高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第四節(jié) 古典概型與幾何概型 理（含解析）

第四節(jié)古典概型與幾何概型古典概型考向聚焦從近幾年高考試題可以看出,高考對(duì)古典概型的考查主要是等可能事件概率求法,通常結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件求概率,一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn),5分左右,屬于中低檔題;有時(shí)還會(huì)與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列、期望與方差等綜合在一起,以解答題形式出現(xiàn),為中等難度試題,12分左右備考指津計(jì)算古典概型事件A的概率的關(guān)鍵是求出基本事件總數(shù)n和事件A所含基本事件數(shù)m1.(年廣東卷,理7,5分)從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè),其個(gè)位數(shù)為0的概率是()(A)49 (B)13 (C)2解析:從10到99,這90個(gè)兩位數(shù)中,符合個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和是奇數(shù)的有45個(gè),其中個(gè)位數(shù)為0的有:10、30、50、70、90共5個(gè),由古典概型知:p=545=1答案:D.2.(年陜西卷,理10)甲乙兩人一起去游“西安世園會(huì)”,他們約定,各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽,每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí),則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是()(A)136 (B)19 (C)5解析:∵甲、乙參觀每一個(gè)景點(diǎn)是隨機(jī)且獨(dú)立的,∴在最后一個(gè)小時(shí)參觀哪一個(gè)景點(diǎn)是等可能的,∴甲有6種可能性,乙也有6種可能性,基本事件空間總數(shù)n=36,事件“二人同在一個(gè)景點(diǎn)參觀”的基本事件數(shù)m=6,由古典概型概率公式得所求事件的概率P=mn=1答案:D.確定一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型主要在于這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果是否具有有限性和等可能性,明確試驗(yàn)的基本事件數(shù),進(jìn)而利用公式P(A)=mn是解概率題的關(guān)鍵.3.(年新課標(biāo)全國卷,理4)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()(A)13 (B)12 (C)2解析:法一:設(shè)3個(gè)興趣小組分別為A、B、C,甲乙參加3個(gè)興趣小組(按甲前乙后排)為:AA,AB,AC;BA,BB,BC;CA,CB,CC.故兩同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組概率為39=1法二:甲、乙各自參加其中一個(gè)小組有32=9種,甲、乙參加同一個(gè)小組的選法有3種,所以其概率為39=1答案:A.4.(年上海數(shù)學(xué),理11,4分)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目,則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).

解析:依題意知,所求事件的概率為P=C32×答案:25.(年福建卷,理13)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球,其中紅色球3個(gè),黃色球2個(gè).若從中隨機(jī)取出2個(gè)球,則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于.

解析:從5個(gè)小球取出2個(gè)小球所有可能的取法n=C52=10(種),而若取出的2個(gè)小球顏色不同則紅、黃各取一個(gè),取法m=C31·C21=6(種),∴所求事件的概率P=答案:36.(年江蘇卷,3)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若從中隨機(jī)摸出兩只球,則它們顏色不同的概率是.

解析:從4只球中隨機(jī)摸出兩只球,共有C42種不同的取法,其中兩球顏色不同的取法有C31·C11=3種,所以它們顏色不同的概率是P=答案:1幾何概型考向聚焦對(duì)幾何概型的考查,主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn),以面積型為主,有時(shí)也涉及長度型、體積型等,難度不大,所占分值5分左右.將幾何概型與平面區(qū)域、不等式、函數(shù)、平面向量、空間幾何體等問題相結(jié)合是命題的一個(gè)方向備考指津幾何概型求解時(shí)要注意轉(zhuǎn)化,根據(jù)實(shí)際問題的具體情況,合理設(shè)置參數(shù),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的點(diǎn),便可構(gòu)造出度量區(qū)域7.(年北京卷,理2,5分)設(shè)不等式組0≤(A)π4 (B)π(C)π6 (D)解析:不等式組0≤x≤2,0≤y≤2,對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系內(nèi)的區(qū)域D為如圖所示的正方形ABCD,面積為4,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于2對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分,即落在圓x2+y2=4(0≤x≤答案:D.8.(年湖北卷,理8,5分)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()(A)1-2π (B)12(C)2π (D)解析:如圖,不妨設(shè)扇形的半徑為2a,如圖,記兩塊白色區(qū)域的面積分別為S1,S3,兩塊陰影部分的面積分別為S2,S4,則S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π(2a)2=πa2,而S1+S2與S2+S3的和恰好為一個(gè)半徑為a的圓,即S1+S2+S2+S3=πa2.②①-②得S2=S4,由圖可知S2=(S扇形EOD+S扇形COD)-S正方形OEDC=12πa2-a2,所以S陰影=πa2-2a2由幾何概型概率公式可得,此點(diǎn)取自陰影部分的概率為P=S陰影S扇形OAB=答案:A.幾何概型的求解依據(jù)是概率P=S陰影S9.(年遼寧卷,理10,5分)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為()(A)16 (B)13 (C)2解析:如圖,設(shè)AC=xcm,則CB=(12-x)cm,由x(12-x)<32,x2-12x+32>0,解得x<4或x>8,故點(diǎn)C移動(dòng)的區(qū)間長度為2×4=8,由幾何概型知P=812=2答案:C.10.(年福建卷,理4)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn).若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()(A)14 (B)13 (C)1解析:記“Q點(diǎn)落在△ABE內(nèi)部”為事件A,則P(A)=S△ABES矩形ABCD答案:C.幾何概型具有無限性和等可能性這兩個(gè)特點(diǎn),因此幾何概型的求解與古典概型的求解思路是一樣的,都屬于“比例解法”,即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形長度(或面積或體積)”與“試驗(yàn)的基本事件所占總長度(或面積或體積)”之比來計(jì)算.11.(年湖南卷,理15,5分)函數(shù)f(x)=sin(ωx+)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的部分圖象如圖所示,其中,P為圖象與y軸的交點(diǎn),A,C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),B為圖象的最低點(diǎn).(1)若=π6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,332),則ω=;(2)若在曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為.

解析:(1)f'(x)=ωcos(ωx+),根據(jù)條件得ωcosπ6=332(2)f'(x)=ωcos(ωx+),當(dāng)ωx+=π2時(shí),得A(π2當(dāng)ωx+=3π2時(shí),得C(3所以|AC|=xC-xA=πω,又B點(diǎn)縱坐標(biāo)為-ω,所以△ABC的面積S'=12·πω·|-ω曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域面積S=-xAxCf'(x)dx=f(xA)-f(xC)=sin(ω·-sin(ω·3π2-所以該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為P=π22=答案:3π在計(jì)算概率時(shí),要分析試驗(yàn)結(jié)果與概率模型,在幾何概型的概率計(jì)算中,要搞清“區(qū)域”的含義.12.(年江西卷,理12)小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng),他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn),若此點(diǎn)到圓心的距離大于12,則周末去看電影;若此點(diǎn)到圓心的距離小于14,則去打籃球;否則,在家看書.則小波周末不在家看書的概率為解析:由題意知小波周末不在家看書即看電影或打籃球所對(duì)應(yīng)單位圓的區(qū)域如圖陰影部分所示.∴不在家看書的概率為P=π=1-14+116=答案:1313.(年陜西卷,理13)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為.

解析:這是面積型幾何概型概率的求解.矩形的面積為1×3=3,而陰影部分的面積為013x2dx=x3|0答案:114.(年新課標(biāo)全國卷,理13)設(shè)y=f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù),且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分01f(x)dx,先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,N).再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點(diǎn)數(shù)N1,那么由隨機(jī)模擬方法可得積分01解析:因?yàn)?≤f(x)≤1且由積分的