蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題10.2分式的運(yùn)算【八大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題10.2分式的運(yùn)算【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知分式恒等式確定分子或分母】 ③運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若混合運(yùn)算種有乘除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算?！绢}型1已知分式恒等式確定分子或分母】【例1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)【詳解】解：∵6x3∴6∴6x∴當(dāng)x=0時(shí)，B+D=0①當(dāng)x=1時(shí)，A+B+3C+D=16當(dāng)x=?1時(shí)，3B?A∵6x即6∴A+C=6④聯(lián)立①③③④解之得A=C=3、B=?2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了部分分式的計(jì)算，題目比較復(fù)雜，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關(guān)于A、B、C、D的方程組即可解決問題．【變式1-1】（2023·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若3x?4(x?1)(x?2)=K【答案】1【分析】根據(jù)分式的加減和恒等關(guān)系即可求解．【詳解】解：原式變形，得3x?4(x?1)(x?2)＝3k∴3K＝3，4K＝4，解得K＝1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解決本題的關(guān)鍵是恒等關(guān)系變形．【變式1-2】（2023上·上海黃浦·八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？计谥校┮讶?x2?7x+2x?1x+1【答案】a=?1【分析】先把分式恒等式去分母可得3x【詳解】解：3x∴去分母可得：3x∴3x由恒等式可得：a+b=?7a?b?3=2解得：a=?1b=?6【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含義”是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023上·云南昆明·八年級(jí)昆明市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）閱讀下列材料：若1?3xx2?1=A解：等式右邊通分，得A根據(jù)題意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2仿照以上解法，解答下題．(1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中(2)若12n?12n+1=a2n?1?b(3)計(jì)算：11×3【答案】(1)M=?1(2)12，(3)1010【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的方法計(jì)算即可求出M與N的值；（2）根據(jù)閱讀材料中的方法計(jì)算即可求出a與b的值；（3）由11×3=12×【詳解】（1）解：等式右邊通分，得Mx+1根據(jù)題意，得2M?N=1?3M?N=6，解之得M=?1（2）解：等式右邊通分，得a2n?1根據(jù)題意，得2a?2b=0a+b=1，解之得a=b=故答案為：12，1（3）解：1=====故答案為：10102021【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【題型2比較分式的大小】【例2】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南師附中樹人學(xué)校校考期中）比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，我們常常用到“作差法”：如果a?b>0，那么a>b；如果a?b=0，那么a=b；如果a?b<0，那么a<b．（1）已知2x>y>0，且A=xy，B=x+1y+2，試用“作差法”比較（2）比較兩數(shù)1999199820212020和19991999（3）對(duì)于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，則【答案】(1)A>B；(2)1999199820212020>【分析】用作差法求解．【詳解】(1)A?B=x∵y>0，∴y+2>0，∴yy+2∵2x>y，∴2x?y>0，∴2x?yyy+2>0故答案為：A>B．（2）令19991998=t，20212020=m，1999199820212020∵2t>m，∴2t?m>0，∵m>0，則m+2>0，∴m(m+2)>0，∴1999199820212020（3）A?B=0，xy?x+1y為正數(shù)，所以分母不為0∴2x?y=0，y=2x．故答案為：y=2x．【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大?。喝绻鸄-B＞0，那么A＞B；如果A-B=0，那么A=B；如果A-B＜0，那么A＜B．【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)當(dāng)x>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)y=3P?Q2【答案】(1)P-Q≥0，理由見解析；(2)y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3．【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關(guān)系；（2）先表示y，再求y的整數(shù)值．【詳解】（1）解：P-Q≥0，理由如下：P-Q=x+1?==(x?1)∵x＞0，∴x+1＞0，（x-1）2≥0．∴P-Q≥0；（2）解：y==?2+5∵x，y是整數(shù)，∴x+1是5的因數(shù)．∴x+1=±1，±5．對(duì)應(yīng)的y值為：∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．∴y的整數(shù)值為：-7，-3，-1，3．【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算和比較大小，正確進(jìn)行分式的加減運(yùn)算是求解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023上·湖南常德·八年級(jí)常德市第七中學(xué)?？计谥校?1)若a、b為正數(shù)，且a<b，直接判斷1a與1(2)若a、b為正數(shù)，且a≠b，試比較ba(3)若1a+1b=1【答案】(1)1(2)ba(3)ba【分析】（1）計(jì)算出1a?1b=b?aab，再根據(jù)a（2）計(jì)算出ba+ab?2=(b?a)2ab，再根據(jù)（3）計(jì)算出ba+ab?ab=【詳解】（1）1a理由如下：1a∵a、b為正數(shù)，∴ab＞0，∵a＜b，∴b-a＞0，∴1a即有：1a（2）ba理由如下：ba∵a、b為正數(shù)，∴ab＞0，∵a≠b，∴(b?a)2∴ba∴ba（3）ba理由如下：ba∵1a∴1a∴a+b=ab，∴ba∴ba【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識(shí)，掌握分式的混合運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知b＞a＞0．(1)比較大?。篴ba+1(2)若c＞0，比較ab與a+c(3)下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．①若n＞m＞0，則m+2n+2③若n＞m＞2，則m?2n?2③若n＞m＞2，則m?2n?2④若n＞m＞2021，則m+2022n+2022【答案】(1)＜(2)a+c(3)③④【分析】（1）利用作差法判斷大小即可．（2）利用作差法比較大小即可．（3）利用作差法逐項(xiàng)進(jìn)行比較判斷即可．【詳解】（1）解：a+1b+1?ab∵b>a>0，∴b?a>0，b(b+1)>0，∴b?ab(b+1)∴a+1b+1即ab故答案為：<．（2）a+cb+c?ab=b(a+c)b(b+c)?∵b>a>0，c>0，∴c(b?a)>0，b(b+c)>0，∴c(b?a)b(b+c)即a+cb+c（3）①m+2n+2?mn=n(m+2)?m(n+2)∵n>m>0，∴2(n?m)>0，n(n+2)>0，∴2(n?m)n(n+2)則m+2n+2③m?2n?2?mn=n(m?2)?m(n?2)∵n>m>2，∴2(m?n)<0，n(n?2)>0，∴2(m?n)n(n?2)則m?2n?2<m③m?2n?2?m+1n+1=(m?2)(n+1)?(m+1)(n?2)∵n>m>2，∴3(m?n)<0，(n?2)(n+1)>0，∴3(m?n)(n?2)(n+1)則m?2n?2④m+2022===4043(n?m)∵n>m>2021，∴4043(n?m)>0，(n+2022)(n?2021)>0，∴4043(n?m)(n+2022)(n?2021)則m+2022n+2022故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握作差法以及分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】1.整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：a?n2.若am=an，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則am【題型3分式的混合運(yùn)算】【例3】（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)3(2)x?y【答案】(1)8(2)1【分析】（1）先對(duì)各個(gè)分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加減運(yùn)算法則運(yùn)算后約分即可得到答案；（2）先對(duì)各個(gè)分式分子分母因式分解，根據(jù)分式混合運(yùn)算順序，先計(jì)算乘除，再利用分式加減運(yùn)算法則運(yùn)算后約分即可得到答案．【詳解】（1）解：3=3===8（2）解：x?y=x?y=x+3y==1．【點(diǎn)睛】本題考查分式混合運(yùn)算，涉及通分、約分、因式分解等知識(shí)．掌握分式混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序，熟記因式分解的方法，準(zhǔn)確找到最簡(jiǎn)公分母通分是解決分式混合運(yùn)算的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算a2a?b?a?b【答案】b【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則，先通分，再加減．【詳解】解：原式====b故答案為：b2【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．【變式3-2】（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)x分別取?2023，?2022，?2021，…，?2，?1，0，1，12，1A．?1 B．1 C．0 D．2023【答案】B【分析】先求出x=?a和x=1aa≠0【詳解】解：當(dāng)x=?a和x=1?a==0當(dāng)x=0時(shí)，x2則所求的和為0+0+0+?+0+?1故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和歸納出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023上·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．x2=x+3=x?3=2x?6=2x?6?=2x?6?2x+1=?5任務(wù)一：填空：以上化簡(jiǎn)步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是或填為：；第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果是；任務(wù)三：根據(jù)小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程：完成下列分式的計(jì)算：1a+1【答案】任務(wù)一：①三，分式的基本性（分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變）；③五，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是“?”號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；任務(wù)二：?72x+6【分析】任務(wù)一：本題考查的是分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，去括號(hào)法則的應(yīng)用；①根據(jù)通分的概念及分式的基本性質(zhì)進(jìn)行填空；③根據(jù)去括號(hào)法則進(jìn)行分析判斷；任務(wù)二：本題考查的是分式的混合運(yùn)算；先將能進(jìn)行因式分解的分子分母進(jìn)行因式分解，然后進(jìn)行通分，再計(jì)算即可；任務(wù)三：本題考查的是分式的混合運(yùn)算；先將能進(jìn)行因式分解的分子分母進(jìn)行因式分解，先計(jì)算乘法運(yùn)算，再通分進(jìn)行分式加減法運(yùn)算即可．【詳解】解：任務(wù)一：①化簡(jiǎn)步驟中，第三步進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)或填為分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變，③第五步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是“?”號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)，任務(wù)二：x2======?任務(wù)三：1====3【題型4分式的化簡(jiǎn)求值】【例4】（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【答案】?【分析】先根據(jù)完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，進(jìn)一步推出ab+bc+ac=?6，由ca+3b+3=c?3a?3，由此代入所求式子中并化簡(jiǎn)得到【詳解】解：∵a+b+c=2，∴a+b+c2∴a2∵a2∴ab+bc+ac=?6，∵a+b+c=2，∴c=2?a?b，∴3c+3=9?3a?3b，∴ab+3c+3=ab+9?3a?3b==a=a?3同理可得：bc+3a+3=b?3ca+3b+3=c?3∴=======?7【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值問題，完全平方公式，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)公式將所給的代數(shù)式恒等變形，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)．【變式4-1】（2023上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x2?x?2=0求代數(shù)式【答案】?1【分析】本題考查了分式的運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，先對(duì)分子和分母因式分解，將除式的分子、分母交換位置將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分、化簡(jiǎn)，再通分化簡(jiǎn)，把已知變形為x2【詳解】解：3x?3=3===x?1?x=?1∵x2∴x∴原式=?1【變式4-2】（2023下·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鬭bc=1，a+b+c=2，a2+b2【答案】?【分析】首先求出ab+ac+bc=12，將原代數(shù)式的分母變形為【詳解】解：∵a+b+c=2，∴a∵a∴ab+bc+ac=1∵a+b+c=2，∴c?1=1?a?b，∴ab+c?1=ab+1?a?b=a?1同理可得：bc+a?1=b?1c?1，∴原式======?2故答案為：?2【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)公式將所給的代數(shù)式恒等變形，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，對(duì)綜合的分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．【變式4-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足：xy+yz+zx≠1，且(x2?1)(y2【答案】1【分析】先把(x2?1)(y2?1)xy+(y2?1)(z2?1)yz+(z2?1)(x2?1)zx=4去分母、移項(xiàng)，根據(jù)因式分解法變形為[xyz﹣（x+y【詳解】解：∵(x∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）=0，∴xyz=x+y+z，∴1yz即1xy故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．【題型5分式加減的應(yīng)用】【例5】（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為m米m>1的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為m?1米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了n千克．設(shè)“豐收1號(hào)”小麥和“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量分別為P千克/米2和Q千克/米2．下列說法：①P>Q；③P=Q；③P<Q；④P是Q的m?1m+1倍．其中正確的個(gè)數(shù)有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】分別表示出P=nm2?1，Q=n【詳解】解：由題意可得：P=nm2∵P?Q====?2n∵n>0，∴?2nm+1m?12∵P==故③④正確，共2個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．【變式5-1】（2023下·四川遂寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一輛貨車送貨上山，并按原路下山．上山速度為a千米/小時(shí)，下山速度為b千米/小時(shí)，則貨車上、下山的平均速度為（

）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)b2 C．a(chǎn)+b2ab【答案】D【分析】平均速度=總路程÷總時(shí)間，設(shè)單程的路程為x，表示出上山下山的總時(shí)間，把相關(guān)數(shù)值代入化簡(jiǎn)即可；【詳解】設(shè)上山的路程為x千米則上山的時(shí)間xa小時(shí)，下山的時(shí)間為x則上、下山的平均速度2xx故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，得到平均速度的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，得到總時(shí)間的代數(shù)式是解決本題的突破點(diǎn)．【變式5-2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，用我們平時(shí)喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”也能驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論．現(xiàn)有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，則糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為ba(1)糖水實(shí)驗(yàn)一：加入m克水，則糖水的濃度為_____________．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫出一個(gè)不等式_____________，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”．(2)糖水實(shí)驗(yàn)二：將“糖水實(shí)驗(yàn)一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，則糖水的濃度為____________．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)新的“糖水不等式”____________．(3)請(qǐng)結(jié)合（2）探究得到的結(jié)論嘗試證明：設(shè)a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)，求證：ca+b【答案】(1)b(2)b+m(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意寫出新的分式和不等式即可；（2）加入m克糖后，分子分母都變化，此時(shí)需要證明不等式的正確性，利用做差法即可；（3）利用（2）的結(jié)論來證明即可．【詳解】（1）解：由題意得，加入m克水，糖水為a+m克，∴糖水的濃度為ba+m∵糖水加水后會(huì)變淡，即糖水的濃度變小，∴ba+m故答案為：ba+m；b（2）解：由題意得，加入m克糖，糖水為a+m克，糖為b+m克，∴糖水的濃度為b+ma+m假設(shè)新的“糖水不等式”為baba?b+m∴b?a<0,a+m>0，∴m(b?a)a(a+m)<0，即故答案為：b+ma+m；b+m（3）證明：由（2）可知c+c∴∴∵∴c【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023上·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某海灣城市有A，B兩個(gè)港口、有兩條航線能夠連接A，B兩個(gè)港口，兩條航線的路程都是150km，已知貨輪在靜水中的最大航速為vv>5(1)若該貨輪在水流速度為5km/h的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度；(2)航運(yùn)公司計(jì)劃用該貨輪將一批貨物以最大航速?gòu)腁港送往B港，再?gòu)腂港返回A港．根據(jù)海流預(yù)報(bào)：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為5km/h，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內(nèi)灣，水流速度忽略不計(jì)．為了使送貨的往返的總時(shí)間更短，請(qǐng)通過計(jì)算說明航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇哪一條航線．【答案】(1)順流航行的最大速度為v+5km/h(2)航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇航線2．【分析】（1）根據(jù)v順=v（2）航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，得到t總=300vv+5v?5；航線2：從A港到B港和從B港返回A【詳解】（1）解：∵貨輪在靜水中的最大航速為vv>5∴水流速度為5km/h，∴順流航行的最大速度為v+5km逆流航行的最大速度為v?5km（2）解：航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，依題意得t總航線2：從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為v，依題意得t總t總∴t總∴航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇航線2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式加減的應(yīng)用、列代數(shù)式，要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列式再求解，解題關(guān)鍵是理解順?biāo)叫兴俣群湍嫠叫兴俣龋绢}型6分式運(yùn)算的規(guī)律探究】【例6】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)期末）觀察下列式子：11?3+55?3=2，4按照上面式子的規(guī)律，完成下列問題：(1)再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的式子：①，③；(2)設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則這個(gè)規(guī)律可用字母x表示為x()(3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律．【答案】(1)?1?1?3+7(2)x-3，6-x，6-x-3(3)見解析【分析】（1）根據(jù)所給式子，寫出符合條件的即可；（2）第一個(gè)數(shù)為x，第一個(gè)數(shù)的分母為x-3，第二個(gè)數(shù)的分子為6-x,分母為6-x-3，由此可得結(jié)論；（3）利用分式的運(yùn)算方法驗(yàn)證即可．【詳解】（1）①?1?1?3③1010?3故答案為：?1?1?3+7（2）通過觀察可得規(guī)律：xx?3故答案為：x-3，6-x，6-x-3；（3）x====2，∴xx?3【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分式的加減運(yùn)算，通過觀察式子的特點(diǎn)，找到各式子分子、分母之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：23第2個(gè)等式：44第3個(gè)等式：65第4個(gè)等式：86第5個(gè)等式：107按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)12(2)2n(n+2)【分析】（1）根據(jù)題目中前5個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第6個(gè)等式；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號(hào)的右邊的值，進(jìn)而得到左右相等便可．【詳解】（1）解：128（2）解：2n(n+2)左邊=2n∴等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校╅喿x理解：閱讀下列過程因?yàn)?×21=4，因?yàn)?×32=9因?yàn)?×43=16因?yàn)?×54=25…………………．．(1)根據(jù)上面規(guī)律填空，8×8(2)根據(jù)你觀察的特點(diǎn)，用含n的公式表示上面的規(guī)律為______________(3)證明你得到的公式是否正確．【答案】(1)8+(2)(n+1)×(3)見詳解【分析】（1）由已知算式的規(guī)律直接把乘改為加即可；（2）利用以上規(guī)律得出答案即可；（3）利用分式的運(yùn)算方法得出答案即可．【詳解】（1）解：8×8（2）解：(n+1)×n+1（3）證明：∵左邊=(n+1)2n∴左邊=右邊，∴(n+1)×n+1【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．【變式6-3】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：12第2－個(gè)等式：12第3個(gè)等式：12第4個(gè)等式：12……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：__________________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)1(2)12【分析】（1）根據(jù)前4個(gè)等式得出第五個(gè)等式即可；（2）通過觀察減號(hào)后面的數(shù)字規(guī)律，再結(jié)合每個(gè)式子找到規(guī)律，最后寫出即可．【詳解】（1）解：1（2）1左邊=右邊=∴左邊=右邊．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字類變化規(guī)律，仔細(xì)觀察每個(gè)式子中對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字，并找到相關(guān)系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型7分式中的新定義問題】【例7】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即A?B=AB，則稱分式B是分式A“友好分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1所以1x+2是1(1)分式22y+5______2(2)小明在求分式1x設(shè)1x2+y2∴1x∴N=1請(qǐng)你仿照小明的方法求分式xx?3(3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式bax+b③若n+2mx+m2+n是【答案】(1)是(2)x(3)①bax+2b；③【分析】（1）根據(jù)友好分式的定義進(jìn)行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解；（3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解；③由①推出的結(jié)論，類比形式求解即可.【詳解】（1）解：∵22y+3?∴22y+3與2故答案為：是（2）解：設(shè)xx?3的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則x∴xx?3∴N=x（3）解：①設(shè)bax+b的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則b∴bax+b∴N=b規(guī)律是：將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”.故答案為：bax+2b③將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”.據(jù)此可得n+2=m?1mx+整理得m?n=3∴m+n=m故答案為：2【點(diǎn)睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.【變式7-1】（2023下·浙江湖州·八年級(jí)?？计谀┬露x：若兩個(gè)分式A與B的差為n（n為正整數(shù)），則稱A是B的“n分式”．例如：xx?1?1x?1=1，則稱分式xx?1是分式1A．4x+3x+2是x?3x+2的“3B．若a的值為?3，則12+x3+2x是ax+63+2x的“2C．若2aba2?4b2是D．若a與b互為倒數(shù)，則5aa+b2是?5ba【答案】B【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算逐個(gè)驗(yàn)證正確與否即可．【詳解】A、4x+3x+2B、12+x3+2xC、由已知條件得：2aba2?4D、由已知得：ab=1，5aa+【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用新定義的運(yùn)算規(guī)則．【變式7-2】（2023下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“互聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=(1)判斷分式3x+2與分式3(2)小紅在求分式1x設(shè)1x2+y2∴1x2請(qǐng)你仿照小紅的方法求分式x+2x+5(3)解決問題：仔細(xì)觀察第（1）（2）小題的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)a，b的值，使4a?2bx+b是4b+2【答案】(1)是，理由見解析；(2)x+2(3)a=14【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義進(jìn)行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解；（3）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解．【詳解】（1）分式3x+2與分式3∵3x+2?3∴分式3x+2是分式3（2）解：設(shè)x+2x+5的“互聯(lián)分式”為N，則x+2∴x+2x+5∴N=x+2（3）解：由（1）（2）可得，yx的“互聯(lián)分式”是y∵4a?2bx+b是4b+2∴4b+2=4a?2bx+b=bx+a+4b+2整理得a?b=1解得a=1【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，分式有意義的條件，理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南京五十中校聯(lián)考期中）定義：若兩個(gè)分式A與B滿足：A?B=3，則稱A與B(1)下列三組分式：①1a+1與4a+1；③4aa+1與a?3a+1；③a2a?1(2)求分式a2a+1(3)若分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，且【答案】(1)③③(2)7a+32a+1或(3)?173【分析】（1）根據(jù)給出的“美妙分式”定義把每一組的分式相減求絕對(duì)值看結(jié)果來判斷；（2）根據(jù)給出的“美妙分式”定義求分式a2a+1（3）根據(jù)分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，得到4a2【詳解】（1）解：①1a+1③4aa+1③a2a?1故答案為：③③；（2）設(shè)分式a2a+1的“美妙分式”為A則A?a∴A?a2a+1=3①當(dāng)A?aA=a③當(dāng)A?aA=a綜上：分式a2a+1的“美妙分式”為7a+32a+1或（3）∵4a2∴4∵4∴3a2∴3a2+ab=3∵a、b均為不等于0的實(shí)數(shù)，∴①a=?3b，③ab=3b把①代入2a把③代入2a綜上：分式2a2?b2【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，熟練掌握分式加減法的法則，對(duì)新定義的理解是解題關(guān)鍵．【題型8分式中的閱讀理解類問題】【例8】（2023下·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀】在處理分式問題時(shí)，由于分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和（差）的形式，通過對(duì)簡(jiǎn)單式子的分析來解決問題，我們稱之為分離整式法．例：將分式x2解：設(shè)x+2=t，則x=t?2．原式=∴x2這樣，分式x2?3x?1x+2就拆分成一個(gè)整式(x?5)【應(yīng)用