數(shù)學(xué)歸納法（基礎(chǔ)練）

4.4數(shù)學(xué)歸納法

基礎(chǔ)練

一、單選題

1.如果?〃)=1+1+1+…(〃￡N+),那么人〃+1)次〃)等于()

233?-1

111

A------B.---1-----

3〃+23n3n+1

「11>111

3〃+13〃+23〃3〃+13〃+2

cE4十h131151117mii.111

2-觀察卜列式子:1+￥<5，1+￥+孕_<§/+萬(wàn)7+?+不<“一，則可歸納出+齊+方+…+.+1)2

小于：)

n2n-l2〃+12n

A.----B.----C.-----D.----

/2+1〃+1〃+1n+\

3.設(shè)式x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且抵幻滿足“當(dāng)人圻X2成立時(shí)總可推出人太+1巨(MIA成立.”則下列命

題總成立的是()

A.若人3心9成立，則當(dāng)k>\時(shí),均有必成立

B.若15巨25成立,則當(dāng)仁5時(shí),均有州以2成立

C.若47)<49成立，則當(dāng)Q8時(shí)，均有成立

D.若44)=25成立，則當(dāng)行4時(shí),均有必以2成立

4.已知〃為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明…+'一=2(—…時(shí)，若已假設(shè)

234n-\(〃+2〃+4

n=k(k>2,k為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證()

A.n=k+\時(shí)等式成立B.〃=&+2時(shí)等式成立

C.〃=22+2時(shí)等式成立D.〃=2伏+2)時(shí)等式成立

5.在數(shù)列中,ai=—.H,S”=〃(2〃-l)a”,通過(guò)求a2M3Q,猜想an的表達(dá)式為()

3

1111

A.---------B.---------C.-----------D.-------------

(n-l)(/i+1)2/?(2M+1)(2n-l)(2n+l)(2〃+1)(2〃+2)

6.已知/(〃)=」一+~!■+——+---+…+-V，則()

n-\nn+\〃+2n~

A.九)中共有〃項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)＜2)=g+g

B.火〃)中共有(〃+1)項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)＜2)=1H--1---1--

111

C./(〃)中共有(zr-〃+2)項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，*2)=1+2i341

D.?〃)中共有(層力+1)項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)＜2)=1+—+—+—

234

二、填空題

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題"1+,+'+…巴士2（〃WN+,且論2）”時(shí)悌一步要證明的結(jié)論

23T2

是.

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于〃的恒等式，當(dāng)〃二%時(shí)，表達(dá)式為1x4+2x7+…+嵐3A+1）=A（女+1）2,則當(dāng)〃=攵+1時(shí)，表

達(dá)式為.

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于〃的不等式」一+—…>衛(wèi)?（〃￡N+）,由遞推到n=k+\時(shí),不等式

n+l〃+22/224

的左逅的變化為.

三、解答題

10.用數(shù)學(xué)歸納法證明產(chǎn)+22+32+…+//=〃(〃+D(2"+D(〃EN+).

6

參考答案

1.【答案】D

【解析】V/(rt+l)=l+—+—+---+---1---------+--------

233/1-13〃3(〃+1)-23(〃+1)-1

233n-l

111

,:加+1)-加)二一+---+

3n3(〃+1)-23(〃+1)-1

=--4------+------.

3n3〃+13n+2

故選D

2.【答案】C

【解析】所猜測(cè)的分式的分母為〃+L而分子3,5,7,…，恰好是第(〃+1)個(gè)正奇數(shù)，即2〃+L

故選C

3.【答案】D

【解析】由數(shù)學(xué)歸納法原理可得，

若?3心9成立，則當(dāng)k>3時(shí)，均有人2)》2成立，即A不正確.

若大5巨25成立，則當(dāng)也5時(shí)，均有月女)》2成立，即B不正確.

若人7)<49成立，則當(dāng)狂6時(shí)，均有人期。2成立，即C不正確.

若人4)=25>42成立，則當(dāng)k>4時(shí),均有加I巨F成立.

故選D

4.【答案】B

【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，若已假設(shè)，片&(Q2人為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證下一個(gè)

偶數(shù)，即n=k+2時(shí)等式成立.

故選B

5.【答案】C

【解析】???由〃尸!$二〃(2〃-1)而得S2=2(2X2-I)S,

3

日1A.11

BJa\+s=o?2，??42=—=-----.

153x5

:$3=3(2x3-1)43,即--1----+。3=15。3,

315

._11

??43==-------

355x7

同理可得〃4二」一.

7x9

1

據(jù)此可猜想斯二

(2〃-1)(2〃+1)

故選C

6.【答案】C

【解析】人〃)中共有n2-(n-\)+\=n2-n+2項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)而?)=l+2+,+L

234

故選C

—,1112+2

7.【答案】14----F—I—>------

2342

【解析】因?yàn)閑2,所以第一步要證的是當(dāng)〃=2時(shí)結(jié)論成立，即l+：+g+；>竽.

故.,填te11+一1+一1+一1〉-2-+--2

2342

8.【答案】1x4+2x7+…+2(32+1)+(&+1)(32+4)=(4+1)也+2產(chǎn)

【解析】1x44-2x7+...+k(3k+1)+(A+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

故填I(lǐng)x4+2x7+...+&(34+1)+(2+1)(3A+4)=(&+1)/+2產(chǎn)

9.【答案】增加

2k+\2k+2

【解析】假設(shè)〃乂時(shí)，不等式成立，即」一+」一+...+」->￡,

k+1k+22k24

則當(dāng)〃E+i時(shí)，不等式左邊=一!—+——!——+111

+-----1----------H-------------

伏+1）+1依+1）+22k2k+l2/+1)

11

+H----+------+------

I+2I+32k2k+\2k+2

11+???+*111

----+--------H----------

k+\k+2(2攵+122+2k+\

11111

----1-----d----F------------

攵+1k+22k2Z+12k+2

1______1

故填增加2k+\~2k+2

10.【答案】證明略

【解析】證明：（1）當(dāng)片1時(shí)，左邊=1汩，右邊=ix（i+i）yxi+i）