第18講重難點拓展與圓有關的最值(范圍)問題（三大題型歸納分層練）

第18講重難點拓展：與圓有關的最值(范圍)問題【蘇教版2019選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01與距離有關的最值問題 2題型02與面積相關的最值問題 6題型03利用數(shù)學式的幾何意義解圓的最值問題 9分層練習 12夯實基礎 12能力提升 21創(chuàng)新拓展 28與距離有關的最值問題已知圓心到直線(或圓外一點)的距離為d，圓的半徑為r.1．圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.2．直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.3．過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝2eq\r(r2－d2)，最大值＝2r.4．直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝eq\r(d2－r2).題型01與距離有關的最值問題【解題策略】(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數(shù)形結合確定距離的最值【典例分析】【例1】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別為圓C1，圓C2上的點，P為x軸上的動點，則PM＋PN的最小值為()A.eq\r(17) B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．5eq\r(2)－4答案D解析如圖所示，圓C1關于x軸對稱的圓的圓心坐標為A(2，－3)，半徑為1，圓C2的圓心坐標為(3,4)，半徑為3.設M′為點M關于x軸對稱的點，由圖象可知，當P，M′，N三點共線時，PM＋PN＝PM′＋PN取得最小值，且PM＋PN的最小值為圓A與圓C2的連心線的長減去兩個圓的半徑之和，即AC2－3－1＝eq\r(3－22＋4＋32)－4＝5eq\r(2)－4.【變式演練】【變式1】（2324高二上·北京延慶·期末）已知圓上一點和圓上一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩圓的位置關系數(shù)形結合計算即可.【詳解】易知圓的圓心為原點，半徑，由圓，故其圓心為，半徑，兩圓圓心距為，所以兩圓相交，則，如圖所示.故選：A【變式2】（2324高二下·廣西·階段練習）已知點M在直線上，點P在圓上，過點M引圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出切點弦所過的定點，再利用數(shù)量積的運算律，借助圓上的點到定點距離的最值特征求出最大值即可.【詳解】設點，圓圓心，半徑，顯然切點在以線段為直徑的圓上，此圓方程為，整理得，與圓的方程相減得直線的方程，直線的方程為，即，由，解得，即直線恒過定點，連接交于，由切線長定理得，且是線段的中點，，顯然，當且僅當與重合，且是延長線與圓的交點，即點共線，且圓心在線段上時取等號，此時，所以.故答案為：【變式3】（2324高二下·河南·階段練習）已知直線交于兩點.(1)若，求直線的方程；(2)若的中點為為坐標原點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）結合點到直線距離公式，根據(jù)垂徑定理列式求解，即可求解；（2）設，利用結合數(shù)量積的坐標運算求得點的軌跡，再根據(jù)點與圓的位置關系求解最值即可.【詳解】（1）由題意知，圓心到直線的距離為，故，故，故直線的方程為，即.（2）設，因為是的中點，所以，所以，又直線過定點，所以，所以，整理得，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故的最大值為.題型02與面積相關的最值問題【解題策略】求圓的面積的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數(shù)關系或者幾何圖形的關系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數(shù)形結合思想求解【典例分析】【例2】（2324高二下·江蘇南京·期中）已知點在直線上運動，且，點在圓上，則的面積的最大值為（

）A．8 B．5 C．2 D．1【答案】A【分析】設圓心到直線的距離為到直線的距離為，易知當最大時，，此時的面積最大，由此容易得解．【詳解】設圓心到直線的距離為到直線的距離為，又圓心坐標為，則，又半徑為，則當最大時，，此時面積也最大，．故選：A．【變式演練】【變式1】（2324高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】先求出圓上的點到直線的最大距離，再利用面積公式求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，，為點到直線的距離，又點在圓上，，又，，面積的最大值是.故選：A【變式2】（2024高二上·全國·專題練習）已知點，，點是圓上的動點，則面積的最小值為.【答案】1【分析】由題意數(shù)形結合首先確定三角形面積最小時點M的位置，然后結合幾何圖形的特征可得三角形的面積.【詳解】根據(jù)題意，得圓的圓心為，半徑，，，所在的直線是軸，當?shù)街本€的距離最小時，的面積最小，則到直線的距離的最小值，則面積的最小值為.故答案為：1【變式3】（2324高二上·安徽合肥·期中）已知圓.(1)直線過點，且與圓相切，求直線的方程；(2)設直線與圓相交于，兩點，點為圓上的一動點，求的面積S的最大值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分類討論直線的斜率是否存在，結合點到直線的距離公式運算求解；（2）根據(jù)垂徑定理求弦長，結合圓的性質(zhì)求面積最大值.【詳解】（1）由題意得，圓的半徑，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，解得，所以直線的方程為；當直線的斜率不存在時，直線的方程為，顯然與圓相切；綜上，直線的方程為或.（2）由題意得圓心到直線的距離，所以，點到直線的距離的最大值為，則的面積的最大值題型03利用數(shù)學式的幾何意義解圓的最值問題【解題策略】(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)的截距的最值問題【典例分析】【例3】已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值；(3)求x＋y的最大值與最小值．解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化為(x－3)2＋(y－3)2＝4.(1)eq\f(y,x)表示圓上的點P與原點連線所在直線的斜率，如圖(1)所示，顯然PO(O為坐標原點)與圓相切時，斜率最大或最小．設切線方程為y＝kx(由題意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于半徑2，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值為eq\f(9－2\r(14),5).(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圓上的點P到E(－1,0)的距離的平方再加2，所以當點P與點E的距離最大或最小時，所求式子取得最大值或最小值，如圖(2)所示，顯然點E在圓C的外部，所以點P與點E距離的最大值為P1E＝CE＋2，點P與點E距離的最小值為P2E＝CE－2.又CE＝eq\r(3＋12＋32)＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值為(5＋2)2＋2＝51，最小值為(5－2)2＋2＝11.(3)設x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，如圖(3)所示，顯然當動直線y＝－x＋b與圓(x－3)2＋(y－3)2＝4相切時，b取得最大值或最小值，此時圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓的半徑2，則eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值為6＋2eq\r(2)，最小值為6－2eq\r(2).【變式演練】【變式1】（多選）（2223高二上·江蘇徐州·階段練習）已知實數(shù)滿足方程，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【分析】求得圓的圓心和半徑，設，，將ABD中的式子化為三角函數(shù)的形式，根據(jù)三角函數(shù)的最值可求得結果；根據(jù)的幾何意義，利用圓的切線的求解方法可求得的取值范圍，由此確定C的正誤.【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為.設圓上任意一點的坐標為.即.選項A中，當時，取得最大值為，A正確.選項B中，，當時，取得最大值為，B不正確.C，如圖所示，當過原點的直線與圓相切與第一象限時，最大.設切線的方程為，即，圓心到切線的距離為.所以的最大值為，C錯誤D選項，，當時，取得最大值為，D正確..故選：AD【變式2】（2324高二上·吉林·期末）若平面內(nèi)兩定點間的距離為2,動點滿足,則的最大值為.【答案】【分析】通過建立平面直角坐標系,根據(jù)距離公式可得出點的軌跡方程為圓,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得的最大值,再代入運算即可.【詳解】設,,由得即,則由圓的幾何性質(zhì)可知所以即最大值為.故答案為:.【變式3】（2324高二下·貴州黔西·開學考試）已知實數(shù)滿足(1)求最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）利用的幾何意義：圓上一點與坐標原點連線的斜率，即可求出答案；（2）利用的幾何意義：圓上一點到坐標原點距離的平方，即可求出答案；【詳解】（1）原方程化為：，表示以為圓心，為半徑的圓，設，即，當直線與圓相切時，斜率取得最大值與最小值，此時有：，解得，所以的最大值為，最小值為.（2）表示圓上一點到原點距離的平方，易知在原點與圓心的連線與圓的兩個交點出取得最大值與最小值，又圓心到原點的距離為，半徑為，所以【夯實基礎】一、單選題1．（2324高二上·山西·期末）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，其圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】設圓的圓心為，即可得到圓的圓心的軌跡方程，求出點到直線的距離，即可得解.【詳解】設圓的圓心為，則，即圓的圓心的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其中點到直線的距離，則圓心到直線的距離的最大值為.故選：D2．（2324高二上·廣東廣州·階段練習）已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用點線距離、弦長的幾何求法求，確定面積最大點P的位置，即可求面積最大值.【詳解】由圓心為，半徑為，則圓心到直線距離，所以，要使面積最大，只需圓上一動點P到直線距離最遠，為，所以面積的最大值是.故選：A3．（2324高二下·湖南·期中）設A為直線上一點，P，Q分別在圓與圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出關于直線對稱的點的坐標，轉化即可求解.【詳解】設關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，，即，由對稱性可知，對于圓，圓心，半徑，，當且僅當A，C，三點共線時等號成立，由于，，則.故選A．4．（2324高二上·廣西桂林·期末）已知點，、是圓上的兩個動點，且滿足，為線段的中點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，點在以原點為圓心，半徑為的圓上運動，利用圓的幾何性質(zhì)可知，當為射線與圓的交點時，取最大值，即可得解.【詳解】如下圖所示：圓的圓心為原點，半徑為，因為、是圓上的兩個動點，且滿足，為線段的中點，由垂徑定理可知，，則，所以，點在以原點為圓心，半徑為的圓上運動，則.當且僅當為射線與圓的交點時，等號成立，故的最大值為.故選：B.二、多選題5．（2324高三上·遼寧·期末）已知直線與圓，則（

）A．直線的傾斜角是B．圓的半徑是4C．直線與圓相交D．圓上的點到直線的距離的最大值是7【答案】BCD【分析】對于A：求出直線的斜率即可得傾斜角；對于B：求出圓的標準式即可；對于CD：求出圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】直線，即，斜率為，則傾斜角是，錯誤；圓，即，圓心為，半徑為4，正確；圓心到直線的距離，則直線與圓相交，故正確；圓上的點到直線的距離的最大值為，則正確.故選：BCD.6．（2223高二上·云南臨滄·階段練習）已知圓和圓的交點為，則下列說法正確的是（

）A．兩圓的圓心距B．直線的方程為C．圓上存在兩點和，使得D．圓上的點到直線的最大距離為【答案】AD【分析】A選項，求出兩圓的圓心，得到圓心距；B選項，兩圓相減得到直線的方程；C選項，線段是圓的直徑，故C錯誤；D選項，求出圓心到直線的距離，從而得到最大距離.【詳解】對于，因為圓的圓心坐標為，圓的圓心坐標，因為兩個圓相交，所以兩圓的圓心距，故A正確；對于，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B錯誤；對于，由B選項可知，直線的方程為，由于滿足上，故直線經(jīng)過圓的圓心坐標，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長的弦，故C錯誤；對于，圓的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，故D正確，故選：AD.三、填空題7．（2223高二上·江蘇淮安·期中）在平面直角坐標系中，直線與坐標軸x、y分別交于A、B兩點，點P是圓上一動點，直線在x和y軸上的截距之和為，三角形面積的最小值為.【答案】/7.5【分析】利用給定條件，結合直線在坐標軸上的截距的意義計算即可；求出及點到直線的距離最小值即可作答.【詳解】直線交軸于點，交軸于點，所以直線在x和y軸上的截距之和為；

圓，即的圓心，半徑為，點到直線的距離，因此圓上的動點到直線的距離最小值為，所以面積的最小值為.故答案為：；8．（2324高二上·湖南常德·期中）著名數(shù)學家阿波羅證明過這樣的一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點軌跡是圓，后世將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B的距離為2，動點P滿足，當P，A，B不共線時，求三角形PAB面積的最大值．【答案】/【分析】建立直角坐標系，根據(jù)題意，求得動點P軌跡，再結合求出三角形高的最大值，進而即可求解．【詳解】設以所在的直線為軸，以線段垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，不妨設，，，如圖所示，

由，則，整理得，所以動點P軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當點P到軸距離最大，即最大距離為時，的面積最大，所以面積的最大值為．故答案為：．9．（2324高二上·福建福州·期中）已知圓，從點向圓作兩條切線、，切點分別為、，若，則點到直線的最小距離為．【答案】【分析】連接、，分析可知為正方形，可得出，可知的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，求出圓心到直線的距離，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點到直線的距離的最小值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，連接、，

則，，又因為，且，所以，四邊形為正方形，則，即，即，所以，點的軌跡方程為，即點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，圓心到直線的距離為，因此，點到直線的最小距離為.故答案為：.四、解答題10．（2324高二上·河南鄭州·階段練習）平面直角坐標系中有一個，已知，，且．(1)求頂點A的軌跡方程；(2)求的面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用兩點距離公式及已知求軌跡方程，注意三點構成三角形；（2）確定圓上點到x軸最大距離，即可得三角形最大面積.【詳解】（1）設，又，，且，∴，整理得，由于三點要構成三角形，軌跡方程需去掉x軸上交點，∴頂點A的軌跡方程為；

（2）可化為，即圓的半徑為∴A到x軸的最大距離為，故的面積的最大值為.11．（2324高二上·貴州六盤水·階段練習）已知圓的圓心的坐標為，且經(jīng)過點．(1)求圓的標準方程；(2)若為圓上的一個動點，求點到直線的距離的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得圓的半徑為，結合圓的標準方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得圓心到直線距離為，進而求得點到直線的距離的最小值．【詳解】（1）解：因為圓的圓心的坐標為，且經(jīng)過點，可得圓的半徑為，所以圓的標準方程為．（2）解：由題意，圓心到直線的距離為，所以點到直線的距離的最小值為【能力提升】一、單選題1．（2223高二上·廣東深圳·階段練習）已知點，點在圓上，則△的面積的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【分析】首先求出直線AB的方程和線段AB的長度，利用圓心到直線的距離再減去圓的半徑得出△ABC的高的最小值，即可求解.【詳解】圓的圓心，半徑為1∵，則，直線圓心到直線的距離∵△ABC的面積最小時，點C到直線AB的距離最短，該最短距離即圓心到直線AB的距離減去圓的半徑∴邊上高的最小值為，則的最小值為故選：D.2．（2023高二·江蘇·專題練習）阿波羅尼斯證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這類圓稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，點、，動點P到點的距離之比為，當不共線時，面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標系，根據(jù)題意，求得圓的方程，結合圖象和圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】以所在的直線為軸，以線段垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，由，，設，則，整理得，即軌跡為以為圓心，半徑為的圓，當點P到軸距離最大時，的面積最大，所以面積的最大值是，故選：A.

3．（2324高二上·天津·期中）已知點，，點C為圓上一點，則的面積的最大值為（

）A．12 B． C． D．6【答案】D【分析】先求解出直線的方程，然后將圓心到直線的距離再加上半徑作為的高的最大值，由此求解出的面積的最大值.【詳解】因為，，所以，又因為圓的方程為，所以圓心為，半徑為，所以圓上點到直線的最大距離為，所以的面積的最大值為，故選：D.4．（2324高二上·四川遂寧·期中）圓C：上一點P到直線：的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的方程，求出圓心和半徑，由圓心到直線的距離大于半徑，所以圓C上一點P到直線的距離的最小值，求解即可.【詳解】圓C：的圓心為，半徑為，直線：可化為，圓心到直線的距離為，所以圓C上一點P到直線的距離的最小值為.故選：A二、多選題5．（2324高二上·江蘇常州·期中）圓與圓相交于、兩點，則（

）A．的直線方程為B．公共弦的長為C．線段的垂直平分線方程為D．圓上的點與圓上的點的最大距離為【答案】AD【分析】將兩圓方程作差，可得出直線的方程，可判斷A選項；求出直線截圓所得弦長，可判斷B選項；分析可知，線段的垂直平分線為直線，求出直線的方程，可判斷C選項；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，將兩圓方程作差可得，即，所以，直線的方程為，A對；對于B選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，，B錯；對于C選項，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，連接、、、，因為，所以，直線過圓心，易知為的中點，又因為，所以，，所以，垂直平分線段，，則直線的方程為，即，C錯；對于D選項，圓上的點與圓上的點的最大距離為，D對.故選：AD.6．（2324高二上·四川攀枝花·期末）已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．若點在圓的內(nèi)部，則B．若圓，外切，則C．圓上的點到直線的最短距離為1D．過點作圓的切線，則的方程是或【答案】BCD【分析】根據(jù)點在圓的內(nèi)部解不等式即可判斷A錯誤；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知B正確；利用點到直線的距離公式及直徑是圓中最長的弦即可知C正確；對直線的斜率是否存在進行分類討論，由點到直線距離公式即可得D正確.【詳解】對于A，因為，則的方程恒表示圓，由點在圓的內(nèi)部，得，解得，故A錯誤；對于B，圓的標準方程為，圓心為，半徑，圓的標準方程為，圓心為，半徑，若圓，外切，則，即，解得，故B正確；對于C，由圓的圓心為，半徑，所以圓的圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最短距離為，故C正確；對于D，當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程是，圓心到的距離，滿足要求，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設的方程為，圓心到的距離為，解得，所以的方程是，綜上，的方程是或，故D正確.故選：BCD.三、填空題7．（2023高二上·全國·專題練習）圓上的點到直線的距離的最大值為.【答案】【分析】先求出圓心到直線的距離，再加上圓的半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的距離的最大值為.故答案為：8．（2223高二上·陜西西安·期末）已知直線與圓，則圓上的點到直線的距離的最小值為.【答案】【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知所求最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【詳解】由圓方程得：圓心，半徑，圓心到直線的距離，圓上的點到直線距離的最小值為.故答案為：.9．（2324高二上·安徽·階段練習）已知半徑為的圓C經(jīng)過點，則圓心C到直線的距離的最大值為．【答案】【分析】確定圓心C的軌跡方程，利用點到直線的距離公式，求出到直線l的距離，加上軌跡的半徑，即得答案.【詳解】設圓心C的坐標為，因為半徑為的圓C經(jīng)過點,所以，所以點C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，

故圓心C到直線的距離的最大值為點A到直線l的距離加上半徑，即，故答案為：四、解答題10．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知點P為圓上的動點，求點P到直線的距離的最小值.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，當為過圓心作直線的垂線與圓的交點（靠近直線）的時候，到已知直線的距離最短，所以利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后減去半徑即可求出最短距離.【詳解】把圓的方程化為標準方程得：所以圓心，圓的半徑，則圓心到直線的距離如圖，過圓心作垂直直線，交圓于點（靠近直線），此時點到直線的距離最短，即動點到直線距離的最小值為.

11．（2324高二上·內(nèi)蒙古·階段練習）已知為圓上一動點，為直線上一個動點．(1)求圓心的坐標和圓的半徑；(2)求的最小值．【答案】(1)圓心坐標為，半徑為(2)【分析】（1）化簡圓的方程為標準方程，進而求得圓的圓心坐標和半徑；（2）求得圓心到直線的距離，結合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，圓的方程可化為，所以圓心的坐標為，圓的半徑為．（2）解：由題意，圓心到直線的距離為，所以，即的最小值為【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高二上·浙江杭州·期中）已知直線：與直線：相交于點，則當實數(shù)變化時，點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可知直線，分別過定點，，且兩直線垂直，點的軌跡是以為直徑的圓，點到直線的距離的最大值即為圓心到直線的距離與半徑的和.【詳解】由已知直線，分別過定點，，當時，：，：，交點為，當時，直線的斜率為，直線的斜率為，斜率的乘積為，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心坐標為，半徑，所以圓的方程為，不包括點，點滿足該方程，圓心到直線的距離為，所以點到直線的距離的最大值為.故選：.二、多選題2