浙江大學(xué)《微積分》課程期末考試試卷

浙江大學(xué)2004-2005學(xué)年秋冬季學(xué)期《微積分》課程期末考試試卷

一、填空題

1.Iim（eA-x）v2=.

Xf0

2.設(shè)/（X）可導(dǎo)，y=，%<-）則蟲(chóng)=______

dr

Inx

3.），=吐。>0）的值域范圍為.

x

)Jl—x2dx=

5.設(shè)[X=廬召，則宴=_____________.

[y=arcsinr改

2

6.當(dāng)x—>0時(shí)，fe'cosfdf-x-土與Ax?等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)A=,B=

Jo2

二、計(jì)算題

r2x+l

1.求

Jx?+2x+2

2.已知/（0）=。,/（萬(wàn)）=仇且/"（x）連續(xù)，求+（切sinxck.

4.求曲線(xiàn)y=sinx（04x4萬(wàn)）與x軸圍成的平面圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積

匕和匕.

5.在曲線(xiàn)段y=x2（0<x<8）±,求一點(diǎn)尸團(tuán),/）使得過(guò)p點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=0,x=8所圍成的三角

形的面積最大.

三、求基級(jí)數(shù)X"02〃的收斂區(qū)間以及在收斂區(qū)間上的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)￡二32〃的和.

〃=o加〃=o加

四、證明若eva<》</,則In?A-ln?。>《■（匕一。）?

e

exsinx八

-------無(wú)w0

五、已知尸（x）={x為連續(xù)函數(shù).（1）求常數(shù)。；（2）證明/（x）的導(dǎo)函數(shù)連續(xù).

ax=0

浙江大學(xué)2004-2005學(xué)年秋冬學(xué)期《微積分》課程期末考試試卷答案

一、填空題

ln(e-x)°尤一1

-Llim------------lim-------------

1.lim(e'-x)x=lime)=ex=e=e2.

A-->0.v->0

2.—=xr(cosx)[^(cosx)_2/(cosx)f\cosx)sinx-Inx].

drx

3?(-oo,-].

e

Ix“+x2)Vl-x2dx.

=「-rX-Vl-x2dx+「x2yjl-x2dx

J-'ViT7"

=2fx2\/l-x2dx,令工=sin/

=2[2sin2/cos2tdr=2sin2/(l-sin2t)dx=2(—=—.

J。J。224228

dx-tdy1dy_J_

—=一/，y=arcsint,—=，/

由71-f2山71-r2dx-t

d2y_產(chǎn)_Vl-r2

dr2-tt3

Vl-r

f，cosd-x-)

「excosx-1-x

由洛必達(dá)法則lim--------------------2_lim---------———

.10AXBI。ABXB'[

YYY,

[1+XH-----1-----F(?(Xo3)][1------FO(X3)]-1-X

=lim——----------2------------------

Xf。ABXBT

其中：e'-l+x+—+—+O(A:3),COSX=1--+O(X3)

2!3!2!

-1/+o(x3)6-1=3,

=lim------——=1,得],即A=,5=4.

soABXB''AB=——12

3

二、計(jì)算題

f2x+l,r2x4-2,f1.

1.—：-------dx=------dx--------dx

J/+2x+23+2%+2J14-U+1)2

=ln(x2+2x+2)-arctan(x4-1)+C.

2.J?！?x)+/,r(x)]sinxdx=￡/(x)sinxdx+￡/"(x)sinxdx

=￡/(x)sinxdx+￡sinxdf'Cx)

=￡/(x)sinxdx+sinxfr(x)|^-￡/"(x)cosxdx

=LFOOsinxdx-cos^f(x)|：—J。f(x)sinxdr=〃+匕.

3.

2

4.V=^-1sin2xdx=—,

J。2

Vv=2萬(wàn)[xsinxdx=一2乃xcosx|；+2〃￡cosxdx=2萬(wàn)？.

2

5.解：(1)過(guò)點(diǎn)Pg,/)的切線(xiàn)方程為y-a=2a(x-a),

令y=0，得一/=2a(x-a),得％=■!?,

令x=8,得y=/+2。(8-。)=16。-。2,

Ia.ar

令S(a)=—(8-一)(16a-a2)=a(8——)2,

222

「，/\zoa\2a、,1、a、,。3a.

S(a)=(8--)~+toz/2o(8--)(--)=/(o8--)(8-—)，

22222

令S'(a)=O,得。=3，a=16(舍).

3

S*(a)=-i(8-—)--(8--)=-a-16,

22222

S*(—)=—-16=-8<0,

323

所以，當(dāng)時(shí)，三角形面積最大.

3

三、因?yàn)椤?〃+I/89,.2nooi

/t=0n\2言+Q

2x2ex'+ex'=J(2x2+1),

所以￡也」2"=￡也[(行)2"=/(2-2+l)=5e2.

”=0〃!?=o"!

四、設(shè)f(x)=\n2x,g(x)=x,在切上由柯西定理,

有*吐=2庭，e<a<^<b<e^.

h-aA

再令風(fēng)幻=電￡,“(x)=上*H<0(e<x)，故0(x)單調(diào)下降，

XX

得(p(x)〉,(e<x<e~),有——>,WIn~Z?—ln~6?>—(b—ci).

eee

o'sinx

五、(1)因?yàn)閘im”u4=l,所以。=1.

XTOX

exsinx

--------1

(2)F\0)=lim—------

20x

exsinx-x

lim

x->0

「esinx+ecosx-12ecosx

=lim-------------------=lim---------=]t,

xf°2x302

所以,

x(exsinx+excosx)-exsinx

F'(x)=\x2,xwO;

1,x=Q.

xe'sinx+xexcosx-exsinx..1xexcosx,

而lim--------------；-------------=lim----------=1,

Xf。XI。2x

所以尸(X)在(-00,+8)上是連續(xù)的.

浙江大學(xué)2005-2006學(xué)年秋冬學(xué)期《微積分》課程期末考試試卷

一、計(jì)算題

1.已知拋物線(xiàn)y=ax?+bx+c過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該點(diǎn)的曲率圓方程為(x-+(y-1>=g,

貝a=_______,b=,c=

2.設(shè)/(x)=[sinr2d/,貝U⑴f/(x)dr=_______；(2)lim=________

J.rJOXTlX-I

...1—Jl—X?1.

3.若hm----------=一，則n。=

?3。/2----------

4.當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=x?2"取得極小值.

5.曲線(xiàn)y=arctanx在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為

兀一x00

*6.已知-----=〃()+￡(4cosnx+bltsinnx\xe(0,2乃),則b5=(此題不作要求)

2n=l

二、求極限

sinx-tanx、-5-

l.lim------------------------2.limz(cosx)s,nx

1。tanx(ex-l)ln(l-x)-。

三、求導(dǎo)數(shù)

drd~r

1.設(shè)函數(shù)x=x(y)由y-x+sinx=0所確定，求一,--

dydy

x=sin/-arctanz,dyd2y

2.設(shè)《3.設(shè)y(x)求yr(x).

y=lnQ+dxdx~

四、求積分

1.f----------；-----dx.

J(x+l)(x2+l)

?%sinzx1

3.J(x，+x?)J1-.x-----z—dx.

01+cos^X

五、設(shè)曲線(xiàn)G：y=l—尤2(041<1),X軸和y軸所圍區(qū)域被曲線(xiàn)。2：)'=。/(〃>0)分為面積相等的兩

部分，試求常數(shù)。.

1_2V*8

六、將函數(shù)/(X)=arctan------展開(kāi)成光的某級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)￡二匚的和.

1+2x〃=o2n+1

七、設(shè)在(。,+8)內(nèi)可導(dǎo),且lim/'(x)=a,證明：］im^-=a.

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一、計(jì)算題

1.由y=ax2+bx+c,有y'=2ox+"y"=2。，

得。+/?+c=2,Mi=2a+〃,=2a

由曲率圓方程(x—；)2+(y—g)2=g,

兩邊求導(dǎo)，2(x—；)+2()」|)y'=0,得尸2=1，

2x+2處+2(y-卞y"=0，得產(chǎn)心爐=4

根據(jù)y=分+以+c與曲率圓(x-+(y-g)2=；，在點(diǎn)(1,2)有相同的y,y',y"；

2a=4,

得到l2a+b=V，所以有a=2,/?=—3,c=3.

Q+0+C=2

2.(1)￡/(x)dr=￡(jsinz2d^)d.￥

jij

=x\sinr2dr+[xsinx2d￥

JxoJo

=—fsinx2dr2

2J。

12P1/1

=—cosx~=—(1-cos1).

2Io2

f(r\「sin產(chǎn)dr_?：nr2

(2)lim------=lim-------------=lim-----------=-sinl.

—X-lIX-l31

3.因?yàn)?當(dāng)x―>0時(shí)1-Jl-x?—x2,,

2

___1

1l;i2—2X1

所以lim.-'-"尤-=lim2—=上，得a=2.

a

xfOx”Dx2

4.y(x)=x?2",y\x)=2X+x2xIn2,

令y'(x)=0,2x+x2x\n2=0,解得x=—,

In2

Xx2A

由于y\x)=2、In2+2In2+x2In2=2In2(2+xln2),

1-1一1

當(dāng)工=-----時(shí)，y\——)>0,所以當(dāng)％=——時(shí)，y(x)=x-2、取到極小值.

._.、，?1?|1I7C

5.因?yàn)椋?gt;>=arctanx,y=-j—,y|v=1=-,y\x=i=arctan1=-

17r1

所以，切線(xiàn)方程為y=—*-1)+—.6.b=~.

.2455

二、求極限

sinx/[、

.,----(cosx-1)

..sinx-tanx「COcr、、、“八一*,，八、

1.hm----------------_]imcosx--------,注：當(dāng)尤一>0時(shí)e-1x,In(l-x)-x,

a。tanx(ex-1)ln(l-x)1o-x

2

IIcos.v-l

2.因?yàn)?lim(cosx)sin：A=limfl+(cosx-1)]00^-1sin2j

▲TOxf0

而lim—J——=——，lim[l4-(cosx-l)cosx-1]=e,

iosin2x2

所以lim(cosx)sin2x=e2.

Xf0

三、求導(dǎo)數(shù)

1.對(duì)方程y-x+sinx=0兩邊關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)，注意到x=x(y)，有

.drdx八,口dx1

1FCOSx—=0/4—=-------,

dydydy1-cosx

d2x_dy_爪].cosx)_T—cosx)；_-sinx

dy2dydy(1-cosx)2(1-cosx)3

.dr1

2.x=smt-arctant,—=cost------,

dt1+產(chǎn)

y=ln(z+Jl+-),—=/1,

dzVI77

dy

一

曳Vl+r

-d-/

drd_x(1+產(chǎn))cosr-l'

df

(l+z2){[(l+r2)cosr-1]V1+r[2rcosr-(l+r2)sinr]}

d2y=_____________________________________

改r(l+r2)cosr-ll

3.y(x)=arccoteA-Inarccote1--[Inex-\n(ex+1)1=arccot^r--x+—\n(ex+1)，

222

l+e2x~2+2(l+ex)~~l+e2x~2(l+ex)

四、-------;---dx=-(-------1---1—；—)dx

J(x+l)(x~+l)2Jx+1x~+1x~+1

；1巾+1卜；山（無(wú)2

+1)+—arctanx+C.

2.（令工=嚴(yán)）層廣受g"。

=15j(f9T7+f5_f3+f_^_)df

iq「l#】0I/,1#2\Y\(?

=1j—t—t+—f—tH—t—ln(t+1)+C

1086422

3215A5|15A152151

=—x3---x15+—x5----x15+—x15----ln(x15+1)+C.

282422

I/jj"

2

3.J+元2)43^dx=J產(chǎn)203^2^=2Jjsi/注：^x=sint

=2sin2z(l-sin2r)dr

Jo

/1SinZxJ1X」21二1八2\

4.x------r—dx=-----dcosx=-\Adln(l+cosx)

J。1+COS"XJol+cosXJo

=-%ln(l+cos2九).+￡ln(l+cos2x)dx

._i、〃c(cosx)2/l+2.

=一冗In2+J(-I)?2----------dx

OM=0〃+I

00/1\M-1

Fln2+f上工-r/i,

cos"xdx

?0

M=in

oo/_ixn—In

=rrln2+Z-2j；COS2-Adx

n=\〃

二-〃ln2+￡---—2-----———

占〃(2〃)!！2

得交點(diǎn)X產(chǎn)點(diǎn)，\+'="1-/他=。-1）|：=|

五、由＜

，=。［（一2）-江曲二「亨、3）『《患，由RS?,得|?卷

所以a=3.

1-2%=-2Z8(-1)"4"一,兇<1’

六、由/(%)=arctan-----,r(x)=———7

1+2x1+4/”=02

/3)=1仆3/(0)=兀29(T)"4"12〃+1

JO42〃+1

當(dāng)X=工時(shí),兀25(―D"4"1

4-^2n+l22n+1

2

得法J.

62〃+14

七、解法一：由洛必達(dá)法則，lim工?=lim』工?=a.

XT+coxKT+oo|

解法二：①若a=0,由lim/'(x)=0,按定義知

XT+<?

V￡>o,Bx,>0,當(dāng)x〉玉時(shí)，恒有

VZ>e(x15+oo),當(dāng)x>匕時(shí)，有|/(x)_/S)|=|/⑹,

由于|/3|-|/(小|/(x)—/S)|<Sx—可，有|/(刈引/仍)2上一可，

再取》2>6,使得<￡,當(dāng)X〉馬時(shí)，

x22-

有』/(X)|f(x)-f(b)+f(b)￡\x-b\\f(b)\s\x-b\\f(b)\￡s

x|x2xx2xx222

所以，lim"^=0.

X->-bX>X

②若〃。0,由lim/'(x)=a,則有\(zhòng)im[f(x)-ax]r=0,

X->-K0XT+00

設(shè)F(x)=f(x)-ax,有l(wèi)imF'(x)=0,

XT+00

由①知，lim幺2=lim"幻一"x=0,得證.

+OOXx—>+OOX

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一、求導(dǎo)數(shù)或微積分

(1)設(shè)y=x"n4'+(arctan2x)3+ln2,求心.

dx

(2)設(shè)了=［e-*'ds,y=『sinQ-s>ds,求f=J工處的曳及^?.

J。JnV2dxdx2

(3)設(shè)y=y(x)是由方程e"，—2x—盯一1=0確定的x的可導(dǎo)函數(shù)，求由［“

二、求積分

(4)求fxV6x-x2dLx.

Jo

?rarctane.

(5)求匕i.

r+8dx

求I

Xy/x-l

三、求極限

+1/2+COSX\xn

(7)求hmrK---)-1].

1。X33

11

設(shè)/"(a)存在，/'(MO,求lim[].

x-^a廣⑷(…)

n

(9)設(shè)〃”(l+-)(l+-)---(l+-),求limu”.

nnnW—>00

四、選擇題

(10)設(shè)a=J：=6arcsinf2dr,/=-1)由，貝Uxf0時(shí)[]

(A)a與￡是同階但不等價(jià)無(wú)窮小.(B)a與△是等價(jià)無(wú)窮小.

(C)］是￡的高價(jià)無(wú)窮小.(D)/是a的高價(jià)無(wú)窮小.

(11)設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則下述結(jié)論不正確的是［］

n=l

8

(A)Z(a“+a“+i)必收斂.(B)必收斂.

n=lM=1

8

(C)工(出"+“2"+1)必收斂?⑴)￡(。2“一”2向)必收斂,

n=\n=\

e"x<0px

(12)設(shè)/(x)=《'-—，F(xiàn)(x)=[/(f)df,則b(x)在x=0處[]

x,x>0,JT

(A)極限不存在(B)極限存在，但不連續(xù)

(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

(13)設(shè))>=/(x)為連續(xù)函數(shù),除點(diǎn)x=a外s/(x)二階可導(dǎo)，y'=7'(x)的圖形如圖,

貝|Jy=/(x)[]

(A)有一個(gè)拐點(diǎn),一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn).

(B)有二個(gè)拐點(diǎn),一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn).

(C)有一個(gè)拐點(diǎn),一個(gè)極小值點(diǎn)，二個(gè)極大值點(diǎn).

(D)有一個(gè)拐點(diǎn),二個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn).

五、(14)設(shè)曲線(xiàn)y=ax2(x20,常數(shù)。>0)與曲線(xiàn)>=1—/交于點(diǎn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A的直線(xiàn)

與曲線(xiàn)y=ax1圍成一平面形D.

(I)求。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積丫(a)；(II)求a的值使丫(。)為最大.

六、(15)將函數(shù)/(x)=xarctanx-glna+J)在x=0處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)(即麥克勞林級(jí)數(shù))并指

明成立范圍.

X

七、(16)設(shè)x>0,證明/(x)=(x-4)e2一(工一2)6"+2<0.

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一、求導(dǎo)數(shù)或微分

sin4sin4x-12

(1)—=x'4cos4x-Inx+sin4x-x+6(arctan2x)——!~7

dxl+4x2

(2)由x=fe-'d5,得dr=eT-df,

由y=[sin(r-5)2d5,令t-s=u,得

Jo

y=-Jsinw2dw=￡sinw2dw,得dy=sinJdf,

七”dy2.2dy

所以—=etsinf,—

dxdr

d2y_(e'sin/)；_2ksin產(chǎn)+2tercos產(chǎn)

/=~二P

=2re2r(sinr+cosJ),

d2y

=,2萬(wàn)en.

收，*

(3)由2x-xy—l=0及x=0,得y=0,

對(duì)方程ex+y-2x-xy-i=0兩邊取微分有

ex+y(dr+dy)-2dx一(xdy+ydx)=0,

將x=0,y=0代入，得dy|v=()=dx.

二、求積分

⑷解J。x\j6x-x2dx=J。x^9-(x2-6x+9)dx

2

=Cxyl9-(x-3)dx(令x-3=3sinf)

JO

27J)(1+sinr)|cosr|costdt

~2

=54f2cos2zdz=54?~=—71.

J。222

(5)解令/=f,

arctan.rarctant1.-Ifarctanrdl

----dx=——-r—dr

e/lxJ,t32Jr

1rarctanr

1arctan

二一5[r下]

1arctanr1一

=—f-r-------1—Farctan，]+C

2rt

1arctan

2[~F~+arctane']+C.

,、人i—rr+8dxr+°°2dt,,+?

(6)解令-----=———-2arctanr|=)

J1xVx-1"r+1

三、求極限

口、血..1r/2+COSX、*?

(7)解lim—[(-------)x-1

。x33

1xln(^^)M(卓)-2+cosx、，

lim—[e3注[e3-1xln(-------),(x->0)]

1°J-

2+cosx

lim—ln(

3X-3

cosx-1、、i八cosx-Lcosx-1/八、

lim—ln(l+)汪[ln(l+---)---,(x-0)]

10X3

1/COSX-l、1

lim—(-------)=-

?”f°x~36

lim[-------------------------1

ff'(a)(x-a)f(x)-f(a)

』m」3二以色一八.吆？一。

lim____________sr?____________

f/'(affix')-/(?))+f\a)f\x\x-a)

r(x)-r⑷

Hm_____________x_a_____________=__'⑷

…八項(xiàng)/⑴-/⑷)+/⑷f(wàn)，(x)2(/(a))2

x-a

(9)解由un=[(1+—)(1+—)???(1+—)]",取In瞥=，，ln(l+L),

nnnn,=(n

則limInun=lim-^ln(l+-)=￡ln(l+x)dx=xln(l+x)|^-dx=21n2-l,

”—n—>二Hj=]〃°°1IX

所以Umw?=e2ln2-'=-.

>ooe

?W(,

tarcsintdt

a0

四、（10）解：因?yàn)閘im—=lim注：由洛必達(dá)法則

XT。（30「(J-l)dr

Jo

2-1-

xarcsinx3--x3

=lim-------；-------注：e*—1x~,(x—>0)

e'~-1

2

..1x-2arcsin戶(hù)￡

hm——

10323

x2

所以，a與/?是同階但不等價(jià)無(wú)窮小，則選A.

(11)解：(A)因?yàn)?(4+“川)=X《，+￡4+1

〃=1w=ln=l

oooooo

n=ln=2"=1

S8

而收斂，所以Z（“"+4+1）必收斂，

n=1n=\

(B)因?yàn)?a；-a；+a；-a；+???+?；-?,ti+/+i一/+2…=/，

M=1

所以必收斂?

n=\

OO00

(C)因?yàn)?%"+1)=。2+。3+%+%+…+電"+42”+1+.?.=X""一4

M=1〃=1

所以￡（%“+%,“1）必收斂，

n=l

8PC

a

(D)Z(4,-a2n+\)=出一%+。4一“5+…+“2”-2n+\+…=Z(T)"”，，未必收斂，

n=\n=2

例如之蟲(chóng)收斂，但￡(-i)z=￡，發(fā)散,

〃=1〃n=2n=2〃

則結(jié)論不正確的是D,本題選D

(12)解：由/(x)=<'''尸(x)=，

x,x>0,J

je'dt-ex—e~',x<0,

則尸(x)=(:,

[e'dt-l—e~l+—x2,x>0

U-12

ex-e'',x<Q,

即尸(x)=,]，

}-e-'+-x2,x>0

I2

因?yàn)閘imF(x)=lim(l-e-1+-x2)=l-e-',

x->0+A->0+2

limF(x)=\im(ex-e_1)=1-e-1

XT。-JC->0-

所以FQ)在x=0處連續(xù).

K2

因?yàn)楣?(0)=lim2——=0,

+A?0*垃

,*一1

F(0)=lim-——=1f

Atf。-Ax

工'(0)聲E'(0)

所以，/(x)在x=0不可導(dǎo)，所以選C.

(13)如圖，在點(diǎn)3,0)處，

左邊y"〉0,右邊)"<0,而點(diǎn)(40)處y"=0,所以點(diǎn)(6,0)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn);

同理，在點(diǎn)(0,4)處，

左邊y"<0,右邊y">0,而點(diǎn)(0,4)處y"=0,所以點(diǎn)(0/)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)；

在點(diǎn)(c,0)處,

左邊y'<0,右邊y'>0,而點(diǎn)（c,0）處y'=0,所以點(diǎn)x=c為函數(shù)的極小值點(diǎn);

在點(diǎn)5,0）處，

左邊y'〉0,右邊y'<0,而點(diǎn)（。,0）處y'=0,所以點(diǎn)x=a為函數(shù)的極大值點(diǎn),

所以，曲線(xiàn)有二個(gè)拐點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn).選（B）

五、解：由卜=""求得交點(diǎn)4-4=,'一)(如圖),

[y^l-x2\ll+a1+a

直線(xiàn)OA的方程y=Y=x.

A/1+ci

[2

(I)旋轉(zhuǎn)體體積V(a)=n['^(---jr2-a2x4)dx

J。l+a

_2%a2

―77(l+a嚴(yán)，

1s2

八〃、°2a(l+a)2-a2-(l+a)2

,“、dV⑷2712

(ID-----=----------------告--------

da15(l+a)5

_"(4a-a2)

-15(1+a)7〃.

在a>0處有唯一駐點(diǎn)〃=4,

當(dāng)0<。<4時(shí)包@〉0,

da

當(dāng)a>4時(shí)，叱@<0,

da

故。=4為唯一極大值點(diǎn)，為最大值點(diǎn).

1

六、(15)解：由/(x)=xarctanx--ln(l+x0)

f\x)=arctanxj"(x)=—二，展開(kāi)之,

1+x

/〃(x)=￡(—Xe(-i,i),兩邊積分，得

71=0

小)5。)+蕓察產(chǎn)

XG(-1,1),

再次兩邊積分，得小)="。嗎(2〃￡〃+2廣

=￡_gr——+2TD

七(2〃+1)(2〃+2)

右邊級(jí)數(shù)在x=±l處收斂，左邊函數(shù)在x=±l處連續(xù)，所以成立范圍可擴(kuò)大到閉區(qū)間

X

七、(16)證法1：由/(x)=(x-4)〃-(x—2)e"+2

rA

/(0)=0/3=『)—)",八0)=0

xXX1X

/"(%)=1/-xex=/(]_/).

21

而當(dāng)x>0時(shí)/>1>一，所以當(dāng)1>0時(shí)/〃(刈<0,

4

于是知，當(dāng)x>0時(shí)，f\x)<0,從而知，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0.

證法2：由證法一，有r(x)=/(o)+_f(o)x+；/"e)x2=g_re)x2<o

X

證法3：由/。)=弓一1)>一(x-1)/

WL—)

=^/(-|)<0,所以/(x)<0.

注：設(shè)g(x)=(x-l)/,在[Y],x]上的拉格郎日中值定理，有

(;一1)/一(X—l)e*=[(x—l)e、](--x),—<^<x.

2L\/」x=g22

浙江大學(xué)2007-2008學(xué)年秋冬學(xué)期《微積分》課程期末考試試卷

一、(每小題6分)

設(shè)^=，1215%+64、85，+]%,求立

(1)111

2dr

x="+2/

(2)設(shè)山參數(shù)式〈，確定了y為x的函數(shù)y=y(x),求曲線(xiàn)y=y(x)的凹、凸區(qū)間及

y=Z-ln(l+r)

拐點(diǎn)坐標(biāo)(區(qū)間用x表示，點(diǎn)用(x,y)表示).

.1

(3)求lim(任二產(chǎn)

xfOx

(4)求lim[Vx2+2x+sinx-(x+2)]

A：->+00

二、(每小題6分)

(5)求\-r-----此

Jx2(x+1)

、rarcsine1.

(6)求

f+oO二2

(7)求［x3e~xdx.

Jo

三、(第(8).(11)小題每小題8分，第(12)小題6分)

(8)(8分)設(shè)y=y(x)是山>3+盯+工2-2工+1=0及,⑴=。所確定，求所-------

n(x-1)

(9)(8分)設(shè)/(x)=r^——，試將/(x)展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，并求-")(())(n>l).

2x-3x+l

(10)(8分)設(shè)常數(shù)?！?,討論曲線(xiàn)y=ox與y=21nx在第一象限中公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(11)(8分)設(shè)。<0,曲線(xiàn)y=+/?x當(dāng)0?x<1時(shí)yN0.又已知該拋物線(xiàn)與x軸及直線(xiàn)x=1所

圍成的圖形的面積。=」，試確定常數(shù)。與b使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積丫最小.

3

(12)(6分)設(shè))(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，(x)|WM(M為常數(shù))

811

證明：①級(jí)數(shù)Z(/(▽)一/(加))絕對(duì)收斂;

②lim/(右)存在.

四、選擇題(四選一，每小題4分)

(13)設(shè)/(x)="(x)+v(x),g(x)=M(X)-V(X),并設(shè)lim〃(x)與limv(x)均不存在,則下列結(jié)論正

x—>0x—>0

確的是[]

(A)若Am/(x)不存在,則limg(x)必存在.

A->010

(B)若lim/(x)不存在,則limg(x)必不存在.

x->0x->0

(C)若lim/(x)存在，則limg(x)必不存在.

x->0xrO

(D)若lim/(x)存在，則limg(x)必存在.

XT020

(14)曲線(xiàn)y=―5—+ln(l+/)的漸近線(xiàn)的條數(shù)[]

x(x-l)

(A)4條(B)3條.(C)2條.(D)I條.

X2"-1+X2+X

(15)設(shè)/(x)=lim^~一~則/(x)的不連續(xù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為[]

"T8X+1

(A)0個(gè)(B)l個(gè).(C)2個(gè).(D)多于2個(gè).

(16)設(shè)/(x)口,切上可導(dǎo)，且/'(a)>0,/(6)<0,下述結(jié)論不正確的是[]

(A)至少存在一點(diǎn)/e(a,b)使/(x())>/(a)；

(B)至少存在一點(diǎn)/e(a,b)使/(/)>f(b)；

(C)至少存在一點(diǎn)/e(a,b)使/'(%)=0；

(D)至少存在一點(diǎn)％e(a,。)使/(Xo)=((/⑷+/(%)).

(17)設(shè)%>0(〃=1,2廣?)，下列結(jié)論正確的是[]

as

(A)若存在N>0,當(dāng)">N時(shí)均有二包<1,則“必收斂.

(B)若存在N>0,當(dāng)〃〉N時(shí)均有冬旦〉1,則之4必發(fā)散.

an?=i

(C)若之a(chǎn)“收斂.則必存在N>0,當(dāng)〃〉N時(shí)必有也<1,

，皿an

(D)若之a(chǎn)“發(fā)散.則必存在N>0,當(dāng)〃必有聯(lián)>1.

?=>%

浙江大學(xué)2007-2008學(xué)年秋冬學(xué)期《微積分》課程期末考試試卷答案

一、(每小題6分)

24xmsx

(1)=-sec5x+4ex+/^cos^cosx_