專題04 隨機變量及其分布（考點串講+熱考題型）（高教版2021·拓展模塊下冊）（解析版）

專題04隨機變量及其分布考點串講考點串講考點一、離散型隨機變量及其分布（1）隨機變量的基本概念隨機變量的概念：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.常用希臘字母、等表示．離散型隨機變量的概念：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．連續(xù)型隨機變量的概念：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量．（2）離散型隨機變量的分布列及其數(shù)字特征離散型隨機變量的分布列：設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列．ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…注：分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足：，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：，；，．考點二、離散型隨機變量的期望和方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列，如下表所示X…P…則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望。稱為隨機變量的方差，稱為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差．考點三、二項分布（1）重伯努利試驗(次獨立重復(fù)試驗)：我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.（2）二項分布：一般地，在重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．（3）二項分布的均值與方差：若隨機變量服從參數(shù)為,的二項分布，即,則,.考點四、正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，如圖②.若隨機變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當(dāng)，時，稱隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．（2）正態(tài)曲線的特點：曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；曲線在處達到峰值；當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近軸．（3）正態(tài)分布的期望與方差若，則，．（4）正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：；；．在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為原則．（5）利用正態(tài)分布求概率的兩個方法對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線對稱的區(qū)間概率相等．如：；．“”法：利用落在區(qū)間內(nèi)的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解．熱考題型熱考題型類型一、離散型隨機變量及其分布【例1】下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿x軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)X；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離Y．其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；對于②，沿x軸進行隨機運動的質(zhì)點，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；對于③，一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；對于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．故選：B．【例2】若隨機變量ξ只能取兩個值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【答案】答案見解析【解析】解：由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列為：ξ01P【變式1】下列隨機變量X不是離散型隨機變量的是()A．某機場候機室中一天的游客數(shù)量為XB．某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為XC．某水文站觀察到一天中長江的水位為XD．某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X【答案】C【解析】A、B、D中的隨機變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；C中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故其不是離散型隨機變量.故選：C.【變式2】籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的分布列．【答案】見解析【解析】解：設(shè)此運動員罰球1次的得分為ξ，則ξ的分布列為ξ01P0.30.7類型二、離散型隨機變量的期望和方差【例1】一袋中裝有編號分別為1，2，3，4的4個球，現(xiàn)從中隨機取出2個球，用X表示取出球的最大編號，則EX=（A．2 B．3 C．103 D．【答案】C【解析】由題意隨機變量X所有可能取值為2，3，4.且P(X=2)=1因此X的分布列為：X234P111則EX故選：C.【例2】若隨機變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可得，所以，所以.故選：C.【變式1】已知離散型隨機變量X的分布列為X123P3a1則X的數(shù)學(xué)期望EX=（32 B．2C．52 D．【答案】A【解析】由題意得35+a+1故EX故選：A.【變式2】投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示．股票A收益的分布列收益X/元-02概率0.10.30.6股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大？(2)投資哪種股票的風(fēng)險較高？【答案】(1)股票A的期望收益大；(2)投資股票A的風(fēng)險較高.【解析】解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為：E(X)=(-E(Y)=0×因為E(X)>E(Y)，所以投資股票A的期望收益較大．（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(D(Y)=(0因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險高．類型三、二項分布【例1】某批數(shù)量很大的產(chǎn)品的次品率為p，從中任意取出4件，則其中恰好含有3件次品的概率是（

）A．p3 B．pC．C43p【答案】C【解析】因為次品率為p，從中任意取出4件，所以恰好含有3件次品的概率為C4故選：C.【例2】設(shè)隨機變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【答案】D【解析】按照二項分布的期望公式，有40?p=16，故選：D.【例3】一批產(chǎn)品的一等品率為0.9，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件數(shù)，則D(X)=.【答案】9【解析】由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是二項分布模型，其中，p=0.9，n=100，則D(X)=np(1-故答案為：9．【變式1】若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是多大.【答案】0.2916【解析】設(shè)恰好有一次未擊中目標(biāo)為事件A，pA【變式2】同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣恰有一枚正面向上的次數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（

）A．12 B．1C．32 D．【答案】D【解析】2枚硬幣拋擲一次，恰好有一枚正面向上的概率為C2則X服從二項分布X～B(4,1故選：D.【變式3】設(shè)X為隨機變量，X～B(n,13)，若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2，則A．80243 B．13C．4243 D．13【答案】A【解析】因為E(X)=13n=2，得n=6所以P(X=2)=C故選：A.類型四、正態(tài)分布【例1】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)且P(X>1)=0.5,則實數(shù)a=（

）A．1 B．3C．2 D．4【答案】A【解析】由題意可得正態(tài)曲線的對稱軸為X=a，又因為P(X>1)=0.5，所以a=1.故選：A.【例2】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N3,σ2,且PX≤4=0.84A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【答案】B【解析】由題可知，PX>4由于X~N3,σ2因此，P2<X<4故選：B.【變式1】已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N3,σ2,?A．0.16 B．0.34 C．0.66