人教版九年級上冊數(shù)學舉一反三24.2垂徑定理及其推論【十大題型】(學生版+解析)

專題24.2垂徑定理及其推論【十大題型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】 1【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】 2【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】 3【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】 5【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】 6【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】 7【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】 8【題型8垂徑定理在格點中的運用】 9【題型9利用垂徑定理求整點】 11【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】 12【知識點1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。绢}型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】【例1】（2023春·九年級單元測試）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【變式1-1】（2023春·北京海淀·九年級人大附中校考階段練習）在學習了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學分別整理了一個命題:甲:相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對這兩個命題的判斷,正確的是A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯【變式1-2】（2023春·全國·九年級專題練習）下列命題正確的是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧 B．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心C．平分弦的直徑垂直于弦 D．平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦【變式1-3】（2023·福建三明·泰安模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】【例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，則r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【變式2-1】（2023春·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，點E在AB上運動，連結(jié)OE，過點E作EF⊥OE交⊙O于點F，當EF最大時，OE+EF的值為．【變式2-2】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E點，已知⊙O的半徑為1，則AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點，過點P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長；（3）當P在AB上運動時（∠NPB=45°不變），PM【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】【例3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB=CD=6，則

A．22 B．32 C．42【變式3-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦AD與弦BC交于點G,AD=CB,M,N分別是CB和AD的中點，聯(lián)結(jié)MN,OG．（1）求證：OG⊥MN；（2）聯(lián)結(jié)AC,AM,CN，當CN//OG時，求證：四邊形ACNM為矩形．【變式3-3】（2023春·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）按要求作圖(1)如圖1，已知AB是⊙O的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出∠AOD的角平分線OP；(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點C是BD的中點，AB∥CD，請你用無刻度的直尺在射線DC上找一點P，使四邊形ABPD是平行四邊形．【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】【例4】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則aA．4 B．3+2 C．32 【變式4-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10,0)，點B的坐標是(8,0)，點C，D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標．【變式4-2】（2023·江蘇南京·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為．【變式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O經(jīng)過點0,10，直線y=kx+2k?4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】【例5】（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是【變式5-1】（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【變式5-2】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為．【變式5-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點F，與CD交于點E，已知⊙O半徑為5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的長；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】【例6】（2023春·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，兩個圓都是以O(shè)為圓心．（1）求證：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圓的半徑為5，求大圓的半徑R的值．【變式6-1】（2023春·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【變式6-2】（2023春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【變式6-3】（2023·浙江杭州·九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形ABCD的邊AB和CD分別是兩圓的弦，則矩形ABCD面積的最大值是．【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】【例7】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由APB和直角∠ACB圍成，且點C也在APB所在的圓上，已知AC=4m，隧道的最高點P離路面BC的距離DP=7m，則該道路的路面寬BC=m；在APB上，離地面相同高度的兩點E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若E是AP的中點，則這兩排照明燈離地面的高度是【變式7-1】（2023春·浙江嘉興·九年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請你用直尺和圓規(guī)補全這個輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=8cm，水面最深地方的高度為2【變式7-2】（2023春·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當圓被水面截得的弦AB為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【變式7-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM=30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）【題型8垂徑定理在格點中的運用】【例8】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期末）如圖是由小正方形組成的7×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)在圖（1）中，A，B，C三點是格點，畫經(jīng)過這三點的圓的圓心O，并在該圓上畫點D，使AD=BC；(2)在圖（2）中，A，E，F(xiàn)三點是格點，⊙I經(jīng)過點A．先過點F畫AE的平行線交⊙I于M，N兩點，再畫弦MN的中點G．【變式8-1】（2023春·遼寧盤錦·九年級校考階段練習）如圖，平面直角坐標系中有一段弧經(jīng)過格點（正方形網(wǎng)格交點）A、B、C，其中B2,3，則圓弧所在圓的圓心坐標為【變式8-2】（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是．【變式8-3】（2023·北京·九年級專題練習）如圖，在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，畫出了一個過格點A，B的圓，通過測量、計算，求得該圓的周長是cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【題型9利用垂徑定理求整點】【例9】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點O，MN=10，AB=8，如圖以O(shè)為原點建立坐標系．我們把橫縱坐標都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是，⊙C上的整數(shù)點有個．【變式9-1】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期中）⊙O的直徑為10，弦AB=6，P是弦AB上一動點，滿足線段OP的長為整數(shù)的點P有處不同的位置．【變式9-2】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點(latticepoint（1）若經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在的圓心為M，則點M的坐標為；（2）若畫出該圓弧所在的圓，則在整個平面坐標系網(wǎng)格中該圓共經(jīng)過格點．【變式9-3】（2023·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）⊙O的直徑為10，弦AB=8，點P為AB上一動點，若OP的值為整數(shù)，則滿足條件的P點有個．【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】【例10】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD的頂點A，C在半徑為5的⊙O上，D2,1，當點A在⊙O上運動時，點C也隨之運動，則矩形ABCD的對角線AC的最小值為（

A．25 B．10?5 C．10+5【變式10-1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，則OP的長度范圍是（A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5【變式10-2】（2023春·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的半徑OF⊥弦AB于點E，C是⊙O上一點，EF=2，AB=12，CE的長的最大值為．【變式10-3】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，以G0,1為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F，則弦AB的長度為；當點E在⊙G的運動過程中，線段FG的長度的最小值為專題24.2垂徑定理及其推論【十大題型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】 1【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】 3【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】 8【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】 14【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】 19【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】 23【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】 27【題型8垂徑定理在格點中的運用】 33【題型9利用垂徑定理求整點】 38【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】 41【知識點1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。绢}型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】【例1】（2023春·九年級單元測試）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可；【詳解】∵直徑CD垂直于弦AB于點E，則由垂徑定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故選項A，B，D正確；故選C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·北京海淀·九年級人大附中?？茧A段練習）在學習了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學分別整理了一個命題:甲:相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對這兩個命題的判斷,正確的是A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯【答案】D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中,如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另外兩組量也相等，可判斷甲命題；由垂徑定理可得判斷乙命題.【詳解】(1)在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧對應(yīng)相等,故甲命題錯誤;(2)平分弦的直徑垂直于不是直徑的弦;故乙命題項錯誤;故選D.【點睛】本題主要考查同圓或等圓中，弧、弦、圓心角的關(guān)系及垂徑定理.【變式1-2】（2023春·全國·九年級專題練習）下列命題正確的是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧 B．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心C．平分弦的直徑垂直于弦 D．平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦【答案】ABD【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論進行判斷即可．【詳解】A、垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，正確；B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，正確；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯誤；D、平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦，正確；故選ABD．【點睛】本題考查了垂徑定理：熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·福建三明·泰安模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【答案】B【詳解】試題分析：∵AB⊥CD，AB過O，∴DE=CE，BC=根據(jù)已知不能推出DE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．故選B．【考點】垂徑定理．【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】【例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，則r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【答案】C【分析】設(shè)BC、OA交于D，根據(jù)題意和垂徑定理得到OD=12r，BD=3【詳解】解：設(shè)BC、OA交于D，∵弦BC垂直平分OA，BC=6，∴OD=1在Rt△OBD中，由勾股定理得O∴r2解得r=23故選C．

【點睛】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，利用方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，點E在AB上運動，連結(jié)OE，過點E作EF⊥OE交⊙O于點F，當EF最大時，OE+EF的值為．【答案】7【分析】當OE⊥AB，EF最大，即點F與點B重合，過O作OE⊥AB于E，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到BE=4，根據(jù)勾股定理得到OE=OB【詳解】解：當OE⊥AB，EF最大，即點F與點B重合，過O作OE⊥AB于E，連接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴OE=OB∴OE+EF=OE+OB=7，故答案為7．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E點，已知⊙O的半徑為1，則AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接BE，根據(jù)垂徑定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接BE，如圖，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故選：B．【變式2-3】（2023春·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點，過點P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長；（3）當P在AB上運動時（∠NPB=45°不變），PM【答案】（1）214；（2）217【分析】（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，則OH=22OP=2，再在Rt△OHN中，利用勾股定理計算出NH=14，然后根據(jù)垂徑定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=214（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可計算出ON=17，所AB=2ON=217；(3)作OH⊥MN于H，連接ON，根據(jù)垂定理得HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，則PH2+NH2=R2，然后變形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值為2R2，又AB=2R，代入計算即可求出答案．【詳解】解：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=22OP=2在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=2，∴NH=NO2－OH2∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴MN=2NH=214；（2）作OH⊥MN于H，連接ON，則HM=HN，∵MP=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON=OH2+N∴AB=2ON=217；（3）PM2+P作OH⊥MN于H，連接ON，則HM=HN，設(shè)圓的半徑為R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，∴PM2+PN∴PM2+P【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】【例3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB=CD=6，則

A．22 B．32 C．42【答案】A【分析】如圖所示，過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于F點，連接OB、OC，根據(jù)垂徑定理可求出EH的值，再證Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)【詳解】解：如圖所示，過O點作OH⊥AB于H點，OF⊥CD于F點，連接OB、OC，

∴根據(jù)垂徑定理得，DF=CF=12CD=∵AE=1，∴EH=AH?AE=3?1=2，在Rt△OBH和RtOB=OCBH=CF∴Rt△OBH≌∴OH=OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF=90°，∵∠OHE=∠OFE=90°，∴四邊形OHEF為正方形，OE是正方形的對角線，∴OE=2故選：A．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基礎(chǔ)值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．【答案】3【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．【詳解】解：∵E點為AF中點，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，∠OAE=∠COD∠AEO=∠ODC∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝OC2?CD【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦AD與弦BC交于點G,AD=CB,M,N分別是CB和AD的中點，聯(lián)結(jié)MN,OG．（1）求證：OG⊥MN；（2）聯(lián)結(jié)AC,AM,CN，當CN//OG時，求證：四邊形ACNM為矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結(jié)OM,ON，由M、N分別是CB和AD的中點，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AB=CD，可得OM=ON，可證RtΔEOP≌RtΔFOPHL，MG=NG，∠MGO=∠NGO，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)OG⊥MN（2）設(shè)OG交MN于E，由RtΔEOP≌RtΔFOP，可得MG=NG，可得∠CMN=∠ANM，CM=12CB=12AD=AN，可證△CMN≌△ANM可得AM=CN，由CN∥OG，可得∠AMN=∠CNM=90°，由∠AMN+∠CNM=180°可得【詳解】證明：（1）連結(jié)OM,ON，∵M、N分別是CB和AD的中點，∴OM，ON為弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，OM=ONOG=OG∴RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）設(shè)OG交MN于E，∵RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG，∴∠GMN=∠GNM，即∠CMN=∠ANM，∵CM=1在△CMN和△ANM中CM=AN∠CMN=∠ANM∴△CMN≌△ANM，∴AM=CN,∠AMN=∠CNM，∵CN∥OG，∴∠CNM=∠GEM=90°，∴∠AMN=∠CNM=90°，∴∠AMN+∴AM∥CN，∴ACNM是平行四邊形，∵∠AMN=90°，∴四邊形ACNM是矩形．【點睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）按要求作圖(1)如圖1，已知AB是⊙O的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出∠AOD的角平分線OP；(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點C是BD的中點，AB∥CD，請你用無刻度的直尺在射線DC上找一點P，使四邊形ABPD是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AD，EC交于點F，作射線OF交⊙O于點P，OP即為所求；（2）連接DB，OC交于點E，作射線AE交DC于點P，四邊形ABPD即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，連接AD，EC交于點F，作射線OF交⊙O于點P，OP即為所求；∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴AF=DF，∵OA=OD，∴OP是∠AOD的角平分線；（2）如圖2，連接OD，連接DB，OC交于點E，作射線AE交射線DC于點P，四邊形ABPD即為所求；∵點C是BD的中點，∴OC⊥DB,∵OD=OB，∴DE=EB，∵AB∥∴∠ABE=∠PDE，在△ABE與△PDE中，∠ABE=∠PDE∠AEB=∠PED∴△ABE≌△PDE，∴AB=DP，∵AB∥∴四邊形ABPD是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】【例4】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則aA．4 B．3+2 C．32 【答案】B【分析】作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，求出D點坐標為(3,3)，可得△OCD為等腰直角三角形，從而△PED也為等腰直角三角形．根據(jù)垂徑定理得AE=BE=22，在Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出【詳解】解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，如圖，∵⊙P的圓心坐標是(3,a)，∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D點坐標為(3,3)，∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴∠PDE=∠ODC=45°，∵PE⊥AB，∴△PED為等腰直角三角形，AE=BE=1在Rt△PBE中，PB=3∴PE=3∴PD=2∴a=3+2故選B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。_作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10,0)，點B的坐標是(8,0)，點C，D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標．【答案】點C的坐標為(1,3)【分析】連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H，根據(jù)題意得CD=OB=8，CN=MH，CH=MN，根據(jù)垂徑定理得出CN=DN=12CD=4．MO=MC=5,在Rt△MNC中，勾股定理得出MN=3,進而得出C的縱坐標為3，又【詳解】解：如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H．∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點的坐標是(8,0)，∴CD=OB=8，CN=MH，CH=MN．又∵MN⊥CD，∴CN=DN=12CD=4∵點A的坐標是(10,0)，∴OA=10，∴MO=MC=5．在Rt△MNC中，MN=CM2?CN2∴CH=3．又OH=OM?MH=5?4=1．∴點C的坐標為(1,3)．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·江蘇南京·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為．【答案】(0,?4)【詳解】設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進而可得點D坐標．【解答】解：設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，則EA＝EB＝AB2＝4，F(xiàn)C＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，?1∴CF＝DF＝3?(?12)∴OD＝OF+DF＝12∴D（0，﹣4），故答案為：（0，﹣4）．【點睛】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．【變式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O經(jīng)過點0,10，直線y=kx+2k?4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【答案】C【分析】易知直線y=kx+2k?4過定點D(?2,?4)，運用勾股定理可求出OD，由⊙O經(jīng)過點0,10，可求出半徑OB=10，由于過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．【詳解】解：對于直線y=kx+2k?4，當x=?2時，y=?4，故直線y=kx+2k?4恒經(jīng)過點(?2,?4)，記為點D．由于過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，即當OD⊥BC時，BC最短，連接OB，如圖所示，∵D(?2,?4)，∴OD=?2∵⊙O經(jīng)過點0,10，∴OB=10，∴BD=O∵OB⊥BC，∴BC=2BD=85∴弦BC的最小值是85故選：C．【點睛】本題主要考查了直線上點的坐標特征、垂徑定理、勾股定理等知識，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點(?2,?4)以及運用“過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短”這個經(jīng)驗是解決該題的關(guān)鍵．【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】【例5】（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是【答案】2或14【分析】由于弦AB與CD的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論：①弦AB與CD在圓心同側(cè)；②弦AB與CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦AB與CD在圓心同側(cè)時，如圖①，

過點O作OF⊥AB，垂足為F，交CD于點E，連接OA，∵AB∥∴OE⊥CD，∵AB=12，∴CE=8，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102?∴EF=OF?OE=2；②當弦AB與CD在圓心異側(cè)時，如圖，

過點O作OE⊥CD于點E，反向延長OE交AB于點F，連接OA，同理EO=102?EF=OF+OE=14，所以AB與CD之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．【變式5-1】（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】連接OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計算．【詳解】如圖，連接OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=12EF∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案為：32【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為．【答案】21【分析】由于A、B兩點關(guān)于MN對稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當B、C、P在一條直線上時，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【詳解】解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，∴BE＝12AB＝12，CF＝1∴OE=OB2∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：BC=B即PA＋PC的最小值為212故答案為：212【點睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點F，與CD交于點E，已知⊙O半徑為5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的長；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得AF=1（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長，設(shè)EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的長，即可求出AB的長．【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵EF⊥AB，且EF過圓心，∴AF=1∵AO=5，∴OF=A∵AB//CD，∴EF⊥CD，同理DE=1OE=O∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如圖，連接BO和DO，∵CD=46∴DE=26∴OE=O設(shè)EF=BF=x，則OF=x?1，在Rt△OBF中，OFx?12+x2=25∴BF=4，∴AB=2BF=8．【點睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進行運用求解．【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】【例6】（2023春·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，兩個圓都是以O(shè)為圓心．（1）求證：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圓的半徑為5，求大圓的半徑R的值．【答案】（1）見解析；（2）41【分析】（1）作OE⊥AB，由垂徑定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）連接OB，OD，由AB=10，則BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2【詳解】解：（1）如圖：作OE⊥AB于E，由垂徑定理，得：AE=BE，CE=DE，∴BE?DE=AE?CE，即AC=BD；（2）如圖，連接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=5-2=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=O∴OD2?D即52解得：OB=41∴大圓的半徑為41.【點睛】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2023春·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE則r2解得：r=134．故答案為：134．【點睛】本題考查垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式6-2】（2023春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.【變式6-3】（2023·浙江杭州·九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形ABCD的邊AB和CD分別是兩圓的弦，則矩形ABCD面積的最大值是．【答案】16【分析】過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大，過點D作AO邊上的高h，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△【詳解】解：過點O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點P和點N分別為AB和CD的中點，∴S矩形APND=12S∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長∴S△AOD=12S矩形APND=14∴S矩形ABCD最大時，S△AOD也最大過點D作AO邊上的高h，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD（當且僅當OD⊥OA時，取等號）∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷14故答案為：16．【點睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導(dǎo)面積關(guān)系和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵．【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】【例7】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由APB和直角∠ACB圍成，且點C也在APB所在的圓上，已知AC=4m，隧道的最高點P離路面BC的距離DP=7m，則該道路的路面寬BC=m；在APB上，離地面相同高度的兩點E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若E是AP的中點，則這兩排照明燈離地面的高度是【答案】221【分析】先求得圓心的位置，根據(jù)垂徑定理得到AM=CM=2，即可求得半徑為5，根據(jù)勾股定理即可求得CD，進而求得BC，根據(jù)勾股定理求得PA，從而以及垂徑定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通過證得△EOK?△OPN求得EK=ON，進一步即可求得EQ．【詳解】作AC的垂直平分線OM，交PD于O，交AC于M，則O是圓心，連接OC，∴OD=MC=1∵PD=7，∴圓的半徑為7?2=5，∴CD=O∴BC=2CD=221連接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，∵PD=7，DH=AC=4，∴PH=7?4=3，∵AH=CD=21∴PA=A∵E是AP的中點，∴OE垂直平分PA，∴PN=30∴ON=O∵EQ∥∴∠OEK=∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°∴△EOK?△OPN(AAS∴EK=ON=70∴EQ=EK+KQ=70故答案為221，70【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·浙江嘉興·九年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請你用直尺和圓規(guī)補全這個輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=8cm，水面最深地方的高度為2【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）運用尺規(guī)作圖的步驟和方法即可解答；（2）作OD⊥AB于D，并延長交⊙O于C，則D為AB的中點，則AD=4cm，設(shè)這個圓形截面的半徑為xcm，在Rt△AOD【詳解】（1）如圖所示；

（2）作OD⊥AB于D，并延長交⊙O于C，則D為AB的中點，∵AB=8cm∴AD=1設(shè)這個圓形截面的半徑為xcm又∵CD=2cm∴OD=x?2在Rt△AOD∵OD2+A解得x=5cm∴圓形截面的半徑為5cm【點睛】本題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形和靈活應(yīng)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當圓被水面截得的弦AB為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【答案】(1)5米(2)2米【分析】（1）作OD⊥AB于點E，交⊙O于點D，由垂徑定理可得AE=12AB=3（2）當AB=8米時，AE=12AB=4米．在Rt△AOE中，由勾股定理可得，AE【詳解】（1）解：如圖，作OD⊥AB于點E，交⊙O于點D．則AE=12AB=3設(shè)圓的半徑為r米，在Rt△AOE中，A∴32解得r=5，∴該圓的半徑為5米；

（2）解：當AB=8米時，AE=1在Rt△AOE中，A∴42∴OE=3米，∴DE=5?3=2（米）．答：水面下盛水筒的最大深度為2米．【點睛】本題考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的定義并運用是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM=30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為0.3米．【分析】（1）先求得該盛水筒的運動速度，再利用周角的定義即可求解；（2）作BC⊥OM于點C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得OD的長，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，∴每秒旋轉(zhuǎn)360°120當經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處時，∠AOB=360°?3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°?30°=45°；（2）解：作BC⊥OM于點C，設(shè)OM與水平面交于點D，則OD⊥AD，

在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2∴AD=12OA=1在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2∴BC=OC=2∴CD=OD?OC=3答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為0.3米．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【題型8垂徑定理在格點中的運用】【例8】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期末）如圖是由小正方形組成的7×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)在圖（1）中，A，B，C三點是格點，畫經(jīng)過這三點的圓的圓心O，并在該圓上畫點D，使AD=BC；(2)在圖（2）中，A，E，F(xiàn)三點是格點，⊙I經(jīng)過點A．先過點F畫AE的平行線交⊙I于M，N兩點，再畫弦MN的中點G．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先根據(jù)網(wǎng)格的特點和圓的性質(zhì)求得點D，然后根據(jù)矩形的對角線互相平分和圓的性質(zhì)求得點O即可；（2）設(shè)AE與⊙I的交點為C，根據(jù)網(wǎng)格的特點和平行線的求得直線BF交⊙I于M，N兩點，然后連接AN，CM交于點D，連接DI并延長交MN與點G即可求解．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，BC相交于點O，由網(wǎng)格可得，AD由網(wǎng)格的特點可得，D∵點A，C，B，D2∴A∴點D1和D2即為所要求作的∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°∴四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∴點O即為經(jīng)過A，B，C三點的圓的圓心，∴點O即為所求作的點；‘（2）如圖所示，∵AC∥MN，點A，C，N，M在⊙I上∴AM=CN∴四邊形AMNC是等腰梯形，∴AN=CM，AD=CD,MD=ND∴DG⊥MN，且DG平分MN，∴點G即為所求作的點．

【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，利用了垂徑定理的推論，矩形的性質(zhì)，作軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)等知識，靈活運用所學知識，將復(fù)雜作圖逐步轉(zhuǎn)化為基本作圖是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·遼寧盤錦·九年級校考階段練習）如圖，平面直角坐標系中有一段弧經(jīng)過格點（正方形網(wǎng)格交點）A、B、C，其中B2,3，則圓弧所在圓的圓心坐標為【答案】（【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可知弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（1故答案是：（【點睛】本題考查的是坐標圖形性質(zhì)、垂徑定理，熟知“弦的垂直平分線必過圓心”是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是．【答案】5【詳解】解：如圖所示，作AB，BD的中垂線，交點O就是圓心．連接OA、OB，∵OC⊥AB，∵AC=1，OC=2，∴OA=AC【點睛】考點：1．垂徑定理的應(yīng)用；2．勾股定理．【變式8-3】（2023·北京·九年級專題練習）如圖，在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，畫出了一個過格點A，B的圓，通過測量、計算，求得該圓的周長是cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】8.9【分析】根據(jù)垂徑定理確定圓的圓心，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的周長公式計算，得到答案．【詳解】由垂徑定理可知，圓的圓心在點O處，連接OA，由勾股定理得，OA=1圓的周長為：22故答案為：8.9．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握弦的垂直平分線經(jīng)過圓心是解題的關(guān)鍵．【題型9利用垂徑定理求整點】【例9】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點O，MN=10，AB=8，如圖以O(shè)為原點建立坐標系．我們把橫縱坐標都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是，⊙C上的整數(shù)點有個．【答案】312【分析】過C作直徑UL∥x軸，連接AC，根據(jù)垂徑定理求出AO=BO=4，根據(jù)勾股定理求出OC，再得出答案即可．【詳解】解：過C作直徑UL∥x軸，連接CA，則AC=12∵MN過圓心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO=AC∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理還有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x軸，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12個點，故答案為：3；12．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理和坐標與圖形的性質(zhì)，能找出符合條件的所有點是解此題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期中）⊙O的直徑為10，弦AB=6，P是弦AB上一動點，滿足線段OP的長為整數(shù)的點P有處不同的位置．【答案】3【分析】當P為AB的中點時OP最短，利用垂徑定理得到OP垂直于AB，在RT△AOP中，由OA與AP的長，利用勾股定理求出OP的長，當P與A或B重臺時，OP最長，求出OP的范圍，由OP為整數(shù)，即可得到OP所有可能的長．【詳解】解：當P為AB的中點時，利用垂徑定理得到OP⊥AB，此時OP最短，如圖所示：∵AB=6,∴AP=PB=3,在RT△AOP中，∵OA=5,AP=3,∴OP=即OP的最小值為3，當P與A或B重合時，OP最長，此時0P=5，∴4≤OP≤5,則使線段OP的長度為整數(shù)的點P有4，5，共3個．故答案為：3．【點睛】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點(latt