專題2.1 有理數(shù)的加法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（解析版）

專題2.1有理數(shù)的加法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的加法1.定義：把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫作有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)二】有理數(shù)加法運(yùn)算律有理數(shù)加法運(yùn)算律加法交換律文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號(hào)語(yǔ)言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語(yǔ)言三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變符號(hào)語(yǔ)言(a+b)+c＝a+(b+c)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號(hào)．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用有理數(shù)的加法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算【例1】（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題(1)；(2)；【答案】(1)130(2)【分析】此題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）（2）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（1）解：原式；（2）解：原式；【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)加法法則：1．同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；2．絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；3．一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)．掌握理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵．解：A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B．，原計(jì)算正確，符合題意；C．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式2】（23-24六年級(jí)下·上海·期中）若，且，則．【答案】【分析】此題考查了絕對(duì)值以及有理數(shù)加法法則，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求得a的值，代入計(jì)算即可．解：，，，，故答案為：．【題型2】有理加法運(yùn)算和簡(jiǎn)化符號(hào)問(wèn)題【例2】（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)．【答案】(1)-10(2)-10【分析】（1）先去括號(hào)，再添括號(hào)，將正數(shù)和負(fù)數(shù)分開(kāi)計(jì)算，再作減法即可；（2）將小數(shù)部分相同的或能湊整的放在一起計(jì)算即可．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．計(jì)算含小數(shù)的式子時(shí)，可先觀察，可將小數(shù)部分相同或能湊整的放在一起計(jì)算，這樣能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，避免出錯(cuò)．括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“?”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．添括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是“＋”，添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；若括號(hào)前是“?”，添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．【變式1】（23-24七年級(jí)上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）把寫(xiě)成省略括號(hào)的和的形式是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)意義及有理數(shù)的加法法則處理．解：，故選：A【點(diǎn)撥】本題考查相反數(shù)的意義，有理數(shù)的加法；理解有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）a、b、c三個(gè)數(shù)的位置如圖所示：則0，0(填或)

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得到，則，再根據(jù)有理數(shù)加法計(jì)算法則求解即可．解：由題意得，，∴，∴，故答案為：①，②．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法計(jì)算，正確根據(jù)題意得到以及a、b、c的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【題型3】利用有理數(shù)加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算【例3】（23-24七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）用適當(dāng)方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)（1）（2）根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律計(jì)算即可；（1）解：（2）解：【點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用交換律和結(jié)合律可簡(jiǎn)化計(jì)算．【變式1】（23-24七年級(jí)上·山西呂梁·期中）下列變形中正確使用加法交換律的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，根據(jù)加法運(yùn)算律逐一判斷即可．解：，利用的加括號(hào)法則，故選項(xiàng)A不符合題意；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；，利用的是加法的交換律，故選項(xiàng)C符合題意；，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）加法交換律：．例：；（2）加法結(jié)合律：．例：[+]．【答案】【分析】由有理數(shù)的加法交換律即可以得解；解：（1）；．故答案為：．（2）；．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的加法的交換律和結(jié)合律等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握運(yùn)算律并準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵．【題型4】有理數(shù)加法運(yùn)算中的實(shí)際運(yùn)用【例4】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）我國(guó)某次軍事演習(xí)中，一艘核潛艇的初始位置在海平面下，規(guī)定核潛艇上升記為“＋”，下降記為“－”，下面是這艘核潛艇在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況：．（單位：）(1)最后這艘核潛艇停留的位置在海平面下多少米？(2)如果這艘核潛艇每上升或下降，核動(dòng)力裝置所提供的能量相當(dāng)于汽油燃燒所產(chǎn)生的能量，那么在這艘核潛艇運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)，核潛艇動(dòng)力裝置提供的能量相當(dāng)于多少升汽油燃燒所產(chǎn)生的能量？【答案】(1)615(2)5325【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義和有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義和有理數(shù)加法法則，是解題的關(guān)鍵．（1）將所有數(shù)據(jù)相加，根據(jù)最終結(jié)果確定核潛艇處在什么位置；（2）將所有數(shù)據(jù)的絕對(duì)值相加，再即可得解．1）解：；答：核潛艇處在海平面下米位置；（2）解：(升)；答：在這一時(shí)段內(nèi)核動(dòng)力裝置所提供的能量相當(dāng)于升汽油燃燒所產(chǎn)生的能量．【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）某支付平臺(tái)主要提供支付及理財(cái)服務(wù)，通過(guò)該平臺(tái)購(gòu)物、生活繳費(fèi)、金融理財(cái)?shù)瓤梢垣@得相應(yīng)的積分，積分可以兌換禮品或獲得優(yōu)惠權(quán)益．王先生三天內(nèi)積內(nèi)的變動(dòng)情況為：，，，，，，，，，，．則這三天后王先生的積分增加了（）A．11分 B．14分 C．20分 D．83分【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，將所有數(shù)據(jù)相加，即可得出結(jié)果．解：；故選A．【變式2】（22-23七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）5個(gè)城市的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間(單位：時(shí))在數(shù)軸上表示如圖所示，如果在紐約當(dāng)?shù)貢r(shí)間10日有一場(chǎng)籃球比賽，則北京時(shí)間是．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的加減運(yùn)算，根據(jù)北京和紐約的時(shí)差加上紐約時(shí)間，即可得出結(jié)果．解：，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖，將0，，，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫(xiě)即可得出結(jié)果．解：由題意，填寫(xiě)如下：，滿足題意；故答案為：0．【例2】（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算過(guò)程正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握“將兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相減,結(jié)果的符號(hào)與絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)相同”成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)將兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相減,結(jié)果的符號(hào)與絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)相同即可解答．解：．故選D．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的“探究”．【提出問(wèn)題】三個(gè)有理數(shù)、、滿足，求的值．【解決問(wèn)題】解：由題意得：，，三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)，，都是正數(shù)，即，，時(shí)，則；②當(dāng)，，有個(gè)一為正數(shù)，另外兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，，，則，所以的值為或．【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：(1)已知三個(gè)有理數(shù)，，滿足，求；(2)已知，，且，求的值．【答案】(1)或；(2)的值為或．【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義及有理數(shù)加減乘除運(yùn)算，根據(jù)題意應(yīng)用絕對(duì)值意義求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）仿照題目給出的思路和方法求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義和，確定a、b的值，然后再分類討論求出再計(jì)算的值即可．解：（1）解：由題意得：，，三個(gè)有理數(shù)都為負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)．當(dāng)，，都是負(fù)數(shù)，即，，時(shí)，則：；當(dāng)，，有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，設(shè)，，，則：．綜上，的值為或．（2）解：，，，，，，或，，或．答：的值為或．【例2】（22-23七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）食堂要購(gòu)進(jìn)筐青蘿卜，以每筐千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或者不足的分別用正、負(fù)表示，記錄如表：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差（千克）02筐數(shù)142355(1)筐蘿卜中，最輕的一筐比最重的要輕多少？(2)這筐青蘿卜的實(shí)際重量與標(biāo)準(zhǔn)重量相比，是多了還是少了？差值是多少？(3)這批青蘿卜每千克售價(jià)為元，買(mǎi)進(jìn)這筐青蘿卜的實(shí)際總價(jià)錢(qián)需要多少元？【答案】(1)最輕的一筐比最重的要輕千克；(2)這筐青蘿卜的實(shí)際重量與標(biāo)準(zhǔn)重量相比多了，多了千克；(3)買(mǎi)進(jìn)這筐青蘿卜的實(shí)際總價(jià)錢(qián)為元；【分析】本題考查正負(fù)數(shù)及正負(fù)意義的應(yīng)用：（1）根據(jù)表格中與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量差的最大值