新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類第6講立體幾何(2022-2023年高考真題)(原卷版+解析)

第6講立體幾何（2022-2023年高考真題）一．選擇題1．（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積A．24 B．26 C．28 D．302．（2023?甲卷）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為A．1 B． C．2 D．33．（2023?乙卷）已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為A． B． C． D．4．（2023?天津）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為A． B． C． D．5．（2023?甲卷）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的面積為A． B． C． D．6．（2023?乙卷）已知為等腰直角三角形，為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線與平面所成角的正切值為A． B． C． D．7．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．8．（2022?甲卷）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則A． B．與平面所成的角為 C． D．與平面所成的角為9．（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是A． B． C． D．10．（2022?北京）已知正三棱錐的六條棱長均為6，是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為A． B． C． D．11．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，12．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為A． B． C． D．13．（2022?甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為A．8 B．12 C．16 D．2014．（2022?乙卷）在正方體中，，分別為，的中點，則A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面15．（2022?甲卷）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則A． B． C． D．16．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．17．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為A． B． C． D．二．多選題18．（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體 C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體19．（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為 C． D．的面積為20．（2022?新高考Ⅰ）已知正方體，則A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為 C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面所成的角為21．（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則A． B． C． D．三．填空題22．（2023?上海）空間中有三個點、、，且，在空間中任取2個不同的點，使得它們與、、恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有種．23．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．24．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為．25．（2023?乙卷）已知點，，，均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．26．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．四．解答題27．（2023?乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，，，，的中點分別為，，，點在上，．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的正弦值．28．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）證明：直線平面；（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大?。?9．（2023?甲卷）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1．（1）求證：AC＝A1C；（2）若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．30．（2023?天津）如圖，已知平面，，，，，分別為，中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離．31．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點．（1）證明；（2）點滿足，求二面角的正弦值．32．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．33．（2022?天津）直三棱柱中，，，，為中點，為中點，為中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．34．（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．35．（2022?甲卷）在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；（2）求與平面所成的角的正弦值．36．（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．37．（2022?新高考Ⅱ）如圖，是三棱錐的高，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．38．（2022?新高考Ⅰ）如圖，直三棱柱的體積為4，△的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．39．（2022?乙卷）如圖，四面體中，，，，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，點在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．40．（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊，為邊中點，且底面，．（1）求三棱錐體積；（2）若為中點，求與面所成角大?。?講立體幾何（2022-2023年高考真題）一．選擇題1．（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積A．24 B．26 C．28 D．30【答案】【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個直四棱柱組成的幾何體．如圖所示：故該幾何體的表面積為：．故選：．2．（2023?甲卷）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為A．1 B． C．2 D．3【答案】【解析】如圖，，，取的中點，連接，，可得，，又，、平面，平面，在與中，求得，在中，由，，得，則，，．故選：．3．（2023?乙卷）已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為A． B． C． D．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，即，取的中點，連接、，由于圓錐的底面半徑為，即，而，故，同時，中，，為的中點，則有，又由的面積等于，即，變形可得，而，則有，解可得，故該圓錐的體積．故選：．4．（2023?天津）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為A． B． C． D．【答案】【解析】在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，所以，設(shè)到平面的距離，到平面的距離，則，則三棱錐的體積為．故三棱錐和三棱錐的體積之比為．故選：．5．（2023?甲卷）在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的面積為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，設(shè)在底面的射影為，連接，設(shè)，，且，則，或，易知，又，則根據(jù)最小角定理（三余弦定理）可得：，或，或，或，或，又，，，，，，再根據(jù)最小角定理可得：，，又，，的面積為．故選：．6．（2023?乙卷）已知為等腰直角三角形，為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線與平面所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，取的中點，連接，，則根據(jù)題意易得，，二面角的平面角為，，，且，平面，又平面，平面平面，在平面內(nèi)的射影為，直線與平面所成角為，過作垂直所在直線，垂足點為，設(shè)等腰直角三角形的斜邊長為2，則可易得，，又，，，，．故選：．7．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】【解析】正三棱柱中，，正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，如圖，過作，垂足點為，連接，則，與所成的角為，且，又，，，，與平面所成的角為，且，，，①，再過點作，垂足點為，連接，又易知底面，底面，，又，平面，二面角的平面角為，且，又，，，，，②，又，，③，由①②③得，又，，，，在，單調(diào)遞增，，故選：．8．（2022?甲卷）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則A． B．與平面所成的角為 C． D．與平面所成的角為【答案】【解析】如圖所示，連接，，不妨令，在長方體中，面，面，所以和分別為與平面和平面所成的角，即，所以在中，，，在中，，，所以，，，故選項，錯誤，由圖易知，在平面上的射影在上，所以為與平面所成的角，在中，，故選項錯誤，如圖，連接，則在平面上的射影為，所以為與平面所成的角，在△中，，所以，所以選項正確，故選：．9．（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是A． B． C． D．【答案】【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，所以幾何體的體積為：．故選：．10．（2022?北京）已知正三棱錐的六條棱長均為6，是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)點在面內(nèi)的投影為點，連接，則，所以，由，知表示的區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓，所以其面積．故選：．11．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點都在同一球面上，連接與交于點，連接，則球心在直線上，連接，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，在中，，即，球的體積為，球的半徑，在中，，即，，，，又，，該正四棱錐體積，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，（4），又，，且，，即該正四棱錐體積的取值范圍是，，故選：．12．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為A． B． C． D．【答案】【解析】對于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，，當且僅當，為圓的直徑，且時，等號成立，此時四邊形為正方形，當該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，該四棱錐的高，該四棱錐的體積，當且僅當，即時，等號成立，該四棱錐的體積最大時，其高，故選：．13．（2022?甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為A．8 B．12 C．16 D．20【答案】【解析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱，四棱柱的底面是直角梯形，如圖，，，，平面，該多面體的體積為：．故選：．14．（2022?乙卷）在正方體中，，分別為，的中點，則A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】【解析】對于，由于，分別為，的中點，則，又，，，且，平面，平面，則平面，又平面，平面平面，選項正確；對于，由選項可知，平面平面，而平面平面，在該正方體中，試想運動至?xí)r，平面不可能與平面垂直，選項錯誤；對于，在平面上，易知與必相交，故平面與平面不平行，選項錯誤；對于，易知平面平面，而平面與平面有公共點，故平面與平面不可能平行，選項錯誤．故選：．15．（2022?甲卷）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則，，解得，，由勾股定理可得，．故選：．16．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】【解析】當球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，設(shè)球的半徑為，則軸截面中由幾何知識可得，解得，該球的表面積為．當球心在臺體內(nèi)時，如圖，此時，無解．綜上，該球的表面積為．故選：．17．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為A． B． C． D．【答案】【解析】，，根據(jù)題意，增加的水量約為．故選：．二．多選題18．（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體 C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】【解析】對于，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為，選項正確；對于，如圖，正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長為，選項正確；對于，棱長為1的正方體的體對角線為，選項錯誤；對于，如圖，六邊形為正六邊形，，，，，，為棱的中點，高為0.01米可忽略不計，看作直徑為1.2米的平面圓，六邊形棱長為米，，所以米，故六邊形內(nèi)切圓半徑為米，而，選項正確．故選：．19．（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為 C． D．的面積為【答案】【解析】取中點，則，，由二面角的定義可知，二面角的平面角即為，對于，中，由于，，則，，則，，選項正確．對于，，選項錯誤．對于，，選項正確．對于，，，選項錯誤．故選：．20．（2022?新高考Ⅰ）已知正方體，則A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為 C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面所成的角為【答案】【解析】如圖，連接，由，，得四邊形為平行四邊形，可得，，直線與所成的角為，故正確；，，，平面，而平面，，即直線與所成的角為，故正確；設(shè)，連接，可得平面，即為直線與平面所成的角，，直線與平面所成的角為，故錯誤；底面，為直線與平面所成的角為，故正確．故選：．21．（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)，，，如圖所示，連接交于點，連接、，則，，，故，，故、正確，、錯誤．故選：．三．填空題22．（2023?上海）空間中有三個點、、，且，在空間中任取2個不同的點，使得它們與、、恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有種．【答案】2．【解析】如圖所示，設(shè)任取2個不同的點為、，當為正四棱錐的側(cè)面時，如圖，平面的兩側(cè)分別可以做作為圓錐的底面，有2種情況，同理以、為底面各有2種情況，所以共有6種情況；當為正四棱錐的截面時，如圖，、位于兩側(cè)，為圓錐的底面，只有一種情況，同理以、為為底面各有1種情況，所以共有3種情況；綜上，共有種情況．故答案為：9．23．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．如圖所示，根據(jù)題意易知△，，又，，，又上下底面正方形邊長分別為2，4，所得棱臺的體積為．故答案為：28．24．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為．如圖，設(shè)正四棱臺的上下底面中心分別為，，過作，垂足點為，由題意易知，又，，又，，該四棱臺的體積為．故答案為：．25．（2023?乙卷）已知點，，，均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2．【解析】設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，解得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，，則，，，，解得．故答案為：2．26．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．【答案】．【解析】因為圓柱的底面積為，即，所以，所以．故答案為：．四．解答題27．（2023?乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，，，，的中點分別為，，，點在上，．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的正弦值．【解析】證明：（1）由題可知，，設(shè)，，則，解得，，，而，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．證明：（2），，，即，，，，平面，平面，平面平面．（3）設(shè)二面角的平面角為，，，為和的夾角，，，，，二面角的正弦值為．28．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）證明：直線平面；（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大小．【解析】（1）證明：根據(jù)題意可知，，且，可得平面平面，又直線平面，直線平面；（2）設(shè)，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為，，底面，在底面內(nèi)過作，垂足點為，則在底面內(nèi)的射影為，根據(jù)三垂線定理可得，故即為所求，在中，，，，，又，，二面角的大小為．29．（2023?甲卷）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1．（1）求證：AC＝A1C；（2）若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．【解析】（1）證明：取CC1的中點，連接A1O，∵A1C⊥底面ABC，AC?底面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C⊥A1C1，∴A1O＝C1C＝1，∵A1C⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴A1C⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面A1C1CA，∵BC?平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面A1C1CA，∵A1到平面BCC1B1的距離為1，∴A1到CC1的距離為1，∴A1O⊥CC1，∴AC＝A1C；（2）過A作AM∥A1O交C1C的延長線與M，連接MB1，取BB1的中點N，連接ON，∴四邊形BCON為平行四邊形，∴ON⊥平面A1C1CA，A1O∩ON＝O，∴CC1⊥平面A1ON，∵A1N?平面A1ON，∴CC1⊥A1N，∴AA1⊥A1N，∴A1N為直線AA1與BB1距離，∴A1N＝2，∴ON＝，由（1）可知AM⊥平面BCC1B1，∴∠AB1M為AB1與平面BCC1B1所成角的角，易求得C1M＝3，∴B1M＝＝2，∵A1M＝1，∴A1B＝＝，∴sin∠AB1M＝＝．∴AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為．30．（2023?天津）如圖，已知平面，，，，，分別為，中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離．【解析】（Ⅰ）證明：連接，可得為△的中位線，可得，且，而，，則，，可得四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面；（Ⅱ）取的中點，連接，由，，可得．由平面，平面，可得，可得平面．過作，垂足為，連接，由三垂線定理可得，可得為平面與平面所成角．由．在矩形中，，所以；（Ⅲ）設(shè)到平面的距離為．在△中，，，，則．由，可得，解得．31．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點．（1）證明；（2）點滿足，求二面角的正弦值．【分析】（1）根據(jù)已知條件，推得，，再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可求證．（2）根據(jù)已知條件，推得平面，依次求出兩個平面的法向量，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【詳解】證明：（1）連接，，，為中點．，又，，與均為等邊三角形，，，，平面，平面，．（2）設(shè)，，，，，，又，，平面，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，0，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，，則，令，解得，，令，解得，，故，1，，，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，所以二面角的正弦值為．32．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．【分析】（1）建系，根據(jù)坐標法及向量共線定理，即可證明；（2）建系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，方程思想，即可求解．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：，2，，，0，，，2，，，0，，，，，又，，，四點不共線，；（2）在（1）的坐標系下，可設(shè)，2，，，，又由（1）知，0，，，2，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，根據(jù)題意可得，，，，又，，解得或，為的中點或的中點，．33．（2022?天津）直三棱柱中，，，，為中點，為中點，為中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）證明：取的中點，連接，，連接交于，再連接，，且是的中點，則是的中點，，，又平面，平面，平面，同理可得，平面，又，平面平面，平面，（2）在直三棱柱中，，則可建立如圖所示的空間直角坐標系，又，為中點，為中點，為中點．故，2，，，0，，，0，，，0，，，1，，則，，，，0，，，1，，設(shè)，，是平面的法向量，則有：，，即，令，則，，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則，（3），0，，則，0，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則有，，即，令，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以．34．（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】證明：由于，，平面平面，平面，平面，所以為二面角的平面角，則，平面，則．又，則是等邊三角形，則，因為，，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，因為平面，故；（Ⅱ）由于平面，如圖建系：于是，則，，設(shè)平面的法向量，，，則，，令，則，，平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則．35．（2022?甲卷）在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；（2）求與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）證明：底面，面，，取中點，連接，，，，又，，，為直角三角形，且為斜邊，，又，面，面，面，又面，；（2）由（1）知，，，兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則可取，設(shè)與平面所成的角為，則，與平面所成的角的正弦值為．36．（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】證明：取中點，連接，，為的中點．，且，四邊形是平行四邊形，故，平面；平面，平面，是中點，是的點，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；側(cè)面為正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若選①：；又，平面，又平面，，又，，，，兩兩垂直，若選②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，1，，，1，，