2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（滬教版）第十九章 幾何證明（15個(gè)知識(shí)歸納+14類題型突破）（原卷版）

第十九章幾何證明（15個(gè)知識(shí)歸納+14類題型突破）1.掌握幾何證明的相關(guān)概念，掌握命題與定理、掌握逆命題與逆定理；2.掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定；3.掌握角平分線的性質(zhì)與判定；4、掌握直角三角形的性質(zhì)與判定；5、掌握勾股定理的相關(guān)概念；知識(shí)點(diǎn)01．命題與定理1、判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．3、定理是真命題，但真命題不一定是定理．4、命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．5、命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．知識(shí)點(diǎn)02．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE知識(shí)點(diǎn)03．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．知識(shí)點(diǎn)04．兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離為AB＝．說(shuō)明：求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離可直接套用此公式．知識(shí)點(diǎn)05．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．知識(shí)點(diǎn)06．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．知識(shí)點(diǎn)07．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．知識(shí)點(diǎn)08．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來(lái)判定直角三角形．知識(shí)點(diǎn)09．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．知識(shí)點(diǎn)10．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．知識(shí)點(diǎn)11．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．知識(shí)點(diǎn)12．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說(shuō)明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知識(shí)點(diǎn)13．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．知識(shí)點(diǎn)14．平面展開-最短路徑問(wèn)題（1）平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．知識(shí)點(diǎn)15．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．題型一幾何證明1．（2023上·上海閔行·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中，真命題的是（

）A．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直B．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和D．等邊三角形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形2．（2023上·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）等角的補(bǔ)角相等；（2）兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形；（3）一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等；（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．53．（2023上·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，假命題的個(gè)數(shù)是（

）（）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（）面積相等的兩個(gè)三角形全等；（）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；（）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角；（）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．個(gè) B．個(gè) C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）①兩個(gè)等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個(gè)三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④2．（2022上·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┌衙}“同角的補(bǔ)角相等”改寫為“如果……，那么……”的形式，如果那么．3．（2022上·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：是的一個(gè)外角．

(1)請(qǐng)從①，②平分，③中任選兩個(gè)當(dāng)條件，第三個(gè)當(dāng)結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題．條件：________________________________________________結(jié)論：________________________________________________(2)證明你所構(gòu)建的命題是真命題．題型二逆命題和逆定理1．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．直角三角形的兩個(gè)銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形D．若，則2．（2023上·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)校考期末）下列定理中，如果其逆命題是真命題，那么這個(gè)定理是（

）A．對(duì)頂角相等 B．直角三角形的兩個(gè)銳角互余C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．鄰補(bǔ)角互補(bǔ)3．（2022上·上海黃浦·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°B．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等D．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，則；③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；其中逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？计谥校┟}“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是．它是命題．（填“真”或“假”）3．（2022下·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D①所示，將兩個(gè)含角且大小相同的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊長(zhǎng)的一半．交換此命題的條件和結(jié)論，得到下面命題：．

(1)請(qǐng)?jiān)谏厦婵崭裰袑懗鲈撁}；(2)小聰發(fā)現(xiàn)（1）中所寫命題為真命題，請(qǐng)根據(jù)該命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖②，用“幾何語(yǔ)言”補(bǔ)充出“已知”和“求證”，并寫出證明過(guò)程．已知：在中，，．求證：．證明：題型三線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022下·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，斜邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，那么下列關(guān)系中不成立的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．若，，則的度數(shù)為．

3．（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的平分線，交于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．求證：(1)是的垂直平分線；(2)為等腰三角形．題型四角平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·上海·八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（

）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)2．（2022上·上海楊浦·八年級(jí)校考期中）如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是（

）A．6 B．5 C．7 D．83（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖過(guò)程：①在、上分別截取、，使；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的同一長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于內(nèi)的一點(diǎn)；③作射線．就是所求作的角的平分線．該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說(shuō)明，其中三角形全等的依據(jù)是（

）A．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的面積是16，周長(zhǎng)是8，則的長(zhǎng)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是．3．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，平分交BC于點(diǎn)D，，，垂足為E、F．

(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)連接，求證：．題型五軌跡1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，甲、乙、丙三人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，甲的運(yùn)動(dòng)路線為一個(gè)半圓形的圓弧，乙的運(yùn)動(dòng)路線為兩個(gè)半圓形的圓弧，丙的運(yùn)動(dòng)路線為三個(gè)半圓形的圓弧，若甲、乙、丙的運(yùn)動(dòng)速度相等，則誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同時(shí)到達(dá)2．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)半徑為1cm的半圓，在直線上從左往右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，則滾動(dòng)2020周后圓心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動(dòng)，且滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)由點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊向上作等邊，在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（

）A．2 B． C． D．2．（2022·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）和已知線段的兩端點(diǎn)距離相等，且到一個(gè)已知點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)最多有個(gè)．3．（2022·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)在上．以為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，則當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，探求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．題型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年級(jí)校考期中）下面四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①腰和腰上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等；②有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022上·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm3．（2020上·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為M、N．下面四個(gè)結(jié)論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣東江門·八年級(jí)新會(huì)華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，平分交于，于，且，則的周長(zhǎng)為（

）

A．12 B．6 C．8 D．102．（2023上·天津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知平分，于E，，則下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的有．（只寫序號(hào)）3．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎狐c(diǎn)O到的兩邊所在直線的距離相等，且．

(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊上，過(guò)點(diǎn)O分別作，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)O在的內(nèi)部，求證：；(3)若點(diǎn)O在的外部，“小強(qiáng)”同學(xué)認(rèn)為也一定成立，你同意他的想法嗎？若同意，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不同意，請(qǐng)畫出反例并進(jìn)行必要的標(biāo)注．題型七直角三角形的性質(zhì)1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，點(diǎn)分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，，、分別平分、，，下面結(jié)論中不一定正確的是(

)

A． B．C． D．點(diǎn)O到直線的距離是13．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，如果將這個(gè)三角形折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，那么等于（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023上·山西呂梁·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)．若，則．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，平分，E為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），，垂足為F．(1)求證：；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)？題型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年級(jí)校考期末）美國(guó)數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點(diǎn)，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（

）A．1 B．2 C． D．52．（2022下·河北邯鄲·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖中能用來(lái)證明勾股定理的有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)3．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖由“趙爽弦圖”變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A．12 B．10 C．9 D．8鞏固訓(xùn)練1．（2023上·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）；如果大正方形的面積是，小正方形的面積是，直角三角形的兩直角邊分別為、，那么的值是（）A． B． C． D．2（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為50，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊，則．3．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡(jiǎn)便得結(jié)論．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為，，，，顯然．(1)請(qǐng)用分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問(wèn)題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，，邊上的高為______．題型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有長(zhǎng)度為的五根細(xì)木條，若選擇其中的三根首尾順次相接，恰好能擺成直角三角形的是（

）A． B．C． D．3．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果a，b，c是三角形的三邊并且滿足：，則三角形的面積是（

）A．24 B．48 C．12 D．62．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的垂直平分線和分別交于點(diǎn)D、E，若，，，則的面積等于．3．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【綜合與實(shí)踐】建筑工地上工人師傅經(jīng)常需畫直角或判定一個(gè)角是否是直角，現(xiàn)僅有一根繩子，請(qǐng)幫助工人師傅完成此項(xiàng)工作．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小歌、小智兩名同學(xué)經(jīng)過(guò)討論，在繩子上打13個(gè)等距的繩結(jié)，做成如圖①所示的“工具繩”．他們利用此“工具繩”分別設(shè)計(jì)了以下方案：小歌的方案：如圖②，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將繩結(jié)點(diǎn)C、D固定，拉直、分別繞繩結(jié)點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)，使繩結(jié)點(diǎn)A、B在點(diǎn)E處重合，畫出，則．

小智的方案：如圖③，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將中點(diǎn)O固定，拉直繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）到的位置，畫出，則．問(wèn)題解決：(1)填空：在小歌的方案中，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)根據(jù)小智的方案，證明：；(3)工地上有一扇如圖④所示的窗戶，利用“工具繩”設(shè)計(jì)一個(gè)與小歌、小智不一樣的方案，檢驗(yàn)窗戶橫檔與豎檔是否垂直．畫出簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明理由．題型十勾股定理的應(yīng)用1．（2023上·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量與地面垂直的旗桿高度．如圖，已知系在旗桿頂端A的繩子緊貼旗桿垂到地面后，在地面上多出1米，將繩子拉直后測(cè)出繩子的末端與地面的重合點(diǎn)C到旗桿底部B的水平距離為5米，則旗桿的高度為（

）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米2．（2023下·廣西南寧·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一架長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為，如果梯子頂端A沿墻下滑至點(diǎn)C，那么梯子的底端B外移至點(diǎn)D，則的長(zhǎng)（

）

A．小于 B．等于 C．大于 D．不確定3．（2022上·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交會(huì)，公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時(shí)，周圍以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時(shí)，點(diǎn)處受噪音影響的時(shí)間是（

）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒鞏固訓(xùn)練1．（2022上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時(shí)（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（）

A．m B．m C．6m D．m2．（2023下·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，河岸，互相平行，橋垂直于兩岸，從處看橋的兩端，，夾角，測(cè)得，則橋長(zhǎng)m（結(jié)果精確到）．

3．（2023下·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）燕塔廣場(chǎng)視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)的王明和孫亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：

①測(cè)得的長(zhǎng)度為8米；（注：）②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米；③牽線放風(fēng)箏的王明身高米；(1)求風(fēng)箏的垂直高度．(2)若王明同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？題型十一用勾股定理解三角形1．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)南京五十中?？计谥校┤鐖D，在中，為邊上的高，為邊上的中線，，則的長(zhǎng)度是（

）A．2 B．3 C． D．42．（2023上·天津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三角形紙片中，，在上取一點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行翻折，使的一部分與重合，與延長(zhǎng)線上的點(diǎn)重合，若，，則，的長(zhǎng)度為（）

A．6 B．4 C．3 D．23．（2023上·吉林·九年級(jí)吉林松花江中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是等腰三角形的底邊的中線，，，與關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，連接，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，的平分線交于點(diǎn)，且．將沿折疊使點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合．①

②點(diǎn)到的距離為8

③

④

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等邊的，上各取一點(diǎn)，，使，，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．若，則的長(zhǎng)為．

3．（2023上·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知與都是等腰直角三角形，其中，為邊上一點(diǎn)．(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)求證：．題型十二勾股定理與折疊問(wèn)題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（

）A．24 B．30 C．40 D．803．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，把沿著直線翻折，得到，連接交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的長(zhǎng)為()

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將沿翻折得到，交于點(diǎn)E，F(xiàn)為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，若，，的面積為42，則的面積為（）A．26 B．24 C．21 D．152．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，，．先對(duì)折長(zhǎng)方形紙片使與重合，得到折痕，再將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在折痕上時(shí)，則的長(zhǎng)為．3．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．題型十三求最短路徑問(wèn)題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，是底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點(diǎn)的最短路程是（）

A． B． C． D．2．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B（點(diǎn)B距點(diǎn)C為），則螞蟻需要爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．3．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長(zhǎng)邊與平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過(guò)木塊到達(dá)C處