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文檔簡(jiǎn)介
第4章圖形的相似(知識(shí)歸納+題型突破)1、了解比例的基本性質(zhì),線段的比、成比例線段;
2、通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似,探索相似圖形的性質(zhì),理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、周長(zhǎng)的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方;3、探索并掌握相似三角形的判定方法,并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題;
4、了解圖形的位似,能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小,在同一直角坐標(biāo)系中,感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變化;一、相似圖形及比例線段1.相似圖形:在數(shù)學(xué)上,我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn):
(1)相似圖形就是指形狀相同,但大小不一定相同的圖形;
(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況,即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí),兩個(gè)圖形全等;2.相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等,我們就說(shuō)它們是相似多邊形.要點(diǎn):(1)相似多邊形的定義既是判定方法,又是它的性質(zhì).(2)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.3.比例線段:對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等,如a:b=c:d,我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.要點(diǎn):(1)若a:b=c:d,則ad=bc;(d也叫第四比例項(xiàng))(2)若a:b=b:c,則=ac(b稱為a、c的比例中項(xiàng)).4.平行線分線段成比例:基本事實(shí):兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.推論:平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法(一):平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法(二):兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn):要判定兩個(gè)三角形是否相似,只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可,對(duì)于直角三角形而言,若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法(三):兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn):此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似,應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角,否則,判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法(四):三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì):(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等;(2)相似三角形中的重要線段的比等于相似比;相似三角形對(duì)應(yīng)高,對(duì)應(yīng)中線,對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn):要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字,在應(yīng)用時(shí),要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì):(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比.(3)相似多邊形的面積比等于相似比的平方.三、位似1.位似圖形定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.2.位似圖形的性質(zhì):(1)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上;
(2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比;
(3)位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.要點(diǎn):(1)位似圖形與相似圖形的區(qū)別:位似圖形是一種特殊的相似圖形,而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.(2)位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.題型一成比例線段【例1】下列各組中的四條線段成比例的是(
)A.1cm,2cm,3cm,6cm B.4cm,5cm,6cm,10cmC.1cm,2cm,5cm,6cm D.3cm,4cm,5cm,6cm【答案】A【分析】四條線段成比例,根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系,從小到大排列,判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積,相等即成比例.【解析】解:A、,四條線段成比例,符合題意;B、,四條線段不成比例,不符合題意;C、,四條線段不成比例,不符合題意;D、,四條線段不成比例,不符合題意;故選A.【點(diǎn)睛】本題考查比例線段,理解成比例線段的概念,注意在線段兩兩相乘的時(shí)候,要讓最小的和最大的相乘,另外兩條相乘,看它們的積是否相等進(jìn)行判斷.鞏固訓(xùn)練:1.如果,那么的值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【解析】解:,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.如圖,點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn),,若,則的長(zhǎng)為(
)
A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義,線段上一點(diǎn)將線段分成兩部分,兩部分中較短的線段與較長(zhǎng)線段的比值等于較長(zhǎng)的線段與整條線段的比值等于,這個(gè)點(diǎn)就叫做這條線段的黃金分割點(diǎn),進(jìn)行求解即可.【解析】解:由題意,得:,∴;故選A【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn).熟記定義,是解題的關(guān)鍵.3.如果,是的比例中項(xiàng),則下面結(jié)論正確的是(
).A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)可得,從而得出.【解析】解:∵是的比例中項(xiàng),∴,即.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)得性質(zhì).如果a、b、c三個(gè)量成連比例,即,則b叫做a和c的比例中項(xiàng).它的性質(zhì):.題型二平行線分線段成比例【例2】如圖,在中,點(diǎn)D在邊上,交邊于點(diǎn)E,若,,則線段的長(zhǎng)為(
)
A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得計(jì)算即可.【解析】∵,,∴,∵,∴,解得:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例,解題的關(guān)鍵是找到.鞏固訓(xùn)練:1.如圖,若直線,且,,則(
)
A.5 B.6C.9 D.10【答案】C【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得.【解析】解:直線,且,,又,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理,熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵.2.如圖,在中,,,則下列比例式中正確的是()
A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可.【解析】解:A.由,得,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.由,得,又由,得,則,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確;C.由,得,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例,兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.3.圖,平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,交于點(diǎn)E.若的周長(zhǎng)為10,則平行四邊形的周長(zhǎng)為()
A.16 B.32 C.36 D.4【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得,,,,證是的中位線,則,,求出,則,即可得出答案.【解析】解:∵四邊形是平行四邊形,∴,,,,∵,∴,∴,∴是的中位線,∴,,∵的周長(zhǎng)等于10,∴,∴,∴,∴的周長(zhǎng);故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理,平行線分線段成比例等知識(shí);熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理,求出是解題的關(guān)鍵.4.如圖,在中,D是邊上的中點(diǎn),E在上,且,則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】取的中點(diǎn)M,連接,根據(jù)三角形中位線定理得,再根據(jù)平行線分線段成比例得,即可得出答案.【解答】解:如圖,取的中點(diǎn)M,連接,∵D是邊上的中點(diǎn),∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理,本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.題型三相似多邊形【例3】下列說(shuō)法不正確的是(
)A.所有的正五邊形都相似 B.所有的正方形都相似C.所有的正三角形都相似 D.所有的等腰三角形都相似【答案】D【分析】相似形就是形狀相同的兩個(gè)圖形,即對(duì)應(yīng)邊的比相等,對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)圖形,依據(jù)定義即可進(jìn)行判斷.【解析】解:A.所有的正五邊形都相似,正確,故此選項(xiàng)不符合題意;B.所有的正方形都相似,正確,故此選項(xiàng)不符合題意;C.所有的正三角形都相似,正確,故此選項(xiàng)不符合題意;D.所有的等腰三角形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等,但對(duì)應(yīng)角不一定相等,所有的等腰三角形不一定相似,故此選項(xiàng)符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的識(shí)別.解題的關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù):對(duì)應(yīng)邊的比相等,對(duì)應(yīng)角相等,兩個(gè)條件必須同時(shí)具備.鞏固訓(xùn)練:1.以下命題中,①兩個(gè)直角三角形一定相似;②兩個(gè)等邊三角形一定相似;③兩個(gè)菱形一定相似;④任意兩個(gè)矩形一定相似;⑤兩個(gè)正六邊形一定相似.其中真命題的個(gè)數(shù)是(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義,形狀相同的圖形是相似圖形.具體的說(shuō)就是對(duì)應(yīng)的角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等,對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【解析】解:①任意兩個(gè)直角三角形,不能判斷它們的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等,所以不一定相似;②任意兩個(gè)等邊三角形,它們的內(nèi)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.所以一定相似;③任意兩個(gè)菱形,只能判斷對(duì)應(yīng)邊的比相等,不能判斷對(duì)應(yīng)的角相等.所以不一定相似;④任意兩個(gè)矩形,它們的對(duì)應(yīng)角相等,不能判斷對(duì)應(yīng)邊的比相等.所以不一定相似;⑤任意兩個(gè)正六邊形,它們的內(nèi)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.所以一定相似.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形,解題的關(guān)鍵是判斷對(duì)應(yīng)的角是否相等和對(duì)應(yīng)的邊是否成比例.2.兩個(gè)相似多邊形的面積比是,其中較小多邊形的周長(zhǎng)為,則較大多邊形的周長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用面積比等于相似比的平方,求出相似比,再利用周長(zhǎng)比等于相似比進(jìn)行計(jì)算即可.【解析】解:兩相似多邊形的面積比是,∴兩相似多邊形的相似比為:,∴兩相似多邊形的周長(zhǎng)比為:,∵較小多邊形的周長(zhǎng)為,∴較大多邊形的周長(zhǎng)為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì).熟練掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方,周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵.3.如圖,四邊形四邊形,若,,則(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)得到,然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)即可.【解析】解:四邊形四邊形,,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,也考查了四邊形的內(nèi)角和.題型四相似三角形的判定【例4】.如圖,在中,點(diǎn),分別在邊,上,與不平行,添加下列條件之一仍不能判定的是()
A. B. C. D.【答案】B【分析】由于,則根據(jù)相似三角形的判定方法可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【解析】解:,當(dāng)時(shí),,故A不合題意;當(dāng)時(shí),,故C不合題意;當(dāng)時(shí),,故D不合題意;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定:兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.鞏固訓(xùn)練:1.如圖,下列條件不能判定的是(
)
A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,以及根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似,分別判斷得出即可.【解析】解:A、∵,,∴,故此選項(xiàng)不合題意;B、∵,,∴,故此選項(xiàng)不合題意;C、∵,∴,又∵,∴,故此選項(xiàng)不合題意;D、不能判定,故此選項(xiàng)符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定,熟悉相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.2.如圖,為線段上的一點(diǎn),與交于點(diǎn),,與交于點(diǎn),交于點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A. B.C. D.【答案】D【分析】由相似三角形的判定逐一進(jìn)行判斷即可.【解析】解:,且,,,故選項(xiàng)B正確,不符合題意;,,故選項(xiàng)A正確,不符合題意;,,故選項(xiàng)C正確,不符合題意;由條件無(wú)法證明,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定,熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.3.如圖,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,則圖中的三角形中與相似的是(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】直接利用相似三角形的判定方法結(jié)合正方形的性質(zhì)分析得出答案.【解析】解:由題意可得:,,,,,,,,,又,.故選:B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定,正確得出對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵.4.如圖,在的正方形網(wǎng)格中,畫(huà)2個(gè)相似三角形,正確的畫(huà)法有(
)
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】先計(jì)算出三角形的各邊再判斷兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊是否成比例,即可得.【解析】解:第一個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例:,這兩個(gè)三角形是相似三角形;第二個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例:,這兩個(gè)三角形是相似三角形;第三個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例:,這兩個(gè)三角形是相似三角形;第四個(gè)網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例:,這兩個(gè)三角形不是相似三角形;綜上,正確的畫(huà)法有3個(gè),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定,解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定.題型五相似三角形的性質(zhì)【例5】.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線比是,那么它們的面積比是.【答案】16:9【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于其相似比,面積比等于相似比的平方即可求解.【解析】解:∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比是,∴它們相似比是,∴它們的面積比為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解.(1)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方.(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.鞏固訓(xùn)練:1.如圖,在中,點(diǎn)D、E分別在邊、上,且,如果,那么的長(zhǎng).
【答案】/【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.【解析】解:∵,,∴,∴,即,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.2.如圖,點(diǎn)是的邊上一點(diǎn),,.如果的面積為,那么的面積為(
)
A. B. C.5 D.【答案】C【分析】首先證明,由相似三角形的性質(zhì)可得:的面積∶的面積為1∶4,設(shè),那么,因?yàn)榈拿娣e為,得出的面積.【解析】解:∵,,∴,∵,∴的面積∶的面積為1∶4,則設(shè),那么,∵的面積為,∴,即,所以的面積為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì);熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方,是中考常見(jiàn)題型,解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).3.如圖,已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上,點(diǎn)G、F分別在邊上,如果,的面積是32,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是(
)A.4 B.8 C. D.【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H,交于M,如圖,先利用三角形面積公式計(jì)算出,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則,再證明,則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程,然后解關(guān)于x的方程即可.【解析】解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作于H,交于M,∵的面積是32,,∴,∴,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則,∵,∴,∴,,解得∶,即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì),添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.題型六圖形的位似【例6】.如圖,與位似,位似中心為點(diǎn)O,位似比為,則的比值為()
A. B. C. D.【答案】A【分析】利用位似變換的性質(zhì)判斷即可.【解析】解:∵與位似,位似中心為點(diǎn)O,位似比為,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查位似變換,解題的關(guān)鍵是理解位似變換的性質(zhì),屬于中考??碱}型.鞏固訓(xùn)練:1.如圖,與位似,點(diǎn)為位似中心,位似比為,若的周長(zhǎng)為6,則的周長(zhǎng)是()
A.16 B.9 C.6 D.4【答案】D【分析】根據(jù)位似變換的定義、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.【解析】解:和是位似圖形,位似比為,和的相似比為,的周長(zhǎng)的周長(zhǎng),故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì),熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2.如圖,中,A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方,點(diǎn)C的坐標(biāo)是.以點(diǎn)C為位似中心,在x軸的下方作的位似圖形,并把的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作軸于D,過(guò)點(diǎn)作軸于,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng),得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo).【解析】解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)B作軸于D,過(guò)點(diǎn)作軸于,
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是,的橫坐標(biāo)是,∴,由題意得,,相似比為1:2,∴,∴,∴,∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形,位似圖形的性質(zhì),正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.題型七圖形的相似綜合解答題【例7】.已知:線段,且.(1)求的值;(2)如果線段,滿足,求的值.【答案】(1)(2)15【分析】(1)根據(jù)比例的性質(zhì)得出,即可得出的值;(2)首先設(shè),則,,,利用求出的值即可得出答案.【解析】(1)解:,,;(2)設(shè),則,,,,,,,,.【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì),根據(jù)已知得出,,進(jìn)而得出的值是解題關(guān)鍵.鞏固訓(xùn)練:1.如圖,已知,;,,.求的長(zhǎng).
【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式,代入計(jì)算即可.【解析】解:∵,,,∴,∵,∴,即,解得:.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理,靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2.測(cè)量物體高度小明想測(cè)量一棵樹(shù)的高度,在陽(yáng)光下,小明測(cè)得一根長(zhǎng)為米的竹竿的影長(zhǎng)為米.同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量一棵樹(shù)的高度時(shí),發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上(如圖),其影長(zhǎng)為米,落在地面上的影長(zhǎng)為米,則樹(shù)高為多少米.小明在某一時(shí)刻測(cè)得的桿子在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為,他想測(cè)量電線桿的高度,但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上,量得,,與地面成.求電線桿的高度.【答案】(1)樹(shù)高為米.(2).【分析】(1)在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比,即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體,影子,經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似.本題中:經(jīng)過(guò)樹(shù)在教學(xué)樓上的影子的頂端作樹(shù)的垂線和經(jīng)過(guò)樹(shù)頂?shù)奶?yáng)光線以及樹(shù)所成三角形,與竹竿,影子光線形成的三角形相似,這樣就可求出垂足到樹(shù)的頂端的高度,再加上墻上的影高就是樹(shù)高.(2)先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E,作DF⊥AB于F,再根據(jù)CD的長(zhǎng)以及坡角求出落在斜坡上的影長(zhǎng),即AF的影長(zhǎng),然后根據(jù)1m桿的影子長(zhǎng)為2m,求解電線桿AF的高度,再加DE的長(zhǎng),即為電線桿AB的高度.【解析】(1)設(shè)從墻上的影子的頂端到樹(shù)的頂端的垂直高度是x米,則,解得:x=4,所以樹(shù)高AB=4+1.2=5.2(米),答:樹(shù)高為5.2米;作交延長(zhǎng)線于,作于,由題意可知:,∵,∴,∴,又∵某一時(shí)刻測(cè)得的桿子在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)為,∴,∴,∵四邊形為矩形,∴,∴電線桿的高度.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用,正確畫(huà)出圖形并熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意;影子平行于物體時(shí),影子和物體的實(shí)際高度相等;影子垂直于物體時(shí),根據(jù):同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例進(jìn)行計(jì)算.3.如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、.(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原來(lái)的2倍得到;(2)如果周長(zhǎng)為m,則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________________;(3)若線段BC上有一點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)____________.【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)位似圖形的性質(zhì),畫(huà)出即可;(2)根據(jù)位似比等于相似比,周長(zhǎng)比等于相似比,即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)以原點(diǎn)為位似中心的圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【解析】(1)解:如圖所示,即為所求;(2)∵以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原來(lái)的2倍得到,∴,相似比為;∴的周長(zhǎng)比為;∵的周長(zhǎng)為m,∴的周長(zhǎng)為;故答案為:.(3)從這兩個(gè)相似三角形坐標(biāo)位置關(guān)系來(lái)看,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)正好是原坐標(biāo)乘以的坐標(biāo),∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形.熟練掌握位似圖形的定義和性質(zhì),是解題的關(guān)鍵.4.如圖,已知在中,是的中線,,點(diǎn)在邊上,.
(1)求證:;(2)求證:.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)先證明,可得,再證明,再結(jié)合,從而可得結(jié)論;(2)先證明,可得,可得,再證明,可得,可得,從而可得答案.【解析】(1)證明:為的中線,,,,,,,,,,(2),.,∵,,,,,,,由①②可得,.【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),熟練的證明三角形相似是解本題的關(guān)鍵.5.如圖,在正方形中,E是的中點(diǎn),點(diǎn)F在上,且.
(1)求證:;(2)與相似嗎?為什么?【答案】(1)見(jiàn)解析(2)相似,理由見(jiàn)解析【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得,,再根據(jù)可得,進(jìn)而說(shuō)明,再結(jié)合,即可證明結(jié)論;(2)設(shè),利用E為邊的中點(diǎn),,得到,則可計(jì)算出,由勾股定理逆定理可得以及再說(shuō)明即可證明結(jié)論.【解析】(1)解:∵正方形,∴,∵,∴,∵點(diǎn)F在上,
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