10.2直線與直線間的位置關(guān)系（七大題型提分練）

10.2直線與直線間的位置關(guān)系題型1:平行公理1．如圖，將一張紙對(duì)折多次，所得折痕為，則與的位置關(guān)系為．【答案】平行【分析】根據(jù)給定條件，利用平行公理即可判斷得解.【解析】依題意，由，得，由，得，所以，即與的位置關(guān)系為平行.故答案為：平行2．設(shè)是正方體的一條棱，這個(gè)正方體中與平行的棱共有條．【答案】3【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷與平行的棱的條數(shù).【解析】如下圖正方體中，與平行的棱有，共3條.

故答案為：33．空間四邊形的對(duì)角線長均為2，且互相垂直，順次連接這個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)所形成的四邊形的面積為．【答案】1【分析】畫出滿足條件的圖象，利用、、、分別為各邊的中點(diǎn)，由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理，可得這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線垂直，可得四邊形是正方形，即可求解【解析】在空間四邊形中，連接、，、、、分別為各邊的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，且，，且，四邊形是正方形；所以四邊形的面積為，故答案為：14．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的條件．【答案】必要不充分條件【分析】根據(jù)公理1，2以及充分條件、必要條件的定義即可判斷.【解析】依題意m，n，l是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)m，n，l在同一平面時(shí)，可能，故不能得出m，n，l兩兩相交；當(dāng)m，n，l兩兩相交時(shí)，設(shè)，，，根據(jù)公理2可知m，n確定一個(gè)平面，而，，根據(jù)公理1可知，直線BC即，所以m，n，l在同一平面．綜上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分條件.5．棱長為3的正四面體中，E，F(xiàn)分別是和的重心，則，與的位置關(guān)系為.【答案】1平行【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得，三角形中位線的性質(zhì)及平行公理可得結(jié)果.【解析】連接并延長交于M，連接并延長交于H，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是和的重心，所以分別為中點(diǎn)，所以，即又，且，所以，故答案為：.

題型2:等角定理及應(yīng)用6．已知空間中兩個(gè)角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則.【答案】或【分析】根據(jù)等角定理求解即可.【解析】根據(jù)等角定理知：或，若，則或.故答案為：或7．在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，則.【答案】【分析】如圖，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，即可求解.【解析】如圖，由題意知，由題意知，，所以.故答案為：8．如圖，長方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點(diǎn)，，則

【答案】/【分析】依題意可得、，根據(jù)空間等角定理可得出結(jié)果.【解析】連接，如下圖所示：

依題意且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得，根據(jù)空間等角定理可知或與互補(bǔ)，顯然與不互補(bǔ)，所以；由長方體可知，平面，而平面，所以，即，又，所以，故答案為：題型3:異面直線的概念9．異面直線(1)定義：不同在平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法．【答案】任何一個(gè)【分析】略.【解析】略.10．如果兩條直線和沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線是（

）A．平行 B．平行或是異面直線C．是異面直線 D．共面【答案】B【分析】由空間中直線的位置關(guān)系即可得解.【解析】如果兩條直線和沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線是同一平面內(nèi)的平行直線或是異面直線.故選：B.11．已知，，，，則與l的位置關(guān)系是.【答案】異面/異面直線【分析】根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合反證法進(jìn)行判斷即可.【解析】假設(shè)與l是共面直線，設(shè)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，而，所以，因此，而，因此有，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，因此與l的位置關(guān)系是異面，故答案為：異面題型4:異面直線的判定12．若是異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面【分析】利用異面直線的定義與平面相關(guān)定理即可得解.【解析】因?yàn)槭莾蓷l異面直線，直線，所以過b任一點(diǎn)可作與a平行的直線c，此時(shí)c與b相交；另外，c與b不可能平行，理由如下：若，則由可得到，這與a，b是兩條異面直線矛盾，故c與b異面；綜上，c與b的位置關(guān)系是相交或異面.故答案為：相交或異面．13．已知空間中兩條直線，“”是“與相交”的條件.【答案】既不充分也不必要【分析】以正方體為例，舉例說明，結(jié)合充分條件和必要條件的定義可得.【解析】以正方體為例，舉例說明即可.如圖，在正方體中，，但是異面，即不相交；，但是、不垂直.故答案為：既不充分也不必要.14．判斷正誤．（1）兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行．()（2）兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．()（3）過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線．()（4）和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．()【答案】×√××【解析】（1）可以平行、異面，故錯(cuò)誤；（2）空間直線位置關(guān)系有三種：平行、相交、異面，故正確；（3）可以是異面、相交，故錯(cuò)誤；（4）可以是異面、相交，故錯(cuò)誤.15．在正方體的12條棱?12條面對(duì)角線中，總共可以組成對(duì)異面直線.【答案】126【分析】根據(jù)異面直線的定義可判斷.【解析】每條棱與其他棱構(gòu)成異面直線，共有條；每條棱與面對(duì)角線構(gòu)成異面直線，共有條；每條面對(duì)角線每條面對(duì)角線與其他面對(duì)角線構(gòu)成異面直線，共有條，所以共有條.故答案為：126.16．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線；②和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；③和兩條異面直線都相交的兩條直線必定異面；④與同一條直線都異面的兩條直線也是異面直線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】略題型5:異面直線所成角17．異面直線和所成的角為，則的范圍是．【答案】【分析】直接利用異面直線所成角定義可得答案.【解析】由異面直線所成角的定義可知：異面直線和所成角的范圍為.故答案為：.18．在正方體中，直線與所成角的大小為．（用角度表示）【答案】【分析】構(gòu)造兩條異面直線所成的角，再求角的大小.【解析】如圖：連接，，易知，所以即為與所成的角或其補(bǔ)角，易知為等邊三角形，所以.故答案為：19．已知正方體中，、分別為和的中心，則和所成角大小為．【答案】/【分析】利用三角形的中位線得到平行關(guān)系，將異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，再求解即可.【解析】連接，，交點(diǎn)即為正方形的中心，連接，在中，分別為的中點(diǎn)，則，又，所以即為直線和直線所成的角，在中，，所以，即和所成角大小為.故答案為：.20．已知空間四邊形的對(duì)角線，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則異面直線，所成角為．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，利用異面直線所成角的定義求解即得.【解析】在四面體中，取的中點(diǎn)，連接，由M、N分別為，的中點(diǎn)，得，則是異面直線AC與BD所成的角或其補(bǔ)角，顯然，而，有，于是，所以異面直線AC與BD所成的角是.故答案為：21．設(shè)、、為空間中三條不同的直線，若與所成角為，與所成角為，則與所成角的取值范圍是.【答案】【分析】不妨設(shè)、、相交于點(diǎn)，根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)圓錐，結(jié)合軸截面可得與所成角的最小值與最大值即可.【解析】不妨設(shè)、、相交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)圓錐，

其中底面圓心為，軸所在直線為，小圓錐的母線所在直線為，軸截面；大圓錐的母線所在直線為，軸截面，且在一條直線上.由題意，，由圖可知，當(dāng)移動(dòng)到，移動(dòng)到時(shí)，可得與所成角的最小，最小值為.當(dāng)移動(dòng)到，移動(dòng)到時(shí)，可得與所成角的最大，最大值為.所以與所成角的取值范圍為.故答案為：題型6:證明空間直線垂直22．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，垂直于底面，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題設(shè)易得，由已知及線面垂直的性質(zhì)有面，根據(jù)線面垂直的判定可證、，再由線面垂直的判定及平行的推論可得面，最后由線面垂直的性質(zhì)證結(jié)論.（2）若與平面所成角為，由線面垂直易知，即可求線面角的大小.【解析】（1）由即，又，有，∵面，面，∴，而，則有面，又面，則，由面，有，且，為的中點(diǎn)，則，又為的中點(diǎn)，有，即，而，又，則，即共面，∴面，而面，故.（2）由（1）知：面，若與平面所成角為，且，∴，則，故.23．如圖，已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn).（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若四邊形是矩形，求證：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）根據(jù)中位線定理證明，，得到，即可證明四點(diǎn)共面；（2）根據(jù)矩形關(guān)系有，結(jié)合中位線關(guān)系，，即可證明.【解析】（1）在中，分別是的中點(diǎn)，.同理，則，故四點(diǎn)共面.（2）由（1）知，同理.又∵四邊形是矩形，.故【點(diǎn)睛】此題考查通過平行關(guān)系證明四點(diǎn)共面，利用等角定理通過兩條直線的平行線垂直，證得已知兩條直線垂直.24．如圖，已知正方體.（1）求與所成角的大?。唬?）若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，證出，由此得到就是與所成的角．然后在正三角形中加以計(jì)算，可得與所成角的大?。唬?）平行四邊形中可得，可證，又即可得證；【解析】解：（1）如圖，連接，由幾何體是正方體，知四邊形為平行四邊形，所以，從而與所成的角為與所成的角，由，可知.故與所成的角為.（2）如圖，連接，易知四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)闉榈闹形痪€，所以.又，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題在正方體中求異面直線所成角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．題型7:已知異面直線所成角求其他量25．正方體的棱長為4，點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若異面直線與所成角的余弦值為，則.【答案】【分析】將原正方體補(bǔ)形為長方體，利用線線角的定義得到為異面直線與所成的角，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【解析】將原正方體的一側(cè)補(bǔ)上另一個(gè)正方體變?yōu)槿鐖D所示的長方體.在上取點(diǎn)使，連接，則易得，所以即為異面直線與所成的角(或其補(bǔ)角).設(shè)，則，，，又，，則，所以為銳角，所以，解得，所以.故答案為：.26．如圖，在四面體中，，，與所成的角為，，分別為，的中點(diǎn)，求線段的長.【答案】或【分析】取的中點(diǎn)，連接，得到且，把異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，設(shè)，則或，結(jié)合余弦定理，即可求解.【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得且，由且，可得異面直線與所成的角，且所成的角為即為直線與所成的角，設(shè)，則或，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；27．在空間四邊形中，，分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，若異面直線所成角的大小為，則的長為.【答案】或【分析】取中點(diǎn)為，連接，根據(jù)已知得出，，或.然后在中，根據(jù)余弦定理，即可得出答案.【解析】取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，，且，.又異面直線所成角的大小為，所以，或.當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，，所以，；當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，，所以，.綜上所述，或.故答案為：或.28．如圖所示，在三棱錐ABCD中，AB＝CD，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)．

(1)若AB⊥CD，求EF與AB所成的角的大?。?2)若AB＝CD＝2，且異面直線AB與CD所成角的大小為60°，求線段EF的長．【答案】(1)45°；(2)或【分析】（1）取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG；利用中位線定理得到EG＝GF且EG⊥GF，所以EF與AB所成的角即為∠EFG，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)題意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情況討論即可求解.【解析】（1）取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG；

因?yàn)镋、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF；因?yàn)锳B⊥CD，所以EG⊥GF；在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF為等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；因?yàn)镚F∥AB，所以EF與AB所成的角即為∠EFG，即EF與AB所成的角的大小為45°；（2）因?yàn)锳B＝CD＝2，所以EG＝GF＝1；因?yàn)锳B與CD所成角的大小為60°，所以∠EGF＝60°或120°；在△EGF中，當(dāng)∠EGF＝60°時(shí)，此三角形為等邊三角形，故EF＝1；在△EGF中，當(dāng)∠EGF＝120°時(shí)，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝，綜上，或29．在中，是邊上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，把沿翻折為，若存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成的角為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【答案】【分析】沿翻折為，則是以為軸截面的圓錐的母線，過點(diǎn)C作，則與AD所成的角等于與CE所成的角，設(shè)，則，，利用正弦定理進(jìn)行求解即可．【解析】在中，則，沿翻折為，則是以為軸截面的圓錐的母線，其中，共線，為圓錐的軸，與不重合，如圖，

過點(diǎn)C作，則與AD所成的角等于與CE所成的角，設(shè)，易知，如圖，若存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成的角為，則，∴，又，∴，，在中，由正弦定理得，∴，∴，又，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中取值范圍與最值問題，一般可從三個(gè)方面處理解決：一是函數(shù)法，即根據(jù)題中信息直接建立函數(shù)關(guān)系式，或通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，最后根據(jù)函數(shù)的形式，選擇利用函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式或?qū)?shù)求最值；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷求解；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解．一、填空題1．在空間四邊形中，，分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，若異面直線所成角的大小為，則的長為.【答案】或【分析】取中點(diǎn)為，連接，根據(jù)已知得出，，或.然后在中，根據(jù)余弦定理，即可得出答案.【解析】取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，，且，.又異面直線所成角的大小為，所以，或.當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，，所以，；當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，，所以，.綜上所述，或.故答案為：或.2．在長方體（平面為下底面）中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為.【答案】/【分析】在長方體的上方補(bǔ)一個(gè)全等的長方體，進(jìn)而在利用余弦定理求解即可.【解析】解：在長方體的上方補(bǔ)一個(gè)全等的長方體，所以，由長方體的性質(zhì)可知：直線，因?yàn)?，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)所以，，，所以，所以，異面直線與BF所成角的余弦值為.故答案為：3．在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱AB，AD，兩兩夾角都為，且，，，M，N分別為，的中點(diǎn)，則MN與AC所成角的余弦值為．【答案】【分析】先證明，則是MN與AC所成的角，結(jié)合余弦定理即可證明.【解析】連接，，則四邊形是平行四邊形，∴．又且，∴，∴是MN與AC所成的角．由余弦定理可得：，，．∴．故答案為：．4．已知異面直線與所成的角為，為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)且與所成的角的直線有且只有條.【答案】2/兩【分析】結(jié)合圖象，利用異面直線所成角的定義、直線的夾角分析判斷即可得解.【解析】解：

如上圖，把異面直線與平移到點(diǎn)處相交，平移后的直線分別為、，、，則，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線平分，則直線與、的夾角為.過點(diǎn)作直線同時(shí)垂直、，也就是同時(shí)垂直、，在直線向上或向下圍繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到直線的過程中，直線與、所成角單調(diào)遞增，必然經(jīng)過，因?yàn)槭窍蛏舷聝蓚?cè)旋轉(zhuǎn)，所以有2條.若考慮的補(bǔ)角的角平分線向上側(cè)下側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)榈难a(bǔ)角的角平分線與、夾角為，向上或向下圍繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到直線的過程中不經(jīng)過.故答案為：2.5．如圖，異面直線l，m，，，，，，，且，，，，則異面直線l，m夾角的余弦值為

【答案】/【分析】先根據(jù)異面直線所成角的定義構(gòu)造角，再在三角形中應(yīng)用余弦定理求解即可.【解析】

過做平行線，連接則異面直線l，m夾角,又因?yàn)椋?.故答案為:.6．過正方體的頂點(diǎn)A作直線l，使得l與直線，所成的角均為，若這樣的直線l恰有兩條，則的取值范圍為.【答案】【分析】首先求出異面直線與所成角，過點(diǎn)作，，即可得到，過點(diǎn)分別作的角平分線及其垂線，即可得到直線、與、所成角，再過點(diǎn)作平面，即可得到直線與、所成角，從而得到，再分四種情況討論，分別判斷即可；【解析】解：如圖連接、，由正方體的性質(zhì)可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角，顯然為等邊三角形，所以，即異面直線與所成角為，如圖，過點(diǎn)作，，則直線與所成的角為，現(xiàn)只需過點(diǎn)分別作的角平分線及其垂線，則直線與、所成角均為，直線與、所成角均為，過點(diǎn)作平面，則直線與、所成角均為，易知，①當(dāng)時(shí)，直線恰有1條（為）；②當(dāng)時(shí)，直線恰有2條（從繞點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針至的過程中，產(chǎn)生2條）；③當(dāng)時(shí)，直線恰有3條（為1條，從繞點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針至的過程中，產(chǎn)生2條）；④當(dāng)時(shí)，直線恰有4條（從繞點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針至的過程中，產(chǎn)生2條，從繞點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針至的過程中，產(chǎn)生2條）；綜上可得故答案為：二、單選題7．已知正方體的體對(duì)角線垂直于平面，直線與平面所成角為，在正方體繞體對(duì)角線旋轉(zhuǎn)的過程中，記BC與直線所成的最小角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，作出平面，找到線線角的平面角，即可求解.【解析】如圖所示，連接，交平面于點(diǎn).設(shè)正方體的棱長為a，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，平面，則平面與平面平行或重合，在線段上取點(diǎn)P，使，則為滿足題意的其中一個(gè)直線，正方體繞體對(duì)角線旋轉(zhuǎn)的過程可認(rèn)為是正方體不動(dòng)，繞體對(duì)角線旋轉(zhuǎn)，，，所以BC與直線所成的角即與直線所成的角，可得當(dāng)P在線段上時(shí)，與直線所成的角最小，由正方體的性質(zhì)可得，則，所以.故選：B.8．從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角