專題2.1 有理數(shù)的加法（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（解析版）

專題2.1有理數(shù)的加法（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)的加法1.定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．【知識點二】有理數(shù)加法運算律有理數(shù)加法運算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結合律文字語言三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)重點強調(diào)：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號．第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用有理數(shù)的加法運算法則進行運算【例1】（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）計算下列各題(1)；(2)；【答案】(1)130(2)【分析】此題考查有理數(shù)的加法運算，熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則是解題的關鍵．（1）（2）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則計算即可；（1）解：原式；（2）解：原式；【變式1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列各式計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)加法法則：1．同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2．絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；3．一個數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)．掌握理數(shù)加法法則是解題的關鍵．解：A．，原計算錯誤，不符合題意；B．，原計算正確，符合題意；C．，原計算錯誤，不符合題意；D．，原計算錯誤，不符合題意；故選：B．【變式2】（23-24六年級下·上海·期中）若，且，則．【答案】【分析】此題考查了絕對值以及有理數(shù)加法法則，利用絕對值的代數(shù)意義求得a的值，代入計算即可．解：，，，，故答案為：．【題型2】有理加法運算和簡化符號問題【例2】（2022七年級上·全國·專題練習）計算(1)；(2)．【答案】(1)-10(2)-10【分析】（1）先去括號，再添括號，將正數(shù)和負數(shù)分開計算，再作減法即可；（2）將小數(shù)部分相同的或能湊整的放在一起計算即可．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算．計算含小數(shù)的式子時，可先觀察，可將小數(shù)部分相同或能湊整的放在一起計算，這樣能簡化計算過程，避免出錯．括號前是“＋”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是“?”，去括號后，括號里的各項都改變符號．添括號時，若括號前是“＋”，添括號后，括號里的各項都不改變符號；若括號前是“?”，添括號后，括號里的各項都改變符號．【變式1】（23-24七年級上·福建廈門·階段練習）把寫成省略括號的和的形式是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)意義及有理數(shù)的加法法則處理．解：，故選：A【點撥】本題考查相反數(shù)的意義，有理數(shù)的加法；理解有理數(shù)的加法法則是解題的關鍵．【變式2】（23-24七年級上·四川成都·階段練習）a、b、c三個數(shù)的位置如圖所示：則0，0(填或)

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置得到，則，再根據(jù)有理數(shù)加法計算法則求解即可．解：由題意得，，∴，∴，故答案為：①，②．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法計算，正確根據(jù)題意得到以及a、b、c的符號是解題的關鍵．【題型3】利用有理數(shù)加法運算律進行簡便運算【例3】（23-24七年級上·河北邢臺·階段練習）用適當方法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)（1）（2）根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結合律計算即可；（1）解：（2）解：【點撥】本題考查有理數(shù)的加法運算，掌握運算法則是解題的關鍵，運用交換律和結合律可簡化計算．【變式1】（23-24七年級上·山西呂梁·期中）下列變形中正確使用加法交換律的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的加法運算，根據(jù)加法運算律逐一判斷即可．解：，利用的加括號法則，故選項A不符合題意；，故選項B錯誤，不符合題意；，利用的是加法的交換律，故選項C符合題意；，故選項D錯誤，不符合題意．故選：C．【變式2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）加法交換律：．例：；（2）加法結合律：．例：[+]．【答案】【分析】由有理數(shù)的加法交換律即可以得解；解：（1）；．故答案為：．（2）；．故答案為：．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)的加法的交換律和結合律等知識點，解題時要熟練掌握運算律并準確計算是關鍵．【題型4】有理數(shù)加法運算中的實際運用【例4】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）我國某次軍事演習中，一艘核潛艇的初始位置在海平面下，規(guī)定核潛艇上升記為“＋”，下降記為“－”，下面是這艘核潛艇在某段時間內(nèi)的運動情況：．（單位：）(1)最后這艘核潛艇停留的位置在海平面下多少米？(2)如果這艘核潛艇每上升或下降，核動力裝置所提供的能量相當于汽油燃燒所產(chǎn)生的能量，那么在這艘核潛艇運動的這段時間內(nèi)，核潛艇動力裝置提供的能量相當于多少升汽油燃燒所產(chǎn)生的能量？【答案】(1)615(2)5325【分析】本題考查正負數(shù)的意義和有理數(shù)加法的實際應用．熟練掌握正負數(shù)的意義和有理數(shù)加法法則，是解題的關鍵．（1）將所有數(shù)據(jù)相加，根據(jù)最終結果確定核潛艇處在什么位置；（2）將所有數(shù)據(jù)的絕對值相加，再即可得解．1）解：；答：核潛艇處在海平面下米位置；（2）解：(升)；答：在這一時段內(nèi)核動力裝置所提供的能量相當于升汽油燃燒所產(chǎn)生的能量．【變式1】（23-24七年級上·河南周口·階段練習）某支付平臺主要提供支付及理財服務，通過該平臺購物、生活繳費、金融理財?shù)瓤梢垣@得相應的積分，積分可以兌換禮品或獲得優(yōu)惠權益．王先生三天內(nèi)積內(nèi)的變動情況為：，，，，，，，，，，．則這三天后王先生的積分增加了（）A．11分 B．14分 C．20分 D．83分【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)加法的實際應用，將所有數(shù)據(jù)相加，即可得出結果．解：；故選A．【變式2】（22-23七年級上·山東青島·階段練習）5個城市的國際標準時間(單位：時)在數(shù)軸上表示如圖所示，如果在紐約當?shù)貢r間10日有一場籃球比賽，則北京時間是．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的加減運算，根據(jù)北京和紐約的時差加上紐約時間，即可得出結果．解：，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進行填寫即可得出結果．解：由題意，填寫如下：，滿足題意；故答案為：0．【例2】（2024·吉林長春·中考真題）根據(jù)有理數(shù)加法法則，計算過程正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握“將兩個數(shù)的絕對值相減,結果的符號與絕對值較大的數(shù)的符號相同”成為解題的關鍵．根據(jù)將兩個數(shù)的絕對值相減,結果的符號與絕對值較大的數(shù)的符號相同即可解答．解：．故選D．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級上·山東聊城·階段練習）在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的“探究”．【提出問題】三個有理數(shù)、、滿足，求的值．【解決問題】解：由題意得：，，三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①當，，都是正數(shù)，即，，時，則；②當，，有個一為正數(shù)，另外兩個為負數(shù)時，設，，，則，所以的值為或．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)已知三個有理數(shù)，，滿足，求；(2)已知，，且，求的值．【答案】(1)或；(2)的值為或．【分析】本題主要考查了絕對值的意義及有理數(shù)加減乘除運算，根據(jù)題意應用絕對值意義求解是解決本題的關鍵．（1）仿照題目給出的思路和方法求解即可；（2）根據(jù)絕對值的意義和，確定a、b的值，然后再分類討論求出再計算的值即可．解：（1）解：由題意得：，，三個有理數(shù)都為負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)．當，，都是負數(shù)，即，，時，則：；當，，有一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，設，，，則：．綜上，的值為或．（2）解：，，，，，，或，，或．答：的值為或．【例2】（22-23七年級上·山東濟南·期中）食堂要購進筐青蘿卜，以每筐千克為標準，超過或者不足的分別用正、負表示，記錄如表：與標準質(zhì)量的差（千克）02筐數(shù)142355(1)筐蘿卜中，最輕的一筐比最重的要輕多少？(2)這筐青蘿卜的實際重量與標準重量相比，是多了還是少了？差值是多少？(3)這批青蘿卜每千克售價為元，買進這筐青蘿卜的實際總價錢需要多少元？【答案】(1)最輕的一筐比最重的要輕千克；(2)這筐青蘿卜的實際重量與標準重量相比多了，多了千克；(3)買進這筐青蘿卜的實際總價錢為元；【分析】本題考查正負數(shù)及正負意義的應用：（1）根據(jù)表格中與標準質(zhì)量差的最大值