全國(guó)中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的綜合中考模擬和真題含答案解析

全國(guó)中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的綜合中考模擬和真題匯總含答案解析

一、銳角三角函數(shù)

1.圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時(shí)，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩

支腳OC=OD=10分米，展開角ZCOD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG

=FE=6分米，且HO=FO=4分米.當(dāng)ZAOC=90°時(shí)，點(diǎn)A離地面的距離AM為

分米；當(dāng)OB從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到OB'（在CO延長(zhǎng)線上）時(shí)，點(diǎn)E繞點(diǎn)F隨之旋轉(zhuǎn)至OB'上

的點(diǎn)E'處，則B'E-'BE為分米.

【答案】55/4

【解析】

【分析】

如圖，作OP_LCD于P,OQ_LAM于Q,FK_LOB于K,FJ±OC于J.解直角三角形求出

MQ,AQ即可求出AM,再分別求出BE,B'即可.E'

【詳解】

解：如圖，作OP_LCD于P,OQ_LAM于Q,FK_LOB于K,FJ_LOC于J.

VAM1CD,

AZQMP=ZMPO=ZOQM=90°,

，四邊形OQMP是矩形，

QM=OP,

VOC=OD=10,ZCOD=60",

/.△COD是等邊三角形，

VOP±CD,

NCOP=_LZCOD=30

2

AQM=OP=OC?cos30=°5。（分米），

VZAOC=ZQOP=90",

AZAOQ=ZCOP=30°,

:,AQ=J-QA=5（分米），

2

AAM=AQ+MQ=5+5G

'：OB//CD,

AZBOD=ZODC=60°

在RtAOFK中，KO=OF?cos60°=2（分米）,FK=OF?sin60°=2?（分米）,

在RtZ\PKE中，EK=JTT^~（分米），

ABE=10-2-2y/6=（8-20）（分米），

在RtAOFJ中，OJ=OF?cos60°=2（分米）,理=刈（分米）,

在RtAFJE'中，E'J&（力）2=2,

.\B,=E（10-（2遍-2）=12-2R,

：B'E'=BB1.

故答案為：5+56，4.

-VC酊D水平地面

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問題，屬于中考?？碱}型.

2.如圖，在△ABC中，ZABC=ZACB,以AC為直徑的(30分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)

P在AB的延長(zhǎng)線上，且ZCAB=2ZBCP.

(1)求證：直線CP是＜30的切線.

(2)若BC=2V,sinZBCP=,求點(diǎn)B到AC的距離.

(3)在第(2)的條件下，求△ACP的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析(2)4(3)20

【解析】

試題分析：(1)利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，2NCAN=NCAB,NCAB=2NBCP判斷出

艮回°

(2)利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可.

試題解析：(1),.,ZABC=ZACB,

；.AB=AC,

VAC為＜30的直徑，

AZANC=90,°

AZCAN+ZACN=90,02ZBAN=2ZCAN=ZCAB,

,/ZCAB=2ZBCP,

，ZBCP=ZCAN,

，ZACP=ZACN+ZBCP=ZACN+ZCAN=90,°

：點(diǎn)D在G)O上，

直線CP是00的切線；

(2)如圖，作BFXAC

VAB=AC,ZANC=90,°

1

.,.CN%B=\S,

VZBCP=ZCAN,sinZBCP=S,

更

：.sinZCAN=5,

CN=、5

...TF-號(hào)

；.AC=5,

，AB=AC=5,

設(shè)AF=x,則CF=5-

在RtAABF中,BF2=AB2-AF2=25-X2,

在RtACBF中,BF2=BC2-CF2=2O-(5-x)2,

.*.25-X2=2O-(5-X)2,

x=3,

???BF2=25-32=16,

???BF=4,

即點(diǎn)B到AC的距離為

4.考點(diǎn)：切線的判定

3.在矩形ABCD中，AD>AB,點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)(不含C,D兩端點(diǎn))，過點(diǎn)P

作PF〃BC,交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,將△PDF沿對(duì)角線BD翻折得到△QDF,QF交AD于點(diǎn)E.求證：△DEF是等

腰三角形；

(2)如圖2,將△PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△PDF,連接P'C,F'B.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a

(0°<a<180°).

①若0°<a</BDC,即DF在NBDC的內(nèi)部時(shí)，求證：△DPCs^DF'B.

②如圖3,若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，△DFB能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí)

tanNDBF'的值，如果不能，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②』或正.

23

【解析】

【分析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知NDFQ=NADF,所以△DEF是等腰三

角形；

(2)①由于PF〃BC,所以△DPFs^DCB,從而易證△DP'DCB；

②由于△DFB是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角，故需要對(duì)該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分

類討論.

【詳解】(1)由翻折可知：ZDFP=ZDFQ,

'：PF//BC,

ZDFP=NADF,

，ZDFQ=ZADF,

，△DEF是等腰三角形；

(2)①若0°<a<ZBDC,即DF'在NBDC的內(nèi)部時(shí)，

'.'ZP1EFZJTF=,

：.ZP'EF-/F'DC=ZETF-2F',EC

.,.ZP,DG=ZFzEB

由雌的性質(zhì)可知：ADP1儂△'DPF,

'.'PF//BC,

；.△DPF^ADCB,

.*.△EPZDCB

DCDP,

一DBDF7，

???△DP'C^ADFB；IB€D

時(shí)女窗屈。

1

?.?DF'=D^BD,

2

DF,1

??，

BD2

DF?

tanNDBF

業(yè)由期此寸DF'是斜邊，即DF'>DB,不符合題意;

當(dāng)狂的時(shí)婚際。

1

二'DF'二DF-BD,

2

AZIBF;=30,°

.,.tanZDBF'&

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相

似三角形的性質(zhì)以及判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定

理、運(yùn)用分類思想進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.

k

4.如圖，反比例函數(shù)y-k0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象相交于

A(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA〃y軸，ABC90

(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵求tanC的值.

Ij/IIv

----

XI

、/

Bj

!\Ic

【答案】(1)k2,B1,2；(2)2.

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)

k

y-k0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可

x

求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)作BH_LAC于H,設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,根據(jù)ABC90，BHC90，可得

CABH,再由已知可得AODABH,從而得CAOD,求出tanC

即可.

【詳解】(1)???點(diǎn)A(l,a)在y2x上，

a=2,A(l,2),

k

把A(l,2)代入y一得k2,

X

k

???反比例函數(shù)y-k0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象交于A,B兩點(diǎn),

x

**?A^B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，

???B1,2；

(2)作BH_LAC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D,

??,ABC90,BHC90,CABH,

CA//y軸，，BH〃x軸，，AODABH,：.CAOD,

AD2

**.tanCtanAOD---2.

OD1

8y

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、中心對(duì)稱、三角函

數(shù)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，(2)小題求出ZC=ZAOD是關(guān)鍵.

5.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C,D是半圓0的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作。0的切線交AD的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF_LAB于點(diǎn)F,交0O于點(diǎn)H,連接DC,AC.

(1)求證：ZAEC=90°；

(2)試判斷以點(diǎn)A,O,C,D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由；

(3)若DC=2,求DH的長(zhǎng).

(2)四邊形AOCD為菱形;

(3)DH=2\%

【解析】

試題分析：(1)連接0C,根據(jù)EC與(30切點(diǎn)C,則NOCE=90°,由題意得

M用_用ZDAC=ZCAB,即可證明AE〃OC,則/AEC+ZOCE=180°,從而得出

ZABC=90；0

1/1M

(2)四邊形A0CD為菱形.由(1)得加=E,貝jjNDCA=NCAB可證明四邊形AOCD是

平行四邊形，再由0A=0C,即可證明平行四邊形A0CD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊

形是菱形)；

(3)連接0D.根據(jù)四邊形AOCD為菱形，得AOAD是等邊三角形，則ZAOD=60°,再由

DF

DH_LAB于點(diǎn)F,AB為直徑，在RtAOFD中，根據(jù)sin/AOD，”,求得DH的長(zhǎng).

試題解析：(1)連接0C,

：EC與。0切點(diǎn)C,

，OC_LEC,

.*.ZOCE=90,°

丁點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，

rdtdM

???AlJ-CP-CH，

???NDAC=NCAB,

VOA=OC,

ZCAB=NOCA,

ZDAC=NOCA,

???AE〃OC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

AZAEC+ZOCE=180,°

AZABC=90；0

(2)四邊形AOCD為菱形.理由是：

.?用=用

?，

???NDCA二NCAB,

：.CD//OA,

丈:AE〃OC,

???四邊形AOCD是平行四邊形，

VOA=OC,

???平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)；

(3)連接OD.

E

4------/

???四邊形AOCD為菱形，

???OA=AD=DC=2,

VOA=OD,

，OA=OD=AD=2,

.*.△OAD是等邊三角形，

AZAOD=60,°

VDH1AB于點(diǎn)F,AB為直徑，

???DH=2DF,

DF

在RtAOFD中，sinNAOD」〃),

DF=ODsinZAOD=2sin60=\,

q

DH=2DF=2\.

考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)2.等邊三角形的判定與性質(zhì)3.菱形的判定與性質(zhì)4.解直角三角形.

6.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中ZBACH5°,ZACD=30°,

點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE,將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD'E,D'E交AC于F

點(diǎn).若AB=6\12cm.

(1)AE的長(zhǎng)為__cm；

(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；

(3)求點(diǎn)D'至!JBC的距離.

r，

【答案】(1)(2)12cm；(3)vcm.

【解析】

試題分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，利用直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案：

VZBAC=45,Z°B=90,二。AB=BC=62cm,AAC=12cm.

.點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，.,.AE=DC^V1cm.

(2)首先得出△ADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E,D'關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DD'交AC

于點(diǎn)P,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案.

(3)連接CD',BD',過點(diǎn)D'作D'G_LBC于點(diǎn)G,進(jìn)而得出△ABD'CBD,(SSS),貝ij

ZD'BG=45,D°'G=GB,進(jìn)而傭勾股定理求出點(diǎn)D'到BC邊的距離.

試題解析：解：(1)l4V3.

(2)：及△ADC中，ZACD=30°,.,.ZADC=60°,

TE為CD邊上的中點(diǎn)，.,.DE=AE.；.△ADE為等邊三角形.

,將△AD竭AE所旗韁斯得△AD',AAEAD'E招歸角形，ZAED'=60.°

VZEAC=ZDAC-ZEAD=30,EFA=90,即。AC所在的直線垂直平分線段ED'.

...點(diǎn)E,D'關(guān)于直線AC對(duì)稱.

如答圖1,連接DD'交AC于點(diǎn)P,.?.此時(shí)DP+EP值為最小，且DP+EP=DD.

VAADE是等邊三角形，AD=AE』\,R,

J3J3

DO'=2/ID4-=24J3Z_=12

.2、2,即DP+EP最小值為12cm.

D

AB

答圖1

(3)如答圖2,連接CD',BD',過點(diǎn)D'作D'G_LBC于點(diǎn)G,

?.,ACS：W^ED',.'.AE^AD,，CE=CD,'

VAE=EC,.,.AD,=CD,\A.

AR=RC

BD'=BD'

an'm，

feXAH)1WACBD'中，V'-,.,.AAED,HCW

(SSS).AZD'BG=ZD,BC=45°..，.D,G=GB.

設(shè)D'G長(zhǎng)為xcm,則CG長(zhǎng)為'、？vcm,

在RtZ\GD'C中，由勾股定理得X?+(6\?-X廣廣，

x

解得：?=3,2-<6,x2=3V2+v'6(不合題意舍去).

6

.?.點(diǎn)D'到BC邊的距離為3\?vcm.

考點(diǎn)：1.翻折和單動(dòng)點(diǎn)問題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4.等邊

三角形三角形的判定和性質(zhì)；5.軸對(duì)稱的應(yīng)用(最短線路問題)；6.全等三角形的判定

和性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.

7.如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,且AC=80,BD=60.動(dòng)點(diǎn)

M、N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，分別沿人一0一口和口一八運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

⑴求菱形ABCD的周長(zhǎng)；

(2)記4DMN的面積為S,求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；

(3)當(dāng)t=30秒時(shí)，在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得ZDPO=ZDON?若存在，

這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出點(diǎn)P到線段OD的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】解：（1）在菱形ABCD中,

VAC±BD,AC=80,BD=60,AD=\3("+4°?=5°。

二菱形ABCD的周長(zhǎng)為200。

(2)過點(diǎn)M作MP±AD,垂足為點(diǎn)

P.①當(dāng)0<tW40時(shí)，如答圖1,

蛇］

_MP_AO_4

sin^OAD=-----=—=一

MDAD5,

II

?.MP=AM?sinZOAD=to

11I40

S=bN?MP=&t>?t=S0t2?

②當(dāng)40<tW50時(shí)，如答圖2,MD=70-t,

，MP=2(70-t)o

1I14040

.*.SADMN=?)N?MP=Mt無(70-t)60t2+28t=50(t-35)2+490。

f3,..

—f((KtS40)

10

???S關(guān)于t的解析式為o

-i(t-35)I+490|4(Xt<50)

當(dāng)0<tW40時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480；

當(dāng)40<tW50時(shí)，S隨t的增大而減小，最大值不超過480?

綜上所述，S的最大值為480?

(3)存在2個(gè)點(diǎn)P,使得ZDPO=ZDONo

如答圖3所示，過點(diǎn)N作NF±OD于點(diǎn)F,

融3

40

則NF=ND?sinZODA=30X_=24,

50

30

DF=ND?cosZODA=30X—=18。

50

OF=12?/.tai_NOD-----2,ON-12J5?

OF12

作NNOD的平分線交NF于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH_LON于點(diǎn)H,

貝!IFG=GH。

1111

.,.SAONF^OF?NF=SAOGF+SAOGI?=OF?F80N?GH2(OF+ON)?FG。

OFNF12x2424

OF-ONF+IZEI+I

24

設(shè)OD中垂線與OD的交點(diǎn)為K,由對(duì)稱性可知：NDPK2/DP0=&DON=ZFOG,

...13njDrR==----------k0

PKPK匚正

：、、二-：

???PK二o

-

根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，在線段OD的下方存在與點(diǎn)P關(guān)于OD軸對(duì)稱的點(diǎn)P'。

...存在兩個(gè)點(diǎn)P到OD的距離都是

【解析】

試題分析：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰二角形、中垂線、勾股定

理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度.第（2）問

中，動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是兩種不同的情形，需要分類討論；第（3）問

中，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)，注意不要漏解.

（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長(zhǎng)；

（2）在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中：①當(dāng)0<t<40時(shí)，如答圖1所示，②當(dāng)40<tW50時(shí)，如

答圖2所示.分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

（3）如答圖4所示，作ON的垂直平分線，交EF于點(diǎn)I,連接OI,IN.過點(diǎn)N作

NG_LOD,NH_LEF,垂足分別為G,H.易得△DNGsaDAO,由EF垂直平分OD,得到

OE=ED=15,EG=NH=3,再設(shè)OI=R,EI=x,根據(jù)勾股定理，在RtAOEI和RtANIH中，得至IJ

關(guān)于R和x的方程組，解得R和x的值，把二者相加就是點(diǎn)P至UOD的距離，即PE=PI+

IE=R+x,又根據(jù)對(duì)稱性可得，在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P'也滿足條件，故存在兩個(gè)點(diǎn)P,到

OD的距離也相同，從而問題解決.

11

試題解析：（1）如圖①）在菱形ABCD中，OA?AC=40,OD5BD=30,

VAC±BD,

.,.AD=\3l)?+4(1=50,

二菱形ABCD的周長(zhǎng)為200；

圖①

(2)(如圖②)過點(diǎn)M作MHJ_AD于點(diǎn)

H.①(如圖②甲)①當(dāng)0ctW40時(shí)，

MHOD3

?.,sinNOAD，M=40W

3

，MH=、，

113

.,.S=?)N-MH=I0t2.

②(如圖②乙)當(dāng)40<tW50時(shí)，

.,.MD=80-t,

MHAO

,..sinNADO=A〃)-4",

4

MH=5(70-t),

11

；.S=^)N-MH,

2

=-5t2+28t

2

=-$-35)2+490.

I3

w2-y4。

2

b-5(t-35)2+49°,4°<t^5°

，S二,

當(dāng)0VtW40時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480.

當(dāng)40VtW50時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)仁40時(shí)，最大值為

480.綜上所述，S的最大值為480；

(3)存在2個(gè)點(diǎn)P，使得zDPO=zDON.

(如圖④)作ON的垂直平分線，交EF于點(diǎn)I,連接OI,IN.

過點(diǎn)N作NG±OD,NH±EF,垂足分別為G,

'.EF垂直平分0D,

..OE=ED=15,EG=NH=3,

設(shè)OI=R,EI=x,貝！J

在RtAOEI中,有R2=152+X2.......①,

在RtANIH中,有R.2=3A+(24-X)2...②,

15J5

P=-

v2

由①，②可得3(\5i1)

..PE=PI+IE=

根據(jù)對(duì)稱性可得，在BD下方還存正長(zhǎng)0點(diǎn)1P也滿足條件,

，存在兩個(gè)點(diǎn)P,到OD的距離都是

考點(diǎn)：相似性綜合題

8.如圖所示的是一個(gè)地球儀及它的平面圖，在平面圖中，點(diǎn)A、B分別為地球儀的南、北

極點(diǎn)，直線AB與放置地球儀的平面交于點(diǎn)D,所夾的角度約為67°,半徑OC所在的直線

與放置它的平面垂直，垂足為點(diǎn)E,DE=15cm,AD=14cm.

(1)求半徑0A的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin67°?=0.92,cos67°g0.39

lan67°心2.36)

(2)求扇形BOC的面積(K取3.14,結(jié)果精確到1cm)

【答案】⑴半徑OA的長(zhǎng)約為24.5cm；⑵扇形BOC的面積約為822cm.

【解析】

【分析】

⑴在RtAODE中，DE=15,ZODE=67°,根據(jù)NODE的余弦值，即可求得OD長(zhǎng)，減去AD

即為OA.

(2)用扇形面積公式即可求得.

【詳解】

⑴在Rt/XODE中，DE15cm,ODE67.

DE

cosODE-----,

DO

OAODAD3846.1424.5cm,

答：半徑OA的長(zhǎng)約為24.5cm.

(2)VODE67，

BOC157,

2

,,S扇形BOCnr

360

1573.1424.522

360

822cm2.

答：扇形BOC的面積約為822cm.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，本題把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)中

余弦定義來解題是解題關(guān)鍵.

9.如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5方向上，距離5千米處是村莊M,

在點(diǎn)A北偏東53.5方向上，距離10千米處是村莊N；要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)

收購(gòu)站P(取點(diǎn)P在AB上)，使得M,N兩村莊到P站的距離之和最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出

P的位置(不寫作法)并計(jì)算：

(1)M,N兩村莊之間的距離；

(2)P至!JM、N距離之和的最小值.(參考數(shù)據(jù)：sin36.5=°0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5

=0.75計(jì)算結(jié)果保留根號(hào).)

【答案】(DM,N兩村莊之間的距離為回千米；(2)村莊M、N到P站的最短距離和是

5石千米.

【解析】

【分析】

(1)作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N與AB交于E,連結(jié)MN'與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站

的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解決問題.

(2)由題意可知，M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是MN'的長(zhǎng).

【詳解】

解：作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N與AB交于E,連結(jié)MN'與AB交于P,貝！|P為土特產(chǎn)收購(gòu)站

的位置.

(1)在RtAANE中，AN=10,ZNAB=36.5°

NE=AN?sinZNAB=10?sin36.5,°=6

AE=AN?cosZNAB=10?cos36.5°,=8

過M作MC±AB于點(diǎn)C,

在RtAMAC中，AM=5,ZMAB=53.50

AC=MA?sinZAMB=MA?sin36.5,0=3

MC=MA?cosZAMC=MA?cos36.5°,=4

過點(diǎn)M作MD_LNE于點(diǎn)D,

在RtAMND中，MD=AE-AC=5,

ND=NE-MC=2,

MN=~=^29,

即M,N兩村莊之間的距離為J27千米.

(2)由題意可知，M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是MN'的長(zhǎng).

DN'=10,MD=5,在RtAMDN'中，由勾股定理，得

W102=5喬(千米)

村莊M、N到P站的最短距離和是5事千米.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)添加

常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

10.如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)C

作CEDB,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)E,直徑AB與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

（1）連接AC、AD,求證：DACACF180.

⑵若ABD2BDC.

①求證：CF是eO的切線.

3

②當(dāng)BD6，tanF一時(shí)，求CF的長(zhǎng).

4

20

【答案】(1)詳見解析；(2)①詳見解析；②CF—.

3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圓周角定理證得ZADB=90°,即AD±BD,由CE_LDB證得AD〃CF,根據(jù)平行線

的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)①連接OC.先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出N3=2N1,由已知

Z4=2Z1,得到Z4=Z3,貝!1OC〃DB,再由CE_LDB,得到OC_LCF,根據(jù)切線的判定即可

證明CF為＜90的切線；

②由CF〃AD,證出NBAD二NF,得出tanZBAD=tanZF=BD_=3.,求出AD=ABD=8,利

AD43

用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=，5,再由tanF=QC_=3,即可求出CF.

CF4

【詳解】

解：(1)AB是eO的直徑，且D為eO上一點(diǎn)，

ADB90,

QCEDB,

DEC90,

CF//AD,

DACACF180.

(2)①如圖，連接OC.

QOAOC,12.

Q312,

321.

Q42BDC,BDC1,

421,

43,

OC//DB.

QCEDB,

OCCF.

又QOC為eO的半徑，

CF為eO的切線.

D

②由（1）知CF//AD,

BADF，

tanBADtanF—，

4

BD3

AD4'

QBD6

4

AD-BD8,

3

ABGJ10，0BOC5.

QOCCF,

OCF90,

CF4

20

解得CF—.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難

度，特別是（2）中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果.

11.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每

秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PD_LAC于點(diǎn)D（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合）,

作NDPQ=60°,邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長(zhǎng)：；

（2）當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)；

（3）當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，求出t的值.

II35

【答案】（D（2）1；（3）t的值泡專喝.

【解析】

【分析】

(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出AD,即可得出結(jié)論;

(2)利用AQ=AC,即可得出結(jié)論；

(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)VAP=2t,AB=4,ZA=30°

:.AC=2\3,AD、為

.,.CD=2\3-\F；

(2)AQ=2AD=1\R[

當(dāng)AQ=AC時(shí)，Q與C重合

即2\,3l=2、3

t=l;

(3)①如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過AB的中點(diǎn)F時(shí),

AZPGF=90°,PG亍PQ=AP=t,AF^AB=2.

VZA=NAQP=30°,AZFPG=60°,AZPFG=30°,:.PF=2PG=2t,

1

???AP+PF=2t+2t=2,??.t=_

2

②如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過AC的中點(diǎn)N時(shí),

???AN+NQ=AQ,.?.R+2里.2代???「?：

、3、4

VZABC=60°,???NBFH=30°=NH,.\BH=BF=1.

在RtAPEH中，PH=2PE=2t.

5

VAH=AP+PH=AB+BH,A2t+2t=5,：.t=~.

4

135

即當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為z普%.

【點(diǎn)睛】

此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線

的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關(guān)鍵.

12.已知AB是＜30的直徑，弦CD±AB于H,過CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作。O的切線交AB的

延長(zhǎng)線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.

(1)如圖I,求證：KE=GE；

⑵如圖2,連接CABG,若NFGB=1ZACH,求證：CA〃FE；

2

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=3,AK=VW,求CN

5

的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析；(2)△EAD是等腰三角形.證明見解析；(3)2QJIU.

13

【解析】

試題分析:

(1)連接0G,則由已知易得ZOGE=ZAHK=90°,由OG=OA可得ZAGO=ZOAG,從而可

得NKGE=ZAKH=ZEKG,這樣即可得到KE=GE；

(2)設(shè)ZFGB=a,由AB是直徑可得ZAGB=90°,從而可得ZKGE=90°-a,結(jié)合GE=KE可得

ZEKG=90-°a,這樣在△GKE中可得ZE=2a,由ZFGB^l/ACH可得NACH=2a,這樣可得

2

ZE=ZACH,由此即可得到CA〃EF；

（3）如下圖2,作NP±AC于P,

AH3

由（2）可知NACH=NE,由此可得sinE=sinZACH=-------,設(shè)AH=3a,可得AC=5a,

AC5

CH4

CH=4a,則］tanZCAH=------一，由（2）中結(jié)論易得ZCAK=ZEGK=ZEKG=ZAKC,從而可

AH3

得CK=AC=5a,由此可得HK=a,tanNAKH=------3,AK^^IOa,結(jié)合AK=J1O可得a=l,

HK

則AC=5；在四邊形BGKH中，由NBHK=NBKG=90°,可得ZABG+ZHKG=180°,結(jié)合

ZAKH+ZGKG=180,Z°ACG=/ABG可得NACG=ZAKH,

在RtAAPN中，由tanZCAH=4吵L,可設(shè)pN=12b,AP=9b,由

3AP

tanZACG=EM_tanNAKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP=13b=5,則可得b二』，由

CP13

此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的長(zhǎng).

試題解析：

(1)如圖1,連接OG.

???EF切。O于G,

.\OG±EF,

???NAGO+ZAGE=90,°

??，CD_LAB于H,

AZAHD=90,°

AZOAG=ZAKH=90,°

VOA=OG,

???/AGO=NOAG,

:.ZAGE=NAKH,

ZEKG=NAKH,

???ZEKG=ZAGE,

???KE二GE.

(2)設(shè)NFGB=a,

VAB是直徑，

Z.ZAC?=90,°

AZAGE=ZEKG=90-°a,

.*.ZEF180-°ZAGE-ZEKG=2a,

???NFGB=1ZACH,

2

Z.ZACH=2a,

:.ZACH=NE,

???CA〃FE.

(3)作NP±AC于P.

VZACH=ZE,

AH3、

sinZE=sinZACH=-------,設(shè)nAH=3a,AC=5a,

AC5

CH4

則CH=JAC2CH'4a,tanNCAH二----

3

???CA〃FE,

???ZCAK=NAGE,

ZAGE=NAKH,

ZCAK=NAKH,

，AC=CK=5a,HK=CK-CH=4a,tan/AKH=AH=3,AK=~~,

HK

,.,AK=<7O，

JO-aM，

a=1.AC=5,

VZBHD=ZAGB=90,°

AZBHD+ZAGB=180,0

在四邊形BGKH中，ZBHD+ZHKG+ZAGB+ZABG=360°

AZABG+ZHKG=180,°

VZAKH+ZHKG=180,°

ZAKH二NABG,

ZACN=NABG,

ZAKH二NACN,

tanNAKH=tanZACN=3,

二'NPLAC于P,

???/APN二NCPN=90,°

PN4

在Rt^APN中，tanZCAH=-------,設(shè)PN=12b,則AP=9b,

AP3

在RtACPN中，tan/ACNtPN=3,

CP」

CP=4b,

.'AC二AP+CP=13b,

VAC=5,

/.13b=5,

5

b——,

13

13

13.如圖，AB為0O的直徑,P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CG是。0的弦NPCA=NABC,

CG1AB,垂足為D

⑴求證：PC是0O的切線;

PAAD

⑵求證:

PCCD

(3)過點(diǎn)A作AE〃PC交。O于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若sinZP=3,CF=5,求BE

BE=12.【解析】

【分析】

(1)連接0C,由PC切OO于點(diǎn)C,得到OCJ_PC,于是得到ZPCA+ZOCA=90°，由AB為

0O的直徑，得?JNABC+NOAU90,由于。OC=OA,證得ZOCA=ZOAC,于是得到結(jié)論；

(2)由AE〃PC,得到NPCA=NCAF根據(jù)垂徑定理得到弧AC=^AG,于是得到

ZACF=ZABC,由于ZPCA=ZABC,推出ZACF=ZCAF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

CF=AF,在RtAAFD中，AF=5,sin/FADA,求得FD=3,AD=4,CD=8,在RtAOCD中，

5

設(shè)OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB為

OO的直徑，得到ZAEB=90,在。RtAABE中，由sinZEAD^3,得到變=3,于是求得

5AB5

結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：連接OC,

E

???PC切。o于點(diǎn)c,

.\OC±PC,

AZPCO90,°

AZPCA+ZOCA=90,°

VAB為。O的直徑，

AZACB^90,°

AZABC+ZOAC=90,°

VOC=OA,

???ZOCA=ZOAC,

???ZPCA=ZABC；

(2)解：,.?AE〃PC,

???ZPCA=ZCAF,

VAB±CG,

?,?弧AC=弧AG,

???ZACF=ZABC,

ZPCA=ZABC,

ZACF=ZCAF,

???CF二AF,?.?CF=5,

???AF=5,

VAE/7PC,

???NFAD=NP,

*.*sinNP=3,

5

sinZFAD=3,

5

在RtAAFD中，AF=5,sinZFAD=3,

5

???FD=3,ADM,??.CD=8,

在RtAOCD中，設(shè)OC=r,

r2=(r-4)2+82,

r=10,

AB=2r=20,

VAB為(DO的直徑，

AZAEB=90,在。RAABE中，

RF3

VsinZEAD=i,_1,

5AB5

VAB=20,

；.BE=12.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接

OC構(gòu)造直角三角形.

—3I--3-

14.如圖，直線y=/+a與瓣由交于點(diǎn)4(4,0),與)軸交于點(diǎn)"，拋物線y=/r?+bx+c經(jīng)

過點(diǎn)4