新教材蘇教版必修第二冊(cè)第11章解三角形111~11

第11章解三角形

11.1"1.3綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1利用余弦定理和正弦定理解三角形

1.（2021全國(guó)甲文,8,5分，掇）在比中，已知展120°，力年回/展2,則BC=

（）

B.V2C.V5

2.（2021浙江,14,6分，城）在△Z6C中，/尻60。，力廬2,〃是a'的中點(diǎn)，力加2f,則

AO,cosN例C=.

3.（2021新高考/,19,12分,婚）記△Z6C的內(nèi)角4月。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

^2=ac,點(diǎn)。在邊ZC上，勿sinNA5??=asinC

⑴證明:吩廳

（2）若A氏2DC,求cos/ABC.

4.（2020新高考分，播）在①ac=W，②csin[=3,③6-百8這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求。的值;若問(wèn)題中的三角形不存

在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題:是否存在△Z6C它的內(nèi)角力以。的對(duì)邊分別為且

sinJ=V3six\B,C=^,?

6------------------

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

5.（2019江蘇,15,14分,不）在△四。中，角44。的對(duì)邊分別為a,b,c.

⑴若a=3c,W^,cos廬|,求c的值；

（2）若萼=噤，求sin（B+芻的值.

6.(2020江蘇,16,14分,姨)在△/回中，角44c的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

年3,。二金,廬45

(1)求sin。的值；

(2)在邊比上取一點(diǎn)〃使得cosNZ此總求tan/%。的值.

考點(diǎn)2三角形面積公式的應(yīng)用

7.(2021全國(guó)乙理,15,5分，母)記△力回的內(nèi)角。的對(duì)邊分別為a/,c,面積為

百,戶60。，3+。2=3&。,則b=.深度解析

8.(2019課標(biāo)全國(guó)〃,15,5分，箱)△Z6C的內(nèi)角44C的對(duì)邊分別為a,b,c.若

b=6,所2c,廬翔I」?比的面積為.

9.(2019課標(biāo)全國(guó)〃7,18,12分,*04力￡。的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

asin^^=6sin4

2

⑴求身

(2)若△力比為銳角三角形，且c=l,求△力面積的取值范圍.

考點(diǎn)3余弦定理和正弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

10.（2019江蘇,18,16分,"）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直

線型公路，，湖上有橋/以力￡是圓。的直徑）.規(guī)劃在公路,上選兩個(gè)點(diǎn)E。,并修建

兩段直線型道路分,，，規(guī)劃要求:線段PB,QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距離均不小于圓

。的半徑.已知點(diǎn)46到直線/的距離分別為北和做為垂足），測(cè)得

Z展10,/e6,吩12（單位:百米）.

⑴若道路必與橋Z6垂直,求道路心的長(zhǎng)；

⑵在規(guī)劃要求下/和0中能否有一個(gè)點(diǎn)選在。處？并說(shuō)明理由；

⑶在規(guī)劃要求下，若道路必和力的長(zhǎng)度均為?單位:百米），求當(dāng)d最小時(shí)上0兩點(diǎn)

間的距離.

DCI

三年模擬練

1.（2020江蘇南通海安高一月考,姨）已知銳角三角形/歐的內(nèi)角。的對(duì)邊分別

為24G且H=26sin4貝UcosZ+sinC的取值范圍是（）

(-今⑹D.(|,⑹

2.（2021山東昌邑一中高一期中,?。┰凇髁Ρ戎校?是的中點(diǎn)，加是陽(yáng)的中點(diǎn).若

N四”，△/比的面積為百，則前?前取最小值時(shí)，焰（）

6

V3-12D.蜉-4

3.（2021江蘇梁豐高級(jí)中學(xué)高一月考,小）在a力比中，角力、B、。所對(duì)的邊分別為a、

b、°,且1+2?&2+4+6,若△力的面積為呼，則cos管+/）sin￡的取值范圍是

4.（2020蘇北四市（徐州、宿遷、淮安、連云港）高三第一次質(zhì)量檢測(cè),*）如圖，在△

力￡。中,〃￡是￡。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，荏?AD=2AC-荏，貝ljcosNZ座的最小值

為.

5.（2021山東泰安第一中學(xué)高一期中,"）歐幾里得在《幾何原本》中,以基本定義、

公設(shè)和公理作為全書推理的出發(fā)點(diǎn).其中第/卷命題47是著名的畢達(dá)哥拉斯定理

（勾股定理），書中給出了一種證明思路:如圖,比中,N掰e90。，四邊形

ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,ANIDE于點(diǎn)、N,交于點(diǎn)M.先證AZ龐與△物。全等,

繼而得到矩形施愀與正方形ABHL面積相等，同理可得到矩形CW與正方形ACFG

面積相等,進(jìn)一步定理可得證.在該圖中，若tanN掰斤提則sinN應(yīng)大,

6.（2021山東臨沂高一期末,*）由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情暴發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍

停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.

李克強(qiáng)總理在6月1日考察山東煙臺(tái)一處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是

就業(yè)勘位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī).某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者

陳某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前'擺地?cái)?，經(jīng)營(yíng)冷飲生意.已知該商場(chǎng)門前是一塊如圖所示的

區(qū)域，其中NZ吠120°,且在該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)4處有一個(gè)路燈，經(jīng)測(cè)量點(diǎn)7?到區(qū)域邊界

PA、分的距離分別為心4叫兄*6m.陳某準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)月修建一條長(zhǎng)椅網(wǎng)點(diǎn)也〃分別

落在山,心上，長(zhǎng)椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計(jì)），以供購(gòu)買冷飲的人休息.

⑴求已人兩點(diǎn)間的距離；

（2）為優(yōu)化經(jīng)營(yíng)面積，當(dāng)加等于多少時(shí)，該三角形區(qū)域冏W的面積最小？并求出面積

的最小值.

A

S'

PTNB

7.（2020江蘇南通通州高一下學(xué)期期中,"）如圖，在Rt△26。中，點(diǎn)瓶及在斜邊BC上

的〃異于且N柱〃。之間）.

⑴若是/掰。的平分線4加3,且讖2幽求△力比的面積;

（2）已知45=3,/年3百,/例年三，設(shè)N掰加9.

6

①若sin。=與，求腑的長(zhǎng)；

②求△/腑面積的最小值.

RM1\1

答案全解全析

第n章解三角形

綜合拔高練

五年高考練

1.D解法一:設(shè)△Z6C的內(nèi)角力以。的對(duì)邊分別為8互0,在4力￡。中,由題意知

為g,c=2,由余弦定理得代I?++2cacosa即19=4+a2-2?2a?cosl20°,整理得

4+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍)，所以BO3.故選D.

解法二:在回中，由正弦定理得黑=黑，即普=告，所以sin版縝后又

sinFsinCsinl20sinCV19yj19

0°360°,所以COS/?=Vl-sin2C=^,所以

?-JTQX-^5-

sin走sin(￡+C)=sin及os/cos厭簡(jiǎn)會(huì)?><亮+?>門=慧，所以況浮=十=3.

T

2.答案2質(zhì);譽(yù)

解析解法一:由題意知在△力胸中總戶2,N左60°，力22g,

由余弦定理得A生A#+B就-2AB?酬cos及即12=4+胡-4-BM'

解得聯(lián)4或聯(lián)-2(舍)，

?.?〃為的中點(diǎn),.?.冊(cè)心4,小8,

在△加。中,由余弦定理知AC=Ag+BC-2AB?BC*cosB,

：.必=4+64-2X2X8X1=52,

.?.心2底.

在△聞心中，由余弦定理可得

cosN也"苗+狀.=12產(chǎn)生=返.

2AM,AC2x2>/3x2\/1313

解法二:過(guò)力作AHLBC交BC于H,'：AB=2,ZB=6Q°,：.A4，又

22

Z/2同/.HHi,B后MO4,AOyjAH+HC2=JAH2+(HM+MC)=V3+49=2713.

在LAMC中，由余弦定理可得

cosN例建筆%普.12+52-16_2V39

2X2V3X2V13131

3.解析⑴證明:在△26。中，由BD?sinNZ叱asin。及正弦定理可得BD?Ka?c,

又出ac,所以BD?斤|故BD=b.

(2)由Z氏2%得A%b,D*,

在4ABD中,COSZ=4J+4BJBD匕g匕典

'2AD-AB2x|bc孤'

在△板中,05/二叱：廿2嚴(yán)2=、2：一02

'2AC?AB2bc'

所以之1￡=廬+02-。2

人孤2bc'

化簡(jiǎn)得3c2-1162+6養(yǎng)0,

又一=ac,所以3c2_llac+6a2=0,

即(b3a)(3b2a)=0,

所以c=3a或c=1a.

當(dāng)c=3a時(shí),彥=&<^3],所以所遮a,此時(shí)a+儀g故a,女c構(gòu)不成三角形;

當(dāng)c=|a時(shí)，為ac=|a；所以樂(lè)黑,此時(shí)a,4c可以構(gòu)成三角形，

故片名樂(lè)箓,所以在4力歐中,cosNZ比曰/=辦學(xué)=白

12

332ac2a?第

4.解析方案一:選條件①.

由可和余弦定理得官『考.

62ab2

由siih4=V5sin5及正弦定理得年V55.

于是直嚀畔，由此可得樂(lè)C.

273b乙

由①ac^VJ,解得a=V3,Z^c=l.

因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)^1.

方案二:選條件②.

由可和余弦定理得彎產(chǎn)景

62ab2

由sin/=V5sin夕及正弦定理得年百5.

千日3b2+b2~c2—y/3

丁72例2-不

由此可得b=c,B=C=l，A=^-.

oJ

由②csinZ=3,所以c^Z^2V3,a=6.

因此，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)C=243.

方案三:選條件③.

由黨和余弦定理得穹『善.

62ab2

由sinZ=gsin￡及正弦定理得3F塞b.

于是嘿r考，由此可得fc.

由③c=V54與b=c矛盾.

因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在.

5.解析⑴因?yàn)?=3。,反仿(：05f全

所以由C0S廬。-廬

2ac

2-(3C)2+C2-(V2)2

［否2x3cxc'

即I9解得。卷.

(2)因?yàn)榻裆郏?/p>

所以由正弦定理彳導(dǎo)篝=嚶，

所以cos7?=2sin^

從而cos)廬(2siM；

即cos之企4(l—cos2助故cos2^.

因?yàn)閟in皮0,所以cos於2sin皮0,

從而cos'等.

因此sin(B+步cost等.

6.解析⑴在△Z6C中，因?yàn)閍=3,c-魚，戶45°,所以由廬得6=9+2-

2X3XV2XCOS45°=5,所以斤煙.

在△力￡0中，由馬得磊=霽，所以sineg

s\nBsinCsin45sinC5

(2)在中，因?yàn)閏osZAD(=~l，

所以NN%為鈍角，

而氏180°,所以NO為銳角,

故COSC=Vl-sin2C=2^,

貝I」tanT片，

cosc2

因?yàn)閏osZAD(=~l，

所以sinZADC=y/i-cos2ZADC=1,

tanNZ〃仁sinZADC-.3

cosZADC4

從而tanN的＜^tan(180°-ZADC-ZQ=-tan(ZADC+Z6)=-^ADC+^C

1tsn^-ADC,tanf

7.答案2或

解析由S△標(biāo)=gacsin廬^ac=V^得ac=4.由tj=a+c-2ac?cosB=a+c-ac,

結(jié)合a2+c=3ac得至!)Z?2=2ac=8,/.b=2也

方法總結(jié)

解三角形問(wèn)題時(shí)，若條件中含有邊的二次式和角,則考慮用余弦定理;若條件中含有

角或邊的一次式,則考慮用正弦定理;特征不明顯時(shí)，兩個(gè)可能都用.

8.答案6V3

解析由廬:a2+c2_2accos￡及已知得62=(2c)2+d-2X2cXcXg,

.,.c=2g(c=-2V5舍去)..,.齊2c-4g,

Z.4ABC的面積S=^acsingX4V3X2V3X堂6VL

9.解析(1)由題設(shè)及正弦定理得sinZ?sin竽=sin￡sin4

因?yàn)閟inZWO,所以sing^=sin￡.

由Z+吩e180。，可得sin^=cosf,

故cos|=2sin|cos1.

因?yàn)閏os#0,所以sin|=|,

因?yàn)?°<B<180°,

所以0°<(<90。，所以5=60

(2)由題設(shè)及⑴知△力的面積^acsinB=^a.

由正弦定理得_csin24_sin(120°-C)_V3_|_1

'sinCsinC2tanC2*

由于△4%為銳角三角形,

故0°儲(chǔ)<90°,0°〈伏90°.

由⑴知A+(=120。，所以30°<6<90°,

故關(guān)L水2,從而o爭(zhēng)SZ嘩.

因此,△26。面積的取值范圍是(看中.

oZ

10.解析⑴如圖，過(guò)力作四，能垂足為￡.

由已知條件得，四邊形/切￡為矩形，

DE=BE=AC=6百米，力后6Zt8百米.

因?yàn)楸兀运詂osN必)sinNZ應(yīng)書喙

所以小詈15(百米).

cosNPBOz'7

5

因此道路分的長(zhǎng)為15百米.

?2191

（2）不能，理由如下:

①若尸在〃處，由⑴可得￡在圓上，則線段座上的點(diǎn)（除用勾到點(diǎn)。的距離均小于圓

。的半徑，所以2選在。處不滿足規(guī)劃要求.

②若0在〃處，連接Z〃貝|J4JAE2+ED2=10百米，

從而COS/物女號(hào)黑黑喉〉0,

所以/胡。為銳角.所以線段42上存在點(diǎn)到點(diǎn)。的距離小于圓。的半徑.

因此0選在〃處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上/和0均不能選在。處.

（3）先討論點(diǎn)〃的位置.

當(dāng)N如砍90°時(shí)，線段分上存在點(diǎn)到點(diǎn)。的距離小于圓。的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃

要求；

當(dāng)/瞅290。時(shí),對(duì)線段分上任意一點(diǎn)￡0Q/即線段期上所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距

離均不小于圓。的半徑,點(diǎn)尸符合規(guī)劃要求.

設(shè)幺為/上一點(diǎn)，且由⑴知，幺展15百米，

此時(shí)幺氏XSsinNX吩X￡cosN場(chǎng)=15X|=9（百米）；

當(dāng)N加分90。時(shí)，在△陽(yáng)￡中，質(zhì)X廬15百米.

由上可知,215百米.再討論點(diǎn)0的位置.

由（2）知,要使得,215百米，點(diǎn)0只有位于點(diǎn)。的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)

，=15百米時(shí)，份師方:五芋*=3歷（百米）.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)。的距

離均不小于圓。的半徑.

綜上，當(dāng)PB2AB,點(diǎn)0位于點(diǎn)。右側(cè)，且CQ=342i百米時(shí),d最小，此時(shí)五,0兩點(diǎn)間的距

離凰外⑦817+3同（百米）.

因此，當(dāng)d最小時(shí)￡0兩點(diǎn)間的距離為（17+3歷）百米.

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.B由正弦定理及已知得sin/=2sina,sinJ,

因?yàn)閟inZWO,所以sin生;，

由于三角形力是銳角三角形,

所以B=ol

由

所以cos/+sinC=cos/+sin償-a)

=cosJ+^2cos/+冬2inA

=-cos24+—sinJ

22

=V5sin(/+?

由于吊

所以si(+/(*),

所以回in(4+§若,|).

2.A因?yàn)樵贏Z比中,N掰e巳△力比的面積為6,

6

所以?AB*AC*sin：

26

所以Z￡?J<^4V3,

又〃是灰的中點(diǎn)，"是陽(yáng)的中點(diǎn),

所以赤號(hào)(同+三后荏+海,

所i^AN-(AB+AM)~(AB+^AB+^AC^-AB+^AC,

則俞,AN=^-AB+-AC^,(-

萍+IAB|2+1XB?AC+l\AC\2

22Z

得同巴|研宿cos去■^\AC\2^\AB\l^cl+^l^l\AC\=^\AB\?I初=6,

當(dāng)且僅當(dāng)⑸詞=|力，即H皆=2時(shí)等號(hào)成立，所以在△加。中由余弦定理可得

BG=AR+AG-2AB-ACcosZBAO4+12-2X2X2Kx苧=4,

所以B（=2.

故選A.

3.B由三角形的面積公式可得S△咨；?absinC=^-,absinC=3y/3.

c+2ab=a+lj+6,

?QQg^T_a24-b2-c2_2ab-6_ab-3

2ab2abab'

由siWcOsZj可得件）2+%戶1,/.5/^6,/.cos

???0（伏兀廁0〈偌,

/.cos（m+z）sin企sin/sin企sin/sin（/+6）=sin/GsirL4+

@COSA）總sin/+漁sin/cosZ=逅sin2/+^^^?sin（24-當(dāng)+L

316661

.?.1〈siQ4戶1,

.,.0<|sin（2X-=）+|<|,

因此cos管+4）sin￡的取值范圍是（o,|],

故選B.

4.答案i

解析解法一：AD=AB+BD^BD-BC,

AD=AB+^5C=AB+|（XC-XB）

=1椅挺①

同理可得就三荏+:幅②

由（I）^^AB=2AD-AE,AC=2AE-AD,

"."AB?AD=2AC?福

(2AD-AE)?AD=2(2AE-AD),AE,

：.2AD2+AD?版=4版2,

/.2AD2+\AD\?\AE\?COSZDAE=^AE2,

由余弦定理得2萬(wàn)2+1萬(wàn)1?1福?正言武

2\AD\,\AE\

：.^AD2+AD2+AE2-DE2=SAE2,

：.AE2=^(5AD2-DE2),

即初=；（5/力-吐）,

.加+花-盤一心+?！?-池2+；謂

由余弦定理得cosZADE=-

2AD?DE2AD?DE

_延處

2+2_AD_^_4DE

2AD?DE~7DE7AD

22唇譙弓當(dāng)且僅當(dāng)益=喘，即Z氏2龐時(shí)等號(hào)成立.

...cosNZ龐的最小值為之

解法二:由題意得，方=方+方=而+前，

AC=AD+'DC=AD-2'ED,

AE=AD+~DE=AD-~ED,

X"."AB?AD=2AC?AE,

(AD+'ED).XD=2(^D-2EP)?(XD-ED),

整理彳導(dǎo)7萬(wàn),ED=XD2+4FD2,

即7|加國(guó)IcosN力吐I利?+4屈

所以cos/血族吧+4陽(yáng)2

7\AD\-\ED\

當(dāng)且僅當(dāng)黑吉黑，即|詞=2屈］時(shí)，等號(hào)成立.

\ED\\AD\

二?cosN/座的最小值為:

5,答案S

解析設(shè)AB=k,A用以80&可得貨+宿=宜,又△ABE^X

HBC,.*.AB^C^HL1+CL2=lk2+(m+k)2,

叢

在ABE中,tanN掰后c萼os駕BAE總3，

又sir?/創(chuàng)研cos?/胡斤］,

??.sinN現(xiàn)后高,cosN現(xiàn)后品，

由cos4BAE:AB'AEFEZ

2AB?AE

_/c2+(k+m)2+fc2-n2

2kjk2+(k+m)2

-2k2+2km

2kj2k2+2km+m.2

k+m—3

J2k2+m2+2km

化簡(jiǎn)，得8A2-2吐/=0,

解得廳24爐-4A舍去),

又J^+in-n,/."亞k,

在△11班中，由AB_BE

sinZBEAsinZBAE1

即k?=今,可得sinN

sinZBEA

TTo

6.解析⑴如圖，連接ST；PR,

在△EST中,/必％60°,

由余弦定理可得S72=42+62-2X4X6XCOS60°=28,...S乃2bm.

由余弦定理可得cosNS怵-28+36-16-2V7

嘿等2x277x67

在△處7中,sinN〃於cosNS府好

由正弦定理可得心：,ST

sinl20°

....SMPTS=2"幺M（）

收

sinl20°T3',

在Rt△夕夕中，跳^^+夕邑干+^^）；苧.?.小殍m.

（2）V5k?F|?PM-PN-sinl20°PM-PN,又5kmkSw”+叢

戰(zhàn)弓X