專題1.3 有理數（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（解析版）

專題1.3有理數（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數的概念整數和分數統(tǒng)稱有理數.知識拓展：有限小數和無限循環(huán)小數都可以化為分數；反過來，分數都可以化為有限小數和無限循環(huán)小數.【例1】（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習）下列各數：中，有理數有個．【答案】5【分析】本題考查負有理數的識別，熟練掌握整數和分數統(tǒng)稱有理數是解題的關鍵．根據有理數的定義進行判斷即可．解：這5個數是有理數．故答案為：5【點撥】此處特別注意是無理數，0.1010010001是有規(guī)律排列的有理數；【知識點二】有理數的分類知識拓展：（1）小數包括無限不循環(huán)小數，故小數不能等同于分數，但除了.無限不循環(huán)小數，其他小數都屬于分數；(2）圓周率是無限不循環(huán)小數，它不能化為分數，是將來要學的無理數?！纠?】（22-23七年級上·山東濟南·期中）把下列各數填在相應的大括號里：，，，，，，，，，．整數集合：{

…}正分數集合：{

…}負分數集合：{

…}【答案】，，，；，，；，，．【分析】本題考查了有理數的概念及分類，根據定義直接求解即可，解題的關鍵是熟悉整數、正分數、負分數的定義，熟練掌握此題的特點并能熟練運用．解：整數集合：{，，，，…}；正分數集合：{，，，…}；負分數集合：{，，，…}；故答案為：，，，；，，；，，．【點撥】有理數分類要遵循“不重不小漏”的原則【知識點三】0的意義既不是正數也不是負數，正負數以0為界；（2）為了表示沒有而產生一個數0；（3）0還可以表示為一個事件的起點；（4）與0對應的是非零，非零表示正數或負數，總之，一個圈，表示的意義有無窮無盡的地方?！纠?】下列說法錯誤的是（

）A．0是最小的自然數 B．0既不是正數，也不是負數C．是零上溫度和零下溫度的分界線 D．海拔高度是0米表示沒有高度【答案】D【分析】根據有理數0的特殊性質解答．解：A、0是最小的自然數，正確，故本選項不符合題意，B、0既不是正數，也不是負數，正確，故不符合題意；C、0℃是零上溫度和零下溫度的分界線，正確，故本選項不符合題意，D、海拔高度為0米表示高度和參考高度相等，故本選項符合題意，故選：D．【知識點四】帶“非”字的有理數帶“非”字的有理數“非負數”“非正數”“非負整數”“非正整數”“非零”“非小數”等等，如“非負數”表示不是負數，就是正數或0，在理解“非負整數”，表示的含義有兩層意義：首先它是整數，其次它才是正負整數，所以“非負整數”表示的是不是負整數，就是0和正整數，這是學生易錯的地方。【例4】（23-24七年級上·湖北恩施·階段練習）把下列各數分別填在相應的橫線上：1，，，325，，0，，0.618，，π，0.1010010001…．負數有：；非正數有：；負整數有：；非負數有：；負分數有：；非負整數有：．【分析】根據負數是比0小的數，非負數包括正數和0，非負整數包括正整數和0，以及負整數和負分數的定義，對各個數進行判斷，進行解答即可．解：負數有：，，，；非正數有：，，，0，；負整數有：，；非負數有：1，，325，0，π，3.1010010001…；負分數有：，；非負整數有：1，325，0．【點撥】特別注意帶“非”的理解，如“非負整數”表示的前提是整數，在整數中不是負整數就是正整數和0；第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】有理數的概念理解【例1】簡答：（1）-1和0之間還有負數嗎？如有，請列舉．（2）-3和-1之間有負整數嗎？-2和2之間有哪些整數？（3）有比-1大的負整數嗎？有比1小的正整數嗎？（4）寫出三個大于-105小于-100的有理數．（5）如果把一個物體向右移動5m記作移動-5m，那么這個物體又移動+5m是什么意思？這時物體離它兩次移動前的位置多遠？【答案】（1）有，；（2）-3與-1之間有負整數，-2；-2與2之間有整數為-1,0,1；（3）沒有，沒有；（4）-104，-103，-102；（5）表示把一個物體向左移動5m；0m．【分析】（1）根據-1和0之間有無數個負數，即可得答案；（2）根據整數的定義直接可得答案；（3）根據-1是最大的負整數，1是最小的正整數直接可得答案；（4）在-105和-100的有理數有無數個，所以可直接寫出答案；（5）根據有理數相反意義的概念可直接得出答案．答：（1）-1和0之間有負數，如，，等等；（2）-3和-1之間有負整數，如-2；-2和2之間有3個整數，分別為：-1,0,1；（3）沒有比-1大的負整數，也沒有比1小的正整數，因為-1就是最大的負整數，1就是最小的正整數；（4）大于-105小于-100的有理數有無數個，所以可任意寫出三個，如：-104，-103，-102；（5）因為把一個物體向右移動5m記作移動-5m，所以根據有理數相反意義的關系可得移動+5m表示把一個物體向左移動5m，這時物體離它兩次移動前的位置為0m．【舉一反三】【變式1】（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）在數，，，，，，（每兩個中依次多一個）中，有理數有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據有理數的定義，即可求解．有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統(tǒng)稱．解：在數，，，，，，（每兩個中依次多一個）中，有理數有，，，，，，共6個故選C．【點撥】本題考查了有理數的定義，掌握有理數的定義是解題的關鍵．其中“（每兩個中依次多一個）”是有規(guī)律排列有無限不循環(huán)小數，它和一樣都是無理數【變式2】（23-24七年級上·山東濟南·階段練習）在“”中有理數有個．【答案】3【分析】本題主要考查有理數的有關概念，解答本題的關鍵在于熟練掌握有理數的概念．解：分數和整數統(tǒng)稱為有理數，∴有理數有：．故答案為：3．【題型2】0的意義的認識【例2】在下表適當的空格里打“√”號.有理數整數分數正整數負分數非負整數2－3.140－1【分析】有理數是整數和分數的統(tǒng)稱,整數就是像-3,-2,-1,0,1,2,3，等這樣的數，整數包括：負整數，0，正整數；分數表示一個數是另一個數的幾分之幾，或一個事件與所有事件的比例.把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數，分數分為：正分數和負分數；非負整數是指0和正整數，根據有理數的定義和分類進行解答.解：如下表所示：有理數整數分數正整數負分數非負整數2√√√√－3.14√√√0√√√－1√√√【點撥】本題主要考查有理數的定義和有理數的分類，解決本題的關鍵是要熟練掌握有理數的定義和有理數的分類.【舉一反三】【變式1】關于“0”的說法，正確的是（

）A．是整數，也是正數 B．是整數，但不是正數C．不是整數，是正數 D．是整數，但不是有理數【答案】B【分析】根據0既不是正數也不是負數，0是有理數也是整數，據此對各選項逐一判斷即可．解：A．0是整數，不是正數，則A選項錯誤，故A選項不符合題意；B．0是整數，不是正數，則B選項正確，故B選項符合題意；C．0是整數，不是正數，則C選項錯誤，故C選項不符合題意；D．0是整數，也是有理數，則D選項錯誤，故D選項不符合題意，故選B．【點撥】本題主要考查了有理數的概念，0的特殊規(guī)定：0既不是正數也不是負數，0是有理數也是整數．熟練記憶是解決本題的關鍵．【變式2】0既不是，也不是．0是和的分界點．【答案】正數/負數負數/正數正數/負數負數/正數【分析】根據0的意義求解即可．解：0既不是正數，也不是負數，0是正數和負數的分界點，故答案為：正數；負數；正數；負數．【點撥】本題主要考查了0的意義，熟知0的意義是解題的關鍵．【題型3】有理數分類的判斷【例3】“不是正數的數一定是負數，不是負數的數一定是正數”的說法對嗎？為什么？【答案】不對，因為0既不是正數也不是負數．【分析】舉反例進行說明即可．解答：不對．因為0既不是正數也不是負數．【點撥】本題主要考查了0的意義，掌握“0既不是正數也不是負數”是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）在，，0，，中分數有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查有理數，根據分數的定義進行判斷即可．解：在，，0，，中，分數有，，，共3個，故選：C．【變式2】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）在中，正整數有個，負數有個，則的值為.【答案】5【分析】根據正整數，負分數的定義得出它們的個數，再代入計算即可．解：在中，正整數有2020，，共2個；負數有，共3個；∴m=2，n=3，m+n=2+3=5．故答案為：5．【點撥】本題考查了有理數的分類，代數式求值，掌握有理數的分類是解題的關鍵．【題型4】帶“非”字有理數識別【例4】我們用字母表示一個有理數，試判斷下列說法是否正確，若不正確，請舉出反例．（1）一定表示正數，一定表示負數；（2）如果是零，那么就是負數；（3）若是正數，則一定為非正數．【答案】(1)錯誤．若，則；(2)錯誤．若，則；(3)正確；【分析】（1）根據有理數的分類分析小題即可判斷；（2）根據有理數的分類分析小題即可判斷；（3）根據有理數的分類分析小題即可判斷；（1）解：錯誤．舉例：若，則；（2）解：錯誤．舉例：若，則；（3）解：正確．【點撥】本題考查有理數的分類，解題時需要掌握整數和分數，正數和負數以及0的定義和特點，理解0既不是正數也不是負數．【舉一反三】【變式1】（23-24七年級上·河南周口·階段練習）下列選項中，大括號中所填的數正確的是（

）A．正數集合： B．非負數集合：C．分數集合： D．整數集合：【答案】A【分析】本題主要考查了有理數的分類，理解有理數的相關定義是解題的關鍵．先根據正數的定義判斷A的正誤，再根據非負數是正數或0判斷B的正誤；再根據有理數也可分成整數和分數判斷C，D的正誤即可解答．解：A．由是正數，故正確，符合題意；B．由為負數，故錯誤，不符合題意；C．1為整數，故錯誤，不符合題意；D．因為是分數，故錯誤，不符合題意．故選：A．【變式2】（22-23七年級上·湖北黃石·期中）在下列數，，，，，，，，中，屬于非負有理數的有．【答案】，，，【分析】根據非負有理數即大于等于的有理數，逐一判斷即可．解：數，，，，，，，，中，非負有理數即大于等于的有理數有：，，，，故答案為：，，，．【點撥】本題考查了有理數的分類，理解非負有理數即大于等于的有理數是解題的關鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·江西·中考真題）下列各數中，正整數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據有理數的分類即可求解．解：是正整數，是小數，不是整數，不是正數，不是正數，故選：A．【點撥】本題考查了有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵．【例2】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數中，屬于負數的是（

）A．2023 B． C． D．0【答案】B【分析】根據小于0的數即為負數解答可得．解：是負數，和是正數，0既不是正數也不是負數故選：B．【點撥】本題主要考查正數和負數，熟練掌握負數的概念是解題的關鍵．2、拓展延伸【例1】（2024七年級·全國·競賽）若為整數，則整數可取的值有（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要考查了整數的定義，理解整數的定義是解題的關鍵．分別用列舉法確定為整數的的值，然后取公共部分即可解答．解：∵為整數時，∴可?。弧邽檎麛禃r，∴可取，∴當為整數時，可取值為共兩個．故選C．【例2】把下列各數分別填在相應的橫線上：1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…．正數有：；分數有：；負數有：；正整數有：；非正數有：；負整數有：；非負數有：；負分數有：；非負整數有：．【答案】1，，325，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，，-23.13，0.618；-0.20，-789，-23.13，-2014；1，325；-0.20，-789，0，-23.13，-2014；-789，-2014；1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，-23.13；1，325，0.解答：按照本題中給出的分類，結合各類型數的定義依次分析各個數的特征，得(1)1是正數；1是正整數；1是非負數；1是非負整數.(2)-0.20是分數；-0.20是負數；-0.20是非正數；-0.20是負分數.(3)是正數；是分數；是非負數.(4)325是正數；325是正整數；325是非負數；325是非負整數.(5)-789是負數；-789是非正數；-789是負整數.(6)0是非正數；0是非負數；0是非負整數.(7)-23.13是分數；-23.13是負數；-23.13是非正數；-23.13是負分數.(8)0.618是正數；0.618是分數；0.618是非負數.(9)-2014是負數；-2014是非正數；-2014是負整數.(10)π是正數；π是非負數.(11)0.1010010001…是正數；0.1010010001…是非負數.故本題應進行如下填寫：(正數)1，，325，0.618，π，0.1010010001…；(分數)-0.20，，-23.13，0.618；(負數)-0.2