhuǎn)”運動狀態(tài)的粒子再經(jīng)過2號門，直至其變?yōu)椤安恍D(zhuǎn)”運動狀態(tài)．設(shè)停止經(jīng)過2號門時，粒子經(jīng)過2號門的次數(shù)為，2，3，4，，．求的數(shù)學(xué)期望（用表示）．21．（2024春?廣陵區(qū)校級月考）某企業(yè)響應(yīng)國家“強芯固基”號召，為匯聚科研力量，準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額（單位：千萬元）對年收入的附加額（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額3.204.004.806.007.307.459.25（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于0.1，則稱對應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個年份中任意取3個，記表示這三個年份為“優(yōu)”的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和極距的最小二乘估計公式分別為：，．22．（2023春?丹陽市校級期末）2017年某市政府為了有效改善市區(qū)道路交通擁堵狀況出臺了一系列的改善措施，其中市區(qū)公交站點重新布局和建設(shè)作為重點項目．市政府相關(guān)部門根據(jù)交通擁堵情況制訂了“市區(qū)公交站點重新布局方案”，現(xiàn)準(zhǔn)備對該“方案”進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否啟用該“方案”．調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點隨機抽取若干市民對該“方案”進(jìn)行評分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．相關(guān)規(guī)則為：①調(diào)查對象為本市市民，被調(diào)查者各自獨立評分；②采用百分制評分，，內(nèi)認(rèn)定為滿意，不低于80分認(rèn)定為非常滿意；③市民對公交站點布局的滿意率不低于即可啟用該“方案”；④用樣本的頻率代替概率．（Ⅰ）從該市800萬人的市民中隨機抽取5人，求恰有2人非常滿意該“方案”的概率；并根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計學(xué)知識判斷該市是否啟用該“方案”，說明理由．（Ⅱ）已知在評分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因，并從中抽取3人擔(dān)任群眾督查員，記為群眾督查員中的老人的人數(shù)，求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．23．（2023春?海安市校級期中）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（?。┤舨粚υ撓溆嘞碌漠a(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？一．選擇題（共1小題）1．（2023?甲卷）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1二．多選題（共1小題）2．（2024?山東）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，，則（若隨機變量服從正態(tài)分布，則A． B． C． D．三．填空題（共1小題）3．（2024?天津），，，，五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加，甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．四．解答題（共7小題）4．（2024?北京）已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付0.8萬元，第4次賠付0.6萬元．賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：（1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）毛利潤是保費與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為，估計的數(shù)學(xué)期望；若未賠償過的保單下一保險期的保費下降，已賠償過的增加．估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．5．（2023?全國）盒中有4個球，分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、3，從中隨機取2個球．（1）求取到2個標(biāo)有數(shù)字1的球的概率；（2）設(shè)為取出的2個球上的數(shù)字之和，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．6．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高；用“”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天00000第21天到第40天00000用頻率估計概率．（Ⅰ）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（Ⅲ