北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊3.2圓心角、弧、弦的關(guān)系【九大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題3.2圓心角、弧、弦的關(guān)系【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓心角、弧、弦的概念】 1【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 2【題型3利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】 3【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】 4【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】 5【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】 6【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】 7【題型8圓心角、弧、弦中的證明問題】 8【題型9圓心角、弧、弦中的的倍數(shù)關(guān)系】 9【知識點1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?/p>

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．

【題型1圓心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋?余姚市期中）下列語句中，正確的有（）①相等的圓心角所對的弧相等；②等弦對等??；③長度相等的兩條弧是等弧；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2022秋?長沙縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，則下列正確的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA【變式1-2】（2022秋?凱里市校級期中）如圖，在⊙O中，AB=CD，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=【變式1-3】（2022秋?武漢期末）如圖，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足為E，F(xiàn)為CBD的中點，連接AF、BF、AC，AF交CD于M，過F作FH⊥AC，垂足為G，以下結(jié)論：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】【例2】（2022?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，AE=BD，若∠AOE＝32°，則∠A．32° B．60° C．68° D．64°【變式2-1】（2022?灌陽縣一模）如圖，在⊙O中，AB=A．60° B．30° C．45° D．40°【變式2-2】（2022秋?天河區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，則∠BOD＝．【變式2-3】（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝34°，則∠【題型3利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】【例3】（2022春?永嘉縣校級期末）如圖，半徑為R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，連接AB，AD，若AD＝22，則半徑R的長為（）A．1 B．2 C．2 D．22【變式3-1】（2022?桂平市二模）如圖，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角邊AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是弧AE的中點，OM交AC于點D，⊙O的半徑是6，則MD的長度為（）A．32 B．32 C．3 【變式3-2】（2022?渝中區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE＝2，⊙O的直徑為10，則AC長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-3】（2022秋?曾都區(qū)期中）如圖，在⊙O中，AC=12AB，直徑BC＝25，BD=CD，則【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】【例4】（2022秋?龍口市期末）如圖，已知⊙O的半徑等于1cm，AB是直徑，C，D是⊙O上的兩點，且AD=DC=A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【變式4-1】（2022秋??？谄谀┤鐖D，A、B是半徑為3的⊙O上的兩點，若∠AOB＝120°，C是AB的中點，則四邊形AOBC的周長等于．【變式4-2】（2022秋?西林縣期末）如圖，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周長為．【變式4-3】（2022?江北區(qū)校級開學(xué)）如圖，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，連接AD，若AD＝36，則⊙O的周長為．【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】【例5】（2022?海豐縣模擬）如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是AB的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（）A．25 B．253 C．2534 【變式5-1】（2022?嘉興二模）如圖所示，在10×10的正方形網(wǎng)格中有一半徑為5的圓，一條折線將它分成甲、乙兩部分．S甲表示甲的面積，則S甲＝．【變式5-2】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點（1）求證：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．【變式5-3】（2022?浙江自主招生）如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（）A．2 B．3 C．3+224【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】【例6】（2022?下城區(qū)校級四模）如圖，等腰△ABC的頂角∠CAB為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則DE的度數(shù)為（）A．50° B．25° C．80° D．65°【變式6-1】（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（）A．28° B．64° C．56° D．124°【變式6-2】（2022?新昌縣模擬）如圖在給定的圓上依次取點A，B，C，D，連接AB，CD，AC＝BD，設(shè)AC，BD相交于點E，弧AD＝100°，AB＝ED，則弧AB的度數(shù)為．【變式6-3】（2022?浙江）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則BC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】【例7】（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在⊙O中，如果AB=2AC，則下列關(guān)于弦AB與弦ACA．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【變式7-1】（2022秋?西林縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD的是⊙O中非直徑的任意一條弦，試比較AB與CD的大小，并說明理由．【變式7-2】（2022秋?余姚市月考）如圖，在三個等圓上各有一條劣?。夯B、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小關(guān)系不確定【變式7-3】（2022天河區(qū)一模）如圖，AB為半圓的直徑，點C、D在半圓上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若點C、D在半圓上運動，并保持弧CD的長度不變，（點C、D不與點A、B重合）．試比較∠DAB和∠ABC的大?。绢}型8圓心角、弧、弦中的證明問題】【例8】（2022秋?自貢期末）如圖，AB為⊙O的直徑，BE=CE，CD⊥AB于點D，交BE于F，連接求證：BC＝CF．【變式8-1】（2022秋?西林縣期末）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB．求證：BD=【變式8-2】（2022秋?福清市期末）如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD∥BC，求證：D為AC的中點．【變式8-3】（2022?眉山模擬）如圖所示，⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB＝CD，連接AD，BC，求證：（1）AD=（2）AE＝CE．【題型9圓心角、弧、弦的的倍數(shù)關(guān)系】【例9】（2022?原州區(qū)期末）在⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，D是CO的中點，DE∥AB，則CE與BE之間的等量關(guān)系是什么？請證明你的結(jié)論．專題3.2圓心角、弧、弦的關(guān)系【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓心角、弧、弦的概念】 1【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 4【題型3利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】 6【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】 9【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】 12【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】 16【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】 19【題型8圓心角、弧、弦中的證明問題】 22【題型9圓心角、弧、弦中的的倍數(shù)關(guān)系】 25【知識點1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．

【題型1圓心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋?余姚市期中）下列語句中，正確的有（）①相等的圓心角所對的弧相等；②等弦對等弧；③長度相等的兩條弧是等??；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，等弧，軸對稱等知識一一判斷即可．【解答】解：①相等的圓心角所對的弧相等，錯誤，條件是同圓或等圓中．②等弦對等弧，錯誤，弦所對的弧有兩條，不一定相等．③長度相等的兩條弧是等弧，錯誤，等弧是完全重合的兩條弧．④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．正確．【變式1-1】（2022秋?長沙縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，則下列正確的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA【分析】根據(jù)∠BAC＝∠DAC，得到BC=CD，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到BC＝【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，∴BC=∴BC＝CD，【變式1-2】（2022秋?凱里市校級期中）如圖，在⊙O中，AB=CD，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對的圓心角之間的關(guān)系逐項分析即可．【解答】解：在⊙O中，AB=∴AB＝CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴AC=∴AC＝BD，故②正確；∴∠AOC＝∠BOD，故③正確．故答案為：①②③④．【變式1-3】（2022秋?武漢期末）如圖，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足為E，F(xiàn)為CBD的中點，連接AF、BF、AC，AF交CD于M，過F作FH⊥AC，垂足為G，以下結(jié)論：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．【解答】解：∵F為CBD的中點，∴CF=∴∠FCM＝∠FAC，∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③錯誤，∵AB⊥CD，F(xiàn)H⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CH=∴HC＝BF，故②正確，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AH的度數(shù)+CF∴CH的度數(shù)+AF∴AH+【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】【例2】（2022?資中縣一模）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，AE=BD，若∠AOE＝32°，則∠A．32° B．60° C．68° D．64°【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用對頂角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠【解答】解：∵AE=∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故選：D．【變式2-1】（2022?灌陽縣一模）如圖，在⊙O中，AB=A．60° B．30° C．45° D．40°【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB=∴∠2＝∠1＝45°，【變式2-2】（2022秋?天河區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，則∠BOD＝120°．【分析】證明AC=【解答】解：∵AC＝BD，∴AC=∴∠BOD＝∠AOC＝120°，故答案為：120°．【變式2-3】（2022秋?亭湖區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝34°，則∠【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，繼而可求得∠【解答】解：如圖，∵BC=CD=∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO=1故答案為：51°．【題型3利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】【例3】（2022春?永嘉縣校級期末）如圖，半徑為R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，連接AB，AD，若AD＝22，則半徑R的長為（）A．1 B．2 C．2 D．22【分析】連接OA，OD，由弦AC＝BD，可得AC=BD，繼而可得BC=AD，然后由圓周角定理，證得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，繼而可得△AOD是等腰直角三角形，則可求得【解答】解：連接OA，OD，∵弦AC＝BD，∴AC=∴BC=∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD=2R∵AD＝22，∴R＝2，【變式3-1】（2022?桂平市二模）如圖，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角邊AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是弧AE的中點，OM交AC于點D，⊙O的半徑是6，則MD的長度為（）A．32 B．32 C．3 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A＝30°，根據(jù)垂徑定理求出OD⊥AE，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OD，再求出MD即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵M為弧AE的中點，OM過圓心O，∴OM⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴OD=12OA∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，【變式3-2】（2022?渝中區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE＝2，⊙O的直徑為10，則AC長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)垂徑定理求出DE＝EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC＝DF，求出【解答】解：連接OF，如圖：∵DE⊥AB，AB過圓心O，∴DE＝EF，AD=∵D為弧AC的中點，∴AD=∴ADC=∴AC＝DF，∵⊙O的直徑為10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=O∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故選：D．【變式3-3】（2022秋?曾都區(qū)期中）如圖，在⊙O中，AC=12AB，直徑BC＝25，BD=CD，則AD＝【分析】如圖，連接DB，DC，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC的延長線于點F．證明四邊形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想辦法求出AF【解答】解：如圖，連接DB，DC，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC的延長線于點F．∵BC是直徑，∴∠BAC＝90°，∵BC＝25，AB＝2AC，∴AC＝2，AB＝4，∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四邊形DEAF是正方形，∴AD=2AF∵∠DAB＝∠DAC，∴BD=∴BD＝CD，∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，∴AF＝3，∴AD=2AF＝32故答案為：32．【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】【例4】（2022秋?龍口市期末）如圖，已知⊙O的半徑等于1cm，AB是直徑，C，D是⊙O上的兩點，且AD=DC=A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系證得△AOD、△OCD、△COB是等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)求得線段AD、DC、CB與已知線段OA間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：如圖，連接OD、OC．∵AD=∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圓中，等弧所對的圓心角相等）；∵AB是直徑，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；∵OA＝OD（⊙O的半徑），∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝OD＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四邊形ABCD的周長為：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；【變式4-1】（2022秋??？谄谀┤鐖D，A、B是半徑為3的⊙O上的兩點，若∠AOB＝120°，C是AB的中點，則四邊形AOBC的周長等于12．【分析】通過等弧所對的圓心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等邊三角形，再求出四邊形AOBC的周長．【解答】解：∵C是AB的中點∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°∴△AOC和△BOC都是等邊三角形∴OA＝OB＝CA＝CB＝3所以四邊形AOBC的周長等于12．故填12．【變式4-2】（2022秋?西林縣期末）如圖，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周長為9cm．【分析】由OA＝OB，得△OAB為等邊三角形進行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB為等邊三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周長為3+3+3＝9（cm）．故答案為：9cm．【變式4-3】（2022?江北區(qū)校級開學(xué)）如圖，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，連接AD，若AD＝36，則⊙O的周長為63π．【分析】接AB，AO，DO，根據(jù)⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根據(jù)圓周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根據(jù)圓周角定理求出∠AOD＝2∠【解答】解：連接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴ABC=∴BC=∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝33，∴⊙O的周長是2×π×33=63π故答案為63π．【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】【例5】（2022?海豐縣模擬）如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是AB的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（）A．25 B．253 C．2534 【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等邊三角形，即可解決問題．【解答】解：連OC，如圖，∵C是AB的中點，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴S四邊形AOBC＝2×1故選：D．【變式5-1】（2022?嘉興二模）如圖所示，在10×10的正方形網(wǎng)格中有一半徑為5的圓，一條折線將它分成甲、乙兩部分．S甲表示甲的面積，則S甲＝25π2【分析】由題意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，∴S甲＝S乙=12S圓故答案為：25π2【變式5-2】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點（1）求證：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOC＝∠BOC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵AC=∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD=12∴CD=O∴△OCD的面積=12×OD×同理可得，△OCE的面積=12×OE×∴四邊形DOEC的面積=3【變式5-3】（2022?浙江自主招生）如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（）A．2 B．3 C．3+224【分析】連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度數(shù)＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度數(shù)＝3×60°＝180°，所以AD為⊙O的直徑，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，則AD平分NF，EF過O點，弧FD＝弧FA，得到△FAD為等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62【解答】解：連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點，連OE交⊙O于N，連AN，如圖，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB的度數(shù)＝60°，又∵AB＝BC＝CD，∴弧AB＝弧BC＝弧CD，∴弧ABD的度數(shù)＝3×60°＝180°，∴AD為⊙O的直徑，∠CFA＝60°，∵AN＝AF＝OE=2，∴AD平分NF，∴EF過O∴弧FD＝弧FA，∴△FAD為等腰直角三角形，∴∠FCA＝∠FDA＝45°，F(xiàn)A=22AD在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG在Rt△AGC中，CG＝AG=6∴S△ACF=12CF?AG=12×故選：D．【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】【例6】（2022?下城區(qū)校級四模）如圖，等腰△ABC的頂角∠CAB為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則DE的度數(shù)為（）A．50° B．25° C．80° D．65°【分析】連接AD，取AB的中點O，連接OE，OD．利用等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理求出∠DOE＝50°，可得結(jié)論．【解答】解：連接AD，取AB的中點O，連接OE，OD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥CB，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC=12∠∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，∴DE的度數(shù)為50°，【變式6-1】（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（）A．28° B．64° C．56° D．124°【分析】先利用互余計算出∠B＝64°，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB＝∠B＝64°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠BCD，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴BD的度數(shù)為56°．【變式6-2】（2022?新昌縣模擬）如圖在給定的圓上依次取點A，B，C，D，連接AB，CD，AC＝BD，設(shè)AC，BD相交于點E，弧AD＝100°，AB＝ED，則弧AB的度數(shù)為50°．【分析】連接BC，如圖，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再證明AB=CD得到AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，則CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后計算出∠ECB的度數(shù)，從而得到弧【解答】解：連接BC，如圖，∵弧AD＝100°，∴∠ACD＝50°，∵AC＝BD，∴AC=即AB+∴AB=∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，∵AB＝ED，∴CD＝ED，∴∠DEC＝∠DCE＝50°，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，∴∠ECB=12∠∴弧AB的度數(shù)為50°．故答案為：50°．【變式6-3】（2022?浙江）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則BC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)得出∠BOD＝30°，再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案．【解答】解：如圖所示：連接BO，過點O作OE⊥AB于點E，由題意可得：EO=12BO，AB∥可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，則∠BOC＝150°，故BC的度數(shù)是150°．【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】【例7】（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在⊙O中，如果AB=2AC，則下列關(guān)于弦AB與弦ACA．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【分析】取弧AB的中點D，連接AD，BD，則AB=2AD=2BD，由已知條件AB=2AC，得出AD=BD=AC，根據(jù)圓心角、弧、弦關(guān)系定理的推論得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AD+BD【解答】解：如圖，取弧AB的中點D，連接AD，BD，則AB=2AD=2∵AB=2AC∴AD=∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故選：D．【變式7-1】（2022秋?西林縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD的是⊙O中非直徑的任意一條弦，試比較AB與CD的大小，并說明理由．【分析】連接OC，OD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OC，OD，∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，∴AB＞CD．【變式7-2】（2022秋?余姚市月考）如圖，在三個等圓上各有一條劣?。夯B、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小關(guān)系不確定【分析】在弧EF上取一點M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB＝FM，CD＝EM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出FM+EM＞FE即可．【解答】解：如圖，在弧EF上取一點M使弧EM＝弧CD，則弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，F(xiàn)M+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．【變式7-3】（2022天河區(qū)一模）如圖，AB為半圓的直徑，點C、D在半圓上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若點C、D在半圓上運動，并保持弧CD的長度不變，（點C、D不與點A、B重合）．試比較∠DAB和∠ABC的大?。痉治觥浚?）根據(jù)弧和圓心角之間的關(guān)系可以得到圓周角的大??；（2）利用相等的弧所對的圓周角相等可以判斷圓周角的大小關(guān)系．【解答】解：（1）∵BC∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°∴∠DAB=12∠BOD=12（∠∠ABC=12∠AOC=12（∠（2）①若AD＜CB，則∠DAB＞∠②若AD=CB，則∠DAB＝∠③若AD＞CB，則∠DAB【題型8圓心角、弧、弦中的證明問題】【例8】（2022秋?自貢期末）如圖，AB為⊙O的直徑，BE=CE，CD⊥AB于點D，交BE于F，連接求證：BC＝CF．【分析】證明：連接AE，利用圓心角、弧與弦的關(guān)系證明即可．【解答】證明：連接AE∵CE∴∠A＝∠FBC，∵AB為直徑，∴∠E＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠FDB＝90°，∴∠CFB+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴BC＝CF．【變式8-1】（2022秋?西林縣期末）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB．求證：BD=【分析】方法一：由CE∥AB知AC=BE，再由∠BOD＝∠AOC知方法二：連接OE，知∠OCE＝∠OEC，根據(jù)AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，從而得∠BOD＝∠BOE，繼而可得證．【解答】證明：方法一：∵CE∥AB，∴AC=∵∠BOD＝∠AOC，∴AC=∴BD=方法二：連接OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB∥CE，∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，∴∠BOD＝∠BOE，∴BD=【變式8-2】（2022秋?福清市期末）如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD∥BC，求證：D為AC的中點．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和