用空間向量研究距離、夾角問題 第2課時(shí)-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)

142用空間向量研究距離、夾角問題

第2課時(shí)

課堂檢測(cè)-周雙基

I.平面。的斜線,與它在這個(gè)平面上射影/'的方向向量分別為。=(1,0,1),^=(0,1,1),

則斜線/與平面a所成的角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

2.已知向量〃z,〃分別是直線，和平面a的方向向量和法向量，若cos{m,n)=一

則/與a所成的角為()

A.30°B.60°

C.1200D.150°

3.直線人的方向向量0=(1，-1,1),直線/2的方向向量。2=(12,-1),設(shè)直線與

辦所成的角為"貝立)

人.a亞口.正

A.sin0—B?sin

「a也「心也

C.cos6=-^-D.cos3

4.在三棱錐P-A8C中，ABLBC,AB=BC=；%,點(diǎn)O,。分別是AC,PC的中點(diǎn),

OP_L底面ABC,則宜線0。與平面PBC所成角的正弦值為一.

5.如圖，在四棱錐P—A8CD中，P8_L底面ABC。，CDLPD,底面ABCO為直角梯

形，AD//BC,ABA,BC,AB=AD=PB=3.點(diǎn)E在棱網(wǎng)上，RPE=2EA.求平面ABE與

平面OBE夾角的余弦值.

DA

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

I.（多選題）己知。為直線/的方向向量,n\,〃2分別為平面a，4的法向量3，少不重

合），則下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A.?|//n-^a//pB._1_〃2<=>。_1_尸

C.v//n\^l//aD.o_L/i]0/〃a

2.若平面a的一個(gè)法向量為力=（1,0,1）,平面p的一個(gè)法向量是〃2=（-31,3）,則平

面a與尸所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.已知A(0,l,l),BQ,-1,0),C(3,5,7),0（124）,則直線AB和直線CD所成角的余

弦值為（)

5叵

A.

66B-

5岳

C.D?-嚼

22

4.已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,附_L平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB

與平面PCO的夾角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在正方體A5cO-A]B]GO[中，M,N分別為AO,G"的中點(diǎn)，O為側(cè)面BCG?

的中心，則異面直線A/N與OG所成角的余弦值為（）

—1

--

A.6B.4

二、填空題

6.如圖，在正三棱柱ABC—AiBCi中，已知A8=l,點(diǎn)。在棱881上，且8。=1,則

AD與平面A4CC所成角的正弦值為一.

7.在空間中，已知平面a過點(diǎn)(3,0,0)和(040)及z軸上一點(diǎn)(0,0,〃)伍＞0),如果平面a

與平面xO)，的夾角為45。，則。=____.

8.如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)4、B,線段4C、BO分別在這個(gè)二面角

的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱A8,48=4cm,AC=6cm,BD=8cm,CD=2A/T7cm,則

這個(gè)二面角的度數(shù)為一.

三、解答題

9.(2020?衡陽(yáng)市高三聯(lián)考)如圖1,平面四邊形84DE中，C為BE上一點(diǎn),Z\ABC和

△OCE均為等邊三角形，EC=2CB=2,M,N分別是EC和CB的中點(diǎn)，將四邊形8AOE

沿8E向上翻折至四邊形ATD'E的位置，使二面角。'一8七一0為直二面角，如圖2

所示.

圖1圖2

(1)求證A'4〃平面O'MQ；

⑵求平面4'A8與平面。'DE所成角的正弦值.

10.(2020?全國(guó)HI卷理，19)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)E,尸分別在棱

DD\,8S上，且2DE=EA，

⑴證明：點(diǎn)G在平面內(nèi)；

(2)若AB=2,AD=l,A4i=3,求二面角人一所一4的正弦值.

B組素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.（2021?福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測(cè)）正方體ABCO—ASGR中，動(dòng)點(diǎn)M在線段

4C上，E,尸分別為DDi，A。的中點(diǎn).若異面直線E尸與8W所成的角為仇則。的取值

范圍為（）

2.如圖，己知四棱錐P—A5co的底面A8CO是等腰梯形，AB//CD,且AC_LBO,AC

與B。交于0,尸0_1_底面48。。，尸。=2,AB=2y[2,E,產(chǎn)分別是/IB,AP的中點(diǎn).則平

面尸。E與平面OEA夾角的余弦值為（）

3.正方體ABCO—AiBiCjd中，二面角4一8。]一分的大小為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

4.（多選題）如圖，多面體O48OC中，AB=CD=2,AD=8C=2小，AC=BD=y[W,

旦OA,OB,OC兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐O—A8C的體積是定值

B.球面經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,力四點(diǎn)的球的直徑是回

C.直線03〃平面ACO

D.二面角A-OC—。等于30。

二、填空題

5.已知在長(zhǎng)方體ABCO—A|B￡D]中，AB=\,BC=2,A4]=4,E是側(cè)棱CG的中點(diǎn),

則直線AE與平面AiED所成角的正弦值為一.

6.如圖，四面體ABCO中，E,尸分別為AB,OC上的點(diǎn)，且AE=BE,CF=2DF,

設(shè)為l=a,DB=b,DC=c.

(1)以｛a,b,c｝為基底表示筐，則后=；

(2)若N4DB=NBOC=NAOC=60。，且|而|=4,|而|=3,15bl=3,則|兩=.

7.在正方體4BCO—481Gd中，則與平面4BC。所成角的大小為.

三、解答題

8.如圖，四棱柱ABCO—AiBGDi的所有棱長(zhǎng)都相等，AC^BD=O,4cm囪。1=。|,

四邊形ACG4和四邊形BDDxBx均為矩形.

(1)證明：OQ_L底面A8CO；

(2)若NC8A=60。，求平面CQBi與平面08Q夾角的余弦值.

9.如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且AO=CO

=蜴BC=2?PA=2.

(1)取PC的中點(diǎn)N,求證：ON〃平面％&

(2)求直線AC與PD所成角的余弦值；

(3)在線段尸。上，是否存在一點(diǎn)M,使得平面MAC與平面ACO的夾角為45。？如果存

在，求出與平面M4。所成角的大?。蝗绻淮嬖?，請(qǐng)說明理由.

L4.2用空間向量研究距離、夾角問題

第2課時(shí)

課堂檢測(cè)二同雙基

1.平面。的斜線/與它在這個(gè)平面上射影/'的方向向量分別為。=（1,0,1）,d=（0,l,l）,

則斜線/與平面a所成的角為（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］/與a所成的角即為。與b所成的角（或其補(bǔ)角），因?yàn)閏os<a,b>

所以<%b>=60°./與a所成的角為60。.

2.已知向量〃2,〃分別是直線/和平面a的方向向量和法向量，若cos{m,n）=一菱，

則/與a所成的角為（A）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析1由已知得直線/的方向向量和平面a的法向量所夾銳角為60。，因此/與a所成

的角為30，

3.直線/|的方向向量0=（1，-1,1）,直線的方向向量。2=（12,-1）,設(shè)直線/］與

，2所成的角為"則（D）

A.sin6=—當(dāng)B.sin3

C.cos0=一坐D.cos0=當(dāng)

I副**../、aa1—2—1—2啦

|解析］.cos（?.,例）=麗2=^5^=礪=-3.

.應(yīng)

..COS夕一寺.

4.在三棱錐P—A8C中，AB±BC,AB=5C=，％，點(diǎn)O，。分別是AC,PC的中點(diǎn),

OP_L底面ABC,則直線OD與平面PBC所成角的正弦值為一嚕

［解析］以。為原點(diǎn)，射線。4OB,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)則OP=^a,而=(一乎a,0,乎,，可求得平面P8C的法向量為〃=

所以cos(0。，n)=------=J,

\ODM

設(shè)而與平面尸8c所成的角為仇則sin，=^^^.

5.如圖，在四棱錐FA3CD中，F(xiàn)B_L底面ABC。，CD±PD,底面A3CD為直角梯

形，AD//BC,AB±BC,AB=AD=PB=3.點(diǎn)七在楂以上，且PE=2E4.求平面44七與

平面OBE夾角的余弦值.

[解析I以8為原點(diǎn)，以直線8C,BA,8P分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.則尸(0,0,3),A(0,3,0),0(330).

設(shè)平面EB。的一個(gè)法向量為〃i=(x,y,z),

-?—?—>—>2—2—>

因?yàn)?E=BP+PE=8P+§H=(0,0,3)+Q(0,3,-3)=(0,2,1),80=(3,3,0),

MI-B￡=0,j2y+z=0,

、川?昉=0,l3^+3y=0-

取z=i,所以卜二々于是”尸&_》).

[y=~2-

又因?yàn)槠矫鍭BE的一個(gè)法向量為?2=（1,0,0）,

設(shè)平面ABE與平面DBE的夾角為H,

則COS?=|COS<Mi,〃2>1=乎,故所求夾角的余弦值為手.

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.（多選題）已知。為直線/的方向向量，〃I，〃2分別為平面a,6的法向量（a,￡不重

合），則下列選項(xiàng)中，正確的是（AB）

A.n\//a//PB.

C.v//n^l//aD.V.Ln\^l//a

［解析］對(duì)于A,平面a,0不重合，所以平面a,￡的法向量平行等價(jià)于平面a,少平

行，A正確；對(duì)于B,平面a,夕不重合，所以平面a,4的法向量垂直等價(jià)于平面a,￡垂

直，B正確；對(duì)于C,直線的方向向量平行于平面的法向量等價(jià)于直線垂直于平面，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,直線的方向向量垂直于平面的法向量等價(jià)于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，D錯(cuò)

誤.故選AB.

2.若平面"的一個(gè)法向量為口平面人的一個(gè)法向量是"2=（一？13）,則平

面a與￡所成的角等于（D）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］因?yàn)镸1/I2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以a_L￡,即平面a與4所成的角等于90。.

3.已知4(0,1,1),8(2,—1,0),3(3,5,7),￡）（1,2,4）,則直線AB和直線CD所成角的余

弦值為（A）

A?嚼

66

C?嚼D--嚼

［解析］嬴=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),

_ABCD_5_5A/22

而cos(AB,CD)一|曲曲一森而一66'

故直線AB和CD所成角的余弦值為鬻

4.已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,B4_L平面A8CQ,若％=45,則平面以8

與平面PCD的夾角為(B)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)%=AB=1,

則4(000),0(01,0),P(OA1),

，病=(0,1,0).

取尸。的中點(diǎn)E,

則40,號(hào)，

???恁=(0,；),

易知能是平面附8的一個(gè)法向量，能是平面PCO的一個(gè)法向量，所以cos(AD,AE)

=與，故平面與平面PCO的夾角為45。.

5.在正方體ABCO-AliGG中，M,N分別為AQ,Gd的中點(diǎn)，0為側(cè)面BCGBi

的中心，則異面直線MN與0。所成角的余弦值為(A)

\_

A.B.

6

cD.

-4~4

［解析］如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。A,DC,05所在直線為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則"(1,0,0),M0J2),0(121],Di(0.0,2),

，加=(-1,1,2),而尸(一1,-2,1).則cos〈雨，ODy>=MNODI=1￡...

\MN\\ODi\#6X466

異面直線MN與0￡>i所成角的余弦值為看故選A.

二、填空題

6.如圖，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，已知48=1,點(diǎn)。在棱8省上，且BO=1,則

4。與平面A4CC所成角的正弦值為_乎_.

［解析］解法一：取AC、4G的中點(diǎn)M、Mi,連接MM1、BM.過。作ON〃8M,則

容易證明ONJ_平面A4CC.連接AN,則NZMN就是A。與平面A4CC所成的角.

在RtADAN中，

亞L

./2―蛇_(dá)2_亞

smZDAN-AD-^-4.

解法二：取AC、4G中點(diǎn)0、E,則0B_L4C,OE_L平面ABC,以0為原點(diǎn)OA、08、

0E為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

在正三角形ABC中，BM=2AB=2,

0,0),電,喙,0l,z/o,祭1)，

坐，1)，

又平面A4CC的法向量為e=(0,l,0),

設(shè)直線人力與平面44GC所成角為仇則

sin^lcos(AD,e>=血=乎.

|AD|.|e|

解法三：設(shè)防=4BC=a,BD=c,

由條件知aac=O,bc=Ot

又病=麗一函=c—b,

平面AA\C\C的法向量8M=](〃+?.

設(shè)直線A。與平面A4CC成角為仇則

sinJ=|cos<40,BM)\=

\AD\-\BM\

■:布?俞=(c-仍g?+b)

=^ac-^ab-i^bc—^b\1=—

|AD|2=(C-Z>)2=|C|2+|^|2-2^C=2,

二麗=小，

|的2=；3+》)2=；(同2+步|2+2。/)=3，

??.麗=零Asin0=^-.

7.在空間中，已知平面a過點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,〃)(〃>0),如果平面a

與平面直力的夾角為45。，則以=_號(hào)_.

［解析］平面xOy的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),設(shè)平面a的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

(―3x+4y=0,(aa\

則J\,八即3x=4y=az,取z=l,則x=Qa,y=Ta,q1I.

—3x+az=0,J今，

IA/?

由題意得|cos<n,m)\=—i,■>==0.

又因?yàn)閍>0,所以a=y.

8.如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B,線段AC、BD分別在這個(gè)二面角

的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,A8=4cm,4C=6cm,BD=8cm,CD=2y[Y7cm,則

這個(gè)二面角的度數(shù)為

［解析］設(shè)〈/，BD)=&VC4±AB,ABA.BD,

：.ACAB=BbAB=O,<CA,BD>=180°—仇

A|CD|2=(8+贏+麗尸

=|G4|2+|AB|2+|BD|2+2|CA||sb|cos(180°-^).

A(2VF7)2=62+42+82+2X6X8X(-cos0,

/.cos0=y0=60°.

因此，所求二面角的度數(shù)為60。.

三、解答題

9.(2020?衡陽(yáng)市高三聯(lián)考)如圖1,平面四邊形8AOE中，C為BE上一點(diǎn),△4BC和

△OCE均為等邊三角形，EC=2CB=2,M,N分別是EC和CB的中點(diǎn)，將四邊形84OE

沿BE向上翻折至四邊形BA'D'E的位置，使二面角D'-BE-D為直二面角，如圖2

所示.

⑴求證A'A〃平面￡>'MDx

(2)求平面A'AB與平面O'DE所成角的正弦值.

［解析］(1)在等邊△7)'CE和△OCE中，D'M_LC￡,DMICE,D'MCiDM=M,

所以直線CE_L平面O'MO,即直線5E_L平面O'MQ,同理可證直線8E_L平面4'NA,

故平面O'A/O〃平面4'NA.

又A'AU平面A'NA,從而有A'A〃平面O'MD.

(2)如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MO,ME,MD)所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系M一種,易知M(0,0,0),E(0,l,0),D巾,0,0),D'(0,0,?3(0,—2,0),A咨,

—I，0),A'(0,-I，鳴.

則曲=(o,+乎)，函=(坐，0),

設(shè)平面A'48的一個(gè)法向量為/n=(x,j,z),

mBA1=0Jy+小z=0

令z=l,得x=l,y=-小,所以平面A'AB的一

由，得[5x+y=0

jn-BA—0

個(gè)法向量為相=（1,一小，1）.

a-ED=0

同理，設(shè)平面O'OE的一個(gè)法向量為〃=（即，ji,zi）,由，

n-ED1=0

產(chǎn)f=0,

〔―yi+小zi=0

令zi=l,得即=1,》=小，

所以平面O'OE的一個(gè)法向量為〃=（1,小，1）.

從而|cos（///,而尸瑞=卜三=/

故千面A'與平面。'所成角的正弦值為

10.（2020?全國(guó)III卷理，19）如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)E,F分別在棱

DDi，88］上，且2DE=EOi，BF=2FB\.

⑴證明：點(diǎn)G在平面4M內(nèi)；

（2）若A8=2,AD=\,A4i=3,求二面角人一所一4的正弦值.

［解析］設(shè)A3=a,AD=b,AA）=c,如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方

向，建立空間直角坐標(biāo)系Cixyz.

⑴連接CiF,貝iJG(O,O,O),AS，b,c),E(ch0,韻，乖，b,；c),啟=(0,b,例,

GF=(^0,b,|cj,得設(shè)=3>,

因此EA〃GF,即4,E,F,G四點(diǎn)共面，

所以點(diǎn)G在平面AE戶內(nèi).

(2)由已知得4(2,1,3),￡(2,0,2),嚴(yán)(0,1,1),4(2,1,0),AE=(0,-I,-1),赤=(一2,0,

-2),加=(0,-1,2),4>=(-2,04).

設(shè)m=(x,y,z)為平面AE尸治法向量，則

n\-AE=0t—y—z=0,

_即

—2x—2z=0,

nvAF=0f

可取?1=(—1,—1,1).

設(shè)小為平面AE尸的法向量，則

W2-/hE=0,同理可取〃2=q,2,i

,W2A|F=0,

a.、W1/12亞

因?yàn)閏os〈叫，見〉=而兩=一年，

所以二面角A-EF-Ai的正弦值為隼.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.(2021?福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測(cè))正方體ABC。一A山CMi中，動(dòng)點(diǎn)M在線段

4c上，E,尸分別為?；?，AQ的中點(diǎn).若異面直線E尸與8W所成的角為仇則〃的取值

范圍為(A)

［解析］以。點(diǎn)為原點(diǎn)，04,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.設(shè)04=2,易得濟(jì)=(1,0,-1),設(shè)用=/l/i=(22,-22,22)(O《4W1),BM=

(2z—2,—2x,2z),則cosO=|cos〈BM,EF)|,

…cos”一小q⑵-2)2+8#一近73乃一2入+1

1

gWl),

3(，—胡+，

當(dāng)2=4時(shí)，cos。取到最大值乎，當(dāng)2=1時(shí)，cos0取至U最小值

TTTT

所以。的取值范圍為幣］,故選A.

2.如圖，已知四棱錐P-4BCO的底面4BC。是等腰梯形，AB//CD,旦4CJL8O,AC

與BD交于O,PO_L底面ABC。，PO=2,4B=2，1E,尸分別是AB,A尸的中點(diǎn).則平

面尸OE與平面OE4夾角的余弦值為（B）

A.-當(dāng)

D.孝

c?邛

［解析I由題意，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,0C,。尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題知,OA=OB=2,

則4(0,—2,0),8(2,0,0),-1,1).

：.OE=(\y-1,0),5>=(0,-1,1),設(shè)平面OM的法向量為m=(x,y,z),

m-OE=0,fx—>*=0,

則＜即J,八令x=l,可得m=(1』」),

|-y+z=0,

,mOF=0,

易知平面O4E的一個(gè)法向量為w=（0,0J）,

mnL_g

則cos〈7〃，n),設(shè)平面尸OE與平面OEA夾角為仇則cos6=|cos

(m,〃>1=乎.

3.正方體中，二面角從一801一修的大小為（C）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，則4（小

a,0),B(a,0,0),Di(0,a,a),歷(。,0,a),

.?.以=(0,a,0),訪i=(一a,a,a),麗=(0,0,a),

設(shè)平面ABDi的法向量為〃=(K,ytz),

則n-BA=(xtytz)-(0,a,0)=t?y=0,

iiBD]=(xij,z)-(—a,ci,a)=—av+ay+az=0,

,.ZWO,，y=0,x=z,

令z=l,貝iJ〃=(l,O』)，

同理平面BiBDi的法向量，〃=(—1,—1,0),

,、nmI

cos〈〃,w=而加=一5,

而二面角A-5O1—Bi為鈍角，故為120。.

4.（多選題）如圖，多面體0月8。。中，AB=CD=2,AO=5C=2小，AC=BD=①,

且04,OB,0C兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（AB）

A.三棱錐O—ABC的體積是定值

B.球面經(jīng)過點(diǎn)4,B,C,。四點(diǎn)的球的直徑是回

C.直線06〃平面ACO

D.二面角A-OC—。等于30。

［解析］由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖，設(shè)OA=x,OB=yt0C=I,

則?+.廿=4,jt2+z2=10,>^+22=12,

解得x=l,y=，5,z=3,

對(duì)于A,三棱錐的體積為:OCx/oAX?！饕缓Γ蔄正確；

對(duì)于B,球面經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,D四點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即為

?\/l2+32+(V3)2=VT3,故B正確；

對(duì)于C,由于。8〃4E,AE和平面AC。相交，則。8和平面4co相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)锳OJ_OC,DCLOC,所以異面直線CD與。4所戌的角大小為二面角4

AC

一。。一。的二面角大小，連接0E,則NAOE即為所求，tanNAOE=^=小，所以NAOE

=60°,故D錯(cuò)誤.

二、填空題

5.已知在長(zhǎng)方體ABCO-AiBiGd中，AB=\,BC=2,A4i=4,E是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，

則直線AE與平面MED所成角的正弦值為

［解析］在長(zhǎng)方體ABCO—ABiG。中，AB=1,BC=2,44=4,E是側(cè)棱CG的中

點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)A,DC,所在直線為工，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，4(2,

0,0),￡(0,1,2),4(2,0,4),50,0,0),EA=(2,-1,-2),房尸(2,0,4),DE=(0J,2),設(shè)平

面4石。的法向量為〃=(x,ytz),則〃?QAi=2r+4z=0,nDE=y+2z=0,取z=l,得〃

=(—2,—2,1),

設(shè)直線AE與平面4EO所成角為仇則

44

sin0=cos(EA,n)一小義小F

\EA\\n\

4

，直線AE與平面4EO所成角的正弦值為g.

6.如圖，四面體4BCO中，E,尸分別為AB,。。上的點(diǎn)，且AE=BE,CF=2DF,

設(shè)應(yīng)=mDB=b,DC=c.

D

(1)以{〃，b,c}為基底表示能，則/=「%+%+,:

(2)若N4D8=N8DC=NADC=60。，且|而|=4,|加|=3,|的=3,則|的=_喳

［解析］(1)如圖所示，連接

?61Q，■I.Q

因?yàn)槭珽=FD+￡>E,FD=~DF=~^DCfDE=^(DA^DB),

所以麗=—gc+&+；》.

(2)|FE|2=(jfl+^^—1c^2=^a2+1/>2+|c2+^a-Z>—1a-c—|Z>-C=1X42+1X32+^X32+1

X4X3X1-|X4X3X1-1X3X3X1=^.

所以|兩=挈.

7.在正方體ABCQ-ABiGd中，則48與平面小場(chǎng)。所成角的大小為比.

［解析I解法一：連接BG,設(shè)與SC交于。點(diǎn)，連接40.

VBCi±B|C,AiBJBG,AtBtCiBtC=Bi,，BG_L平面ABC,

：.A}B在平面4SCO內(nèi)的射影為A\O.ANOAB就是AiB與平面A}B\CD所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.

在RtZ\408中，AiB=巾,80=彳，

啦

BO21

sinZ.OA\B——2**,*N046=30。.

即4B與平面AiBCO所成的角為30。.

解法二：以。為原點(diǎn)，DA.DC,。。分別x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則4(1,0,1)、C(0,l,0).

???￡>Ai=(l,O/)、DC=(0,1,0).

設(shè)平面43co的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

H-DA\=0x+z=0

則《八,令z=—1得x=l.

y=0

nDC=0

A/i=(l,0,-1),又5(1,1,0),???他=(0,1,-1),

aAiBn_1_1

cos〈〃，A\B)

南川小m’

???〈〃，病)=60°,與平面4SCO所成的角為30。.

三、解答題

8.如圖，四棱柱A5co—A8GA的所有棱長(zhǎng)都相等，4CCBO=O,4GC8］Oi=Oi，

四邊形4CCA和四邊形BDDxBx均為矩形.

(1)證明：。。_1_底面A8CD；

(2)若NCB4=60。，求平面CQBi與平面08。夾角的余弦值.

［解析］(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛CCA和四邊形均為矩形，所以CG_LAC,

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