3.1空間向量基本定理課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.1空間向量基本定理第三章空間向量與立體幾何北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.掌握空間向量基本定理.2.會用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

空間向量基本定理空間向量基本定理:如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量,p是空間任意一個向量,那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

p可由a,b,c線性表示由上述定理可知,如果向量a,b,c是空間三個不共面向量,那么所有的空間向量組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},這個集合可以看成是由向量a,b,c生成的,這時{a,b,c}叫作空間的一組基,其中a,b,c都叫作基向量.名師點睛由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.思考辨析1.

如果向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基,那么a,b間應(yīng)有什么關(guān)系?提示

a,b與任何向量c(不妨假設(shè)任何向量為c)都不能構(gòu)成空間的一組基,說明a,b,c一定共面.∵任何兩個向量必共面,c是任意向量,∴a,b必共線.2.

已知{a,b,c}是空間的一組基,從a,b,c中選哪一個向量,一定可以與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成空間的另一組基?提示

向量c一定可以與p,q構(gòu)成另一組基,因為p=a+b,q=a-b與a,b共面,c不與a,b共面,所以c不與p,q共面.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)空間的任何一個向量都可以用三個給定向量表示.(

)(2)若{a,b,c}為空間的一組基,則a,b,c全不是零向量.(

)(3)如果向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基,則一定有a與b共線.(

)(4)任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一組基.(

)×√√×D3.[人教B版教材習(xí)題]如果空間向量a,b,c不共面,且3a-2b+c=xa+yb+zc,求x,y,z的值.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一基的判斷【例1】

(1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一組基,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一組基的向量組有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個C規(guī)律方法

判斷基的基本思路及方法

變式訓(xùn)練1(1)下列各組向量能構(gòu)成一組基的是(

)B★(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)

=c,若x=a+b,y=b+c,z=c+a,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},則其中可以作為空間的一組基的向量組有

(填序號).

②③④解析

如圖,由.由A,B1,D1,C四點不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知向量b,c,z不共面,向量x,y,a+b+c不共面,可以作為空間的一組基.因為x=a+b,故向量a,b,x共面,故不能作為一組基.探究點二用基表示空間向量分析

利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關(guān)系→利用向量運算進行拆分→直至向量用a,b,c表示變式探究若把本例中的

其他條件不變,則結(jié)果是什么?規(guī)律方法

用基表示空間向量的解題策略(1)在空間中,任一向量都可以用一組基表示,且只要基確定,則表示形式是唯一的.(2)用基表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.(3)在空間幾何體中選擇基時,通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基.例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基.C探究點三空間向量基本定理的應(yīng)用規(guī)律方法

由空間向量基本定理可以知道,如果三個向量a,b,c是不共面的向量,則a,b,c的線性組合xa+yb+zc能生成所有的空間向量,并且有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)是唯一的,這是利用空間向量基本定理求參數(shù)值的理論基礎(chǔ).學(xué)以致用·隨堂檢測促達標1234567891011A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一·2024吉林長春月考]已知{a,b,c}是空間的一組基,下面向量中與向量a+c,a-c一起能構(gòu)成空間的另外一組基的是(

)A.a B.b+c

C.2a+c D.2a-cB123456789101112345678910112.[探究點二]如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B和B1C1上的點,且BM=3A1M,C1N=2B1N.設(shè)(x,y,z∈R),則x+y+z的值為

.

1123456789101112345678910113.[探究點二]若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,當d=αa+βb+γc時,α+β+γ=

.

312345678910114.[探究點三·2024浙江寧波質(zhì)檢]如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,則對角線BD1的長為

.

12345678910111234567891011B級關(guān)鍵能力提升練5.

已知空間向量a,b,c,下列說法正確的個數(shù)是(

)①若a與b共線,b與c共線,則a與c共線;②若a,b,c非零且共面,則它們所在的直線共面;③若a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc;④若a,b不共線,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則{a,b,c}可以構(gòu)成空間的一組基.A.0 B.1 C.2 D.3B解析

對于①,若a與b共線,b與c共線,則當b=0時,a與c不一定共線,故①錯誤;對于②,共面向量的定義是平行于同一平面的向量,∴a,b,c非零且共面,則表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面,故②錯誤;對于③,由空間向量基本定理可知,若a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,故③正確;對于④,若a,b不共線,向量c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則c,a,b共面,∴{a,b,c}不可以構(gòu)成空間的一組基,故④錯誤.故選B.12345678910111234567891011C123456789101112345678910117.(多選題)已知{a,b,c}是空間的一組基,在下列向量中,可以與2a-b,a+b構(gòu)成空間的一組基的向量是(

)A.2a B.-b C.c D.a+cCD12345678910118.已知向量a,b,c可作為空間的一組基{a,b,c},若d=3a+4b+c,且d在一組基{a+2b,b+3c,c+a}下滿足d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a),則x=

.

2解析

因為d=3a+4b+c,且d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)=(x+z)a+(2x+y)b