專題21.9一元二次方程單元提升卷（人教版）

第21章一元二次方程單元提升卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2324九年級(jí)·廣東汕頭·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．x+2y=1 B．x2?2xy=0 C．x2【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程，即可判斷求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、方程x+2y=1，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程，不合題意；B、方程x2C、方程x2D、方程x2故選：D．2．（3分）（2324·河南平頂山·一模）若關(guān)于x的一元二次方程m+2x2+x+m2?4=0的一個(gè)根為A．?2 B．0 C．2 D．?2或2【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的解，把x=0代入一元二次方程可得m=±2，又根據(jù)m+2≠0可得m≠?2，進(jìn)而求解，掌握一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程m+2x2+x+∴m2∴m=±2，又∵m+2≠0，∴m≠?2，∴m=2，故選：C．3．（3分）（2324九年級(jí)·遼寧鐵嶺·期中）用配方法解一元二次方程x2?6x+2=0時(shí)，下列變形正確的是（A．x?32=7 B．x?32=11 C．【答案】A【分析】本題主要考查用配方法解一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2?6x+9=?2+9，即故選：A．4．（3分）（2324九年級(jí)·廣西梧州·期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?2(m+3)=0的根情況是（A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由m的值確定【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，配方法，熟記判別式并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．先確定a、b、c的值，計(jì)算Δ=【詳解】由題意可知：a=1，b=m，c=?2(m+3)=?2m?6，∴∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．5．（3分）（2324九年級(jí)·安徽合肥·期中）關(guān)于x的方程x2+x2A．?3 B．1 C．?3或1 D．3或?1【答案】B【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用換元法解方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)x2+x=t，則此方程可化為【詳解】解：設(shè)x2+x=t，則此方程可化為∴t?1t+3∴t?1=0或t+3=0，解得t1=1，∴x2+x的值是1或∵x2+x=?3，即Δ方程無解，故x2∴x2故選：B．6．（3分）（2324九年級(jí)·廣西梧州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，且x1A．0 B．2 C．?1 D．1【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=?3，x1·【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1∴x1+x∵x1∴2x解得：x2∴x1∴?2×解得：m=0，故選：A．7．（3分）（2324九年級(jí)·浙江溫州·期中）為響應(yīng)國家全民閱讀的號(hào)召，某社區(qū)鼓勵(lì)居民到社區(qū)閱覽室借閱圖書．據(jù)統(tǒng)計(jì)該閱覽室2021年圖書借閱總量是7500本，2023年圖書借閱總量是10800本．設(shè)該社區(qū)閱覽室的圖書借閱總量從2021年至2023年的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為（

）A．75001+x=10800 C．75001+1+x2【答案】B【分析】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)增長率問題的數(shù)量關(guān)系列出表示經(jīng)過兩次增長以后圖書館有書的本數(shù)的代數(shù)式是關(guān)鍵．經(jīng)過兩次增長，求年平均增長率的問題，應(yīng)該明確原來的基數(shù)，增長后的結(jié)果．設(shè)這兩年的年平均增長率為x，則經(jīng)過兩次增長以后圖書館有書75001+x【詳解】解：根據(jù)題意，得75001+x故選：B．8．（3分）（2324九年級(jí)·浙江溫州·期中）已知m是方程ax2+c=0和方程cx2A．?1 B．2?1 C．?m D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟練掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由題意知，am2+c=0，cm2+a=0，則am2+c+c【詳解】解：由題意知，am2+c=0∴am2+c+c解得，a+c=0，即c=?a，∴ax2+2ax?a=0解得，x1=2∴方程ax2+2ax+c=0故選：B．9．（3分）（2324九年級(jí)·貴州貴陽·期中）定義：關(guān)于x的一元二次方程：a1x?m2+n=0與a2x?m2+n=0，稱為“同族二次方程”．如2x?32+4=0與3A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】A【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組，先將a+2x2+b?4x+8=0變形為a+2【詳解】解：∵a+2x∴a+2x即a+2x?1∵2x?12+1=0∴2x?12+1=0∴2a+b=0，6?a=1，解得：a=5，b=?10，則?a=?5=?5=?5x?1當(dāng)x=1時(shí)，?ax故選A．10．（3分）（2324九年級(jí)·河北石家莊·期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；②(m?1A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】設(shè)方程x2+2mx+2n=0的兩根為x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的兩根為y1、y2．①根據(jù)方程解的情況可得出x1?x2=2n＞0、y1?y2=2m＞0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=2m、y1+y2=2n，進(jìn)而得出這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根，①正確；②由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出m22n≥0、n22m≥0，將（m1）2+（n1）2展開代入即可得出②正確；③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出2m2n=（y1+1）（y2+1）1、2n2m=（x1+1）（x2+1）1，結(jié)合x1、x2、y1、y【詳解】設(shè)方程x2+2mx+2n=0的兩根為x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的兩根為y①∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=2m，y1+y2=2n，∴這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根，①正確；②∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，∴4m28n≥0，4n28m≥0，∴m22n≥0，n22m≥0，∴（m1）2+（n1）2=m22n+1+n22m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=2n，∴2m2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）1，∵y1、y2均為負(fù)整數(shù)，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m2n≥1．∵x1?x2=2n，x1+x2=2m，∴2n2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）1，∵x1、x2均為負(fù)整數(shù)，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n2m≥1，即2m2n≤1．∴1≤2m2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結(jié)論有①②③．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的根的判別式，根據(jù)不同結(jié)論靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,也是解決問題的難點(diǎn)．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2324九年級(jí)·天津西青·期中）將一元二次方程xx?1=?1化成ax2【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【詳解】解：將一元二次方程xx?1=?1化成一般形式ax故a=1,b=?1,c=1，∴a+b+c=1?1+1=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題關(guān)鍵．12．（3分）（2324九年級(jí)·山東淄博·期中）已知α、β是方程x2?2x?2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2【答案】2018【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由題意得出α2?2α=2024，α+β=2，將a2【詳解】解：∵α、β是方程x2∴α2?2α?2024=0，∴α2∴a2故答案為：2018．13．（3分）（2324九年級(jí)·北京·期中）方程x2?8x+15=0的兩個(gè)根分別是一個(gè)直角三角形的兩條邊長，則直角三角形的第三條邊長是【答案】34或4【分析】本題考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．先求出方程的解，再分為兩種情況，根據(jù)勾股定理求出第三邊即可．【詳解】解:解方程x2?8x+15=0得：即直角三角形的兩邊為3或5，當(dāng)5為直角邊時(shí)，第三邊為：32當(dāng)5為斜邊時(shí)，第三邊為：52故答案為：34或4．14．（3分）（2324九年級(jí)·浙江溫州·期中）在解方程x2+mx?n=0時(shí)，小王看錯(cuò)了m，解得方程的根為6與?1；小李看錯(cuò)了n，解得方程的根為2與?7，則原方程的解為【答案】x1=1【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，能夠根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得沒有看錯(cuò)的未知字母的值是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得m，n的值，再進(jìn)一步解方程即可．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得?n=6×?1，?m=2?7解得：n=6，m=5，∴原方程為x2x?1x+6x?1=0或x+6=0，∴x1=1，故答案為：x1=1，15．（3分）（2324九年級(jí)·吉林·期中）嘉琪準(zhǔn)備完成題目：解一元二次方程x2?6x+□=0．若“□”表示一個(gè)字母，且一元二次方程x2?6x+□=0有實(shí)數(shù)根，則“【答案】9【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定范圍，設(shè)□中為m，根據(jù)判別式的意義得到Δ=b2?4ac，然后解不等式求出m后找出最大整數(shù)即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判別式【詳解】解：設(shè)□中為m，∵一元二次方程x2∴Δ=解得：m≤9，∴“□”的最大值為9，故答案為：9．16．（3分）（2324九年級(jí)·江蘇宿遷·期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“*”；a?b=a2?aba≤bb2?ab【答案】?3<t<?2/?2>t>?3【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算，分兩種情況得出兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，再由關(guān)于x的方程2x?x?1=t+3恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)根，得到關(guān)于x【詳解】解：由新定義的運(yùn)算可得關(guān)于x的方程為：當(dāng)2x≤x?1時(shí)，即x≤?1時(shí)，有2x2即：2x2+2x?t?3=0當(dāng)2x>x?1時(shí)，即x>?1，時(shí)，有x?12即：x2要使關(guān)于x的方程2x?x?1=t+3恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則x∴?t?2≥02t+7≥0∴?7（1）當(dāng)?t?2=0時(shí)，即t=?2時(shí)，方程x2=?t?2x>?1∵當(dāng)t=?2時(shí)，2t+7=∴?1+32>0∴此時(shí)方程2x∴t=?2不符合題意；（2）當(dāng)?3<t<?2時(shí)，方程x2=?t?2x>?1∵當(dāng)?3<t<?2時(shí)，1<2t+7∴?1+2t+72>0∴方程2x∴當(dāng)?3<t<?2時(shí)，2x?（3）∵當(dāng)?7t≤t≤?3時(shí)，方程x2=?t?2∴此時(shí)方程x2∵?12≤∴當(dāng)?7t≤t≤?3∴當(dāng)?7t≤t≤?3綜上分析可知，t的取值范圍是?3<t<?2．故答案為：?3<t<?2．【點(diǎn)睛】本題考查了新運(yùn)算及利用一元二次方程根的情況求字母的取值范圍，讀懂題意，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2324九年級(jí)·湖南永州·期中）解方程：(1)2x(x?3)=3?x；(2)(x+1)(x?2)=1．【答案】(1)x1=3，(2)x1=1+【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）整理成一般式，利用公式法求解即可；本題考查了一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：2x(x?3)=3?x，2x(x?3)+(x?3)=0，(x?3)(2x+1)=0，x?3=0或2x+1=0，∴x1=3，（2）(x+1)(x?2)=1，x2a=1，b=?1，c=?3，∴Δ=∴x=1±∴x1=1+18．（6分）（2324九年級(jí)·四川樂山·期中）已知關(guān)于x的方程x2(1)當(dāng)k是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足：|x【答案】(1)當(dāng)k≤5(2)k=?【分析】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元一次方程(不等式，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x2+x（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=3?2k、x1x2=k2+1，結(jié)合【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程x2∴Δ解得：k≤5當(dāng)k≤512（2）解：方程x2+2k?3x+k∴x1∵k≤5∴x1、∴|x2|+|解得：k=?119．（8分）（2324九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的邊長，易知AE=2c，這時(shí)我們把關(guān)于

(1)試判斷方程x2(2)若x=?1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0【答案】(1)是勾系一元二次方程；(2)2．【分析】（1）根據(jù)定義，把方程x2+2x+1=0變形為x2+2（2）根據(jù)方程根的定義，新定義，完全平方公式，變形計(jì)算即可．本題考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟練掌握定義，定理，公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)定義，方程x2+2x+1=0變形為得到a=1,b=1,c=2且a2故方程x2（2）∵x=?1是“勾系一元二次方程”ax∴a?2∴a+b=2∵四邊形ACDE的周長是12，∴2a+2b+2∴a+b=4，∴4=2∴c=22∴a2∵a+b2∴a+b∴1故△ABC的面積為2．20．（8分）（2324九年級(jí)·重慶忠縣·期末）閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，如果實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=0，那么a=b=0．利用這種思路，對(duì)于m解法是：∵m2?2mn+2n即m?n2+n?32=0，∴m?n=0根據(jù)這樣的解法，完成：(1)若x2+y(2)若等腰△ABC的兩邊長a，b滿足a2+b(3)若正整數(shù)a，b，c滿足不等式a2+b【答案】(1)x+3y=?1；(2)△ABC的周長為10或11；(3)a+b+c=6．【分析】本題考查的是配方法的應(yīng)用、等腰三角形的概念、三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出x、y，進(jìn)而求出x+3y；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出a、b，根據(jù)等腰三角形的概念解答即可；（3）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性以及有理數(shù)的平方、分情況討論求出a、b、c，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵x2∴x+42∴x=?4，y=1，∴x+3y=?1；（2）解：∵a2∴a?32∴a=3，b=4．∵a，b是等腰△ABC的兩邊長，∴當(dāng)a是腰，b是底時(shí)，△ABC的周長為3+3+4=10；當(dāng)b是腰，a是底時(shí)，△ABC的周長為4+4+3=11．綜上所述：△ABC的周長為10或11；（3）解：∵a2∴4a∴3a?2∵a，b，c為正整數(shù)，∴c?3=0，即c=3，而a?2=0或±1，即a=2或1或3，當(dāng)a=1時(shí)，必有a?2b=0，則b=0.5，與題意不符，舍去，當(dāng)a=3時(shí)，必有a?2b=0，則b=1.5，與題意不符，舍去，∴a=2，b=1，c=3，∴a+b+c=6．21．（8分）（2324九年級(jí)·重慶·期末）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某社區(qū)圖書室積極推廣全社區(qū)閱讀活動(dòng)，決定下半年逐月加大圖書購置經(jīng)費(fèi)的投入．其中七月計(jì)劃購買甲與乙兩種書籍共100本．已知書籍甲的單價(jià)是68元，書籍乙的單價(jià)是50元，共花費(fèi)5720元．(1)請(qǐng)問七月計(jì)劃購買甲、乙書籍各多少本？(2)經(jīng)過比較，圖書室工作人員最終決定在新星書城購買書籍甲和乙．書籍甲的單價(jià)減少了m元，購買數(shù)量增加了52m本．書籍乙的單價(jià)不變，購買甲、乙書籍的總數(shù)量也不變，總費(fèi)用比原計(jì)劃減少了10m元，請(qǐng)求出【答案】(1)甲40本，乙60本(2)6【分析】本題主要考查了一元一次方程及一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，找出等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)計(jì)劃購買書籍甲x本，書籍乙100?x本，根據(jù)甲乙兩種書籍共花費(fèi)5720元列一元一次方程求解即可；（2）根據(jù)購買甲、乙書籍的總數(shù)量也不變，總費(fèi)用比原計(jì)劃減少了10m元，列一元二次方程求解即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)計(jì)劃購買書籍甲x本，書籍乙100?x本．由題得：68x+50解得：x=40100?x=100?40=60答：計(jì)劃購買書籍甲40本，書籍乙60本；（2）解：由題得：68?m∴m∴m1=0答：m的值為6．22．（8分）（2324九年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，點(diǎn)P從A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q

(1)填空：BQ=______cm，PB=______cm；（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)t為幾秒時(shí)，PQ的長度等于42(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積等于△ABC面積的23？如果存在，求出t【答案】(1)2t，6?t(2)2s或(3)存在，t=2【分析】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，BQ=2tcm，AP=t（2）根據(jù)勾股定理PQ（3）根據(jù)S四邊形【詳解】（1）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，點(diǎn)P從A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)∴BQ=2tcm，AP=t∴PB=AB?AP=6?t故答案為：2t，6?t．（2）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tPQ∴42整理，得5t解得t1當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s或運(yùn)動(dòng)時(shí)間為25s時(shí)，PQ（3）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tS四邊形∴12∴12整理，得t2解得t