新教材 人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊(cè) 第十一章 立體幾何初步 教學(xué)案（知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)）

第H^一章立體幾何初步

H.1空間幾何體............................................................-1-

li.i.i空間幾何體與斜二測(cè)畫法........................................-1-

11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素......................................-12-

11.1.3多面體與棱柱...................................................-24-

11.1.4棱錐與棱臺(tái).....................................................-33-

11.1.5旋轉(zhuǎn)體.........................................................-43-

11.1.6祖瞄原理與幾何體的體積.........................................-54-

11.2平面的基本事實(shí)與推論.................................................-65-

11.3空間中的平行關(guān)系.....................................................-75-

11.3.1平行直線與異面直線.............................................-75-

11.3.2直線與平面平行.................................................-84-

11.3.3平面與平面平行.................................................-94-

11.4空間中的垂直關(guān)系....................................................-104-

11.4.1直線與平面垂直................................................-104-

11.4.2平面與平面垂直................................................-116-

11.1空間幾何體

11.1.1空間幾何體與斜二測(cè)畫法

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)1.通過學(xué)習(xí)斜二測(cè)畫法的

空間幾何體，培養(yǎng)空間想象能力.步驟，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)

2.了解斜二測(cè)畫法的概念及步驟，能用斜二測(cè)畫法畫學(xué)核心素養(yǎng).

出簡(jiǎn)單幾何體（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等及其2.借助斜二測(cè)畫法，畫出

簡(jiǎn)單組合體）的直觀圖.（重點(diǎn)）直觀圖，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的

3.逆用斜二測(cè)畫法，找出直觀圖的原圖.（易錯(cuò)點(diǎn)）核心素養(yǎng).

情境趣味導(dǎo)學(xué)情境導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學(xué)助教

我們?nèi)粘Ｋ姷奈矬w都占據(jù)著空間的一部分.我們不考慮其他因素，只考慮

一■個(gè)物體占有的空間形狀和大小，這個(gè)空間部分可抽象為一■個(gè)幾何體.

思考：如圖所示的幾何體，你能畫出來嗎？

匚調(diào)知初接F

1.空間幾何體

如果只考慮一個(gè)物體占有的空間形狀和大小,而不考慮其他因素，則這個(gè)空

間部分通常可抽象為一個(gè)幾何體.

［拓展］

數(shù)學(xué)上的幾何體是一個(gè)抽象的概念，不考慮它的物理性質(zhì)和化學(xué)成分，而只

考慮它的形狀和大小.如：一個(gè)墨水盒占有的空間部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，一本書占

有的空間部分也是一個(gè)長(zhǎng)方體.幾何體不僅包括它的外表面，還包括外表面圍起

的內(nèi)部的部分，如正方體形盒子的外表面不是正方體，而外表面加上它占據(jù)的空

間才是正方體.

2.直觀圖

立體幾何中，用來表示空間圖形的平面圖形,習(xí)慣上稱為空間圖形的直觀

圖.為了使直觀圖具有立體感，經(jīng)常使用斜二測(cè)畫法來作直觀圖.

3.用斜二測(cè)畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

（1）在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，作出與之對(duì)應(yīng)的月軸和乂軸，使得

它們正方向的夾角為笆（或135°）.

（2）平面圖形中與x軸平行（或重合）的線段畫成與￡軸平行（或重合）的線段，且

長(zhǎng)度不變.

平面圖形中與y軸平行（或重合）的線段畫成與乂軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)

度為原來長(zhǎng)度的一半.

（3）連接有關(guān)線段，擦去作圖過程中的輔助線.

4.用斜二測(cè)畫法作立體圖形直觀圖的步驟

（1）在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直的x軸與y軸，作出水平平

面上圖形的直觀圖（保留V軸與軸）.

（2）在立體圖形中，過x軸與y軸的交點(diǎn)取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸.過

X,軸與V軸的交點(diǎn)作Z軸對(duì)應(yīng)的Z，軸，且Z，軸垂直于q軸.

圖形中與z軸平行（或重合）的線段畫成與N軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)度丕

變.連接有關(guān)線段.

(3)擦去有關(guān)輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線(或擦除).

5.水平放置的圓，其直觀圖一般用“正等測(cè)畫法”畫成橢圓.

［拓展］

正等測(cè)畫法

(1)正等測(cè)畫法一般用于畫圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等.

(2)正等測(cè)畫法的規(guī)則如下：

①在已知圖形中取相互垂直的軸Ox,Oy,畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸

O'x",O'y',使/犬。了=120。(或60。)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中，分別畫成平行于V軸或

y軸的線段.

③平行于X軸或y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度都不變.

初試身

1.思考辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)兩條平行線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行.()

(2)平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸.()

(3)斜二測(cè)畫法中，平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中仍然保持不變.

()

(4)斜二測(cè)坐標(biāo)系取的角可能是135°.()

［提示］斜二測(cè)畫法中，平行于)，軸的線段在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?，?3)

錯(cuò)誤；由斜二測(cè)畫法的基本要求可知(1)(2)(4)正確.

［答案］(1)V⑵J(3)X(4)7

2.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說法錯(cuò)誤的

是()

A.原來相交的仍相交B.原來垂直的仍垂直

C.原來平行的仍平行D.原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn)

B［根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來垂直的未必垂直.］

3.利用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()

CL5='，口，口

3333

ABCD

C［正方形的直觀圖是平行四邊形，且平行于X軸的邊長(zhǎng)為3cm,平行于y

軸的邊長(zhǎng)為1.5cm.］

4.水平放置的△ABC,有一邊在水平線上，它的斜二測(cè)直觀圖是正三角形

A'B'C,則△48。是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.任意三角形

C［如圖所示，斜二測(cè)直觀圖還原為平面圖形，故△ABC是鈍角三角形.

疑難問題解惑合作探究。釋疑睚學(xué)科素恭彬成

―型._____________畫平面圖形的直觀圖

【例1］用斜二測(cè)畫法畫出圖中等腰梯形ABC。的直觀圖(其中。，E分別

為線段AB,DC的中點(diǎn)).

［解］(1)畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x'0'y',使Nx'O'y'=45°.

(2)以。為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'=AB,在了軸上取O'E'=^OE,以￡為中點(diǎn)畫

CO〃V軸，并使CO=CD

(3)連接8C,D'A',所得的四邊形就是水平放置的等腰梯形ABC。的

直觀圖，如圖.

［母題探究］

(變條件)若將本例中的等腰梯形ABC。改為正五邊形A3CQE,如圖所示，那

么其直觀圖如何畫出？

［解］畫法：

(1)在圖①中作AGLx軸于點(diǎn)G,作DHlx軸于點(diǎn)H.

(2)在圖②中畫相應(yīng)的V軸與y軸，兩軸相交于點(diǎn)。，使NVOy=45。.

(3)在圖②中的x'軸上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'軸

上取OE=3OE,分別過G'和“'作y'軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G'A'=T

GA,H'D'=^HD.

(4)連接A?,A'E',E'D',D'C,并擦去輔助線GA,HD,V軸與？軸，便得

到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖ABCDE(如圖③).

①②③

廠.......規(guī)律＜方法.........

畫平面圖形的直觀圖的技巧

(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系時(shí)，要盡量利用圖形中原有的垂直關(guān)系和對(duì)

稱性.

(2)在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中也與犬軸或y軸平行.

(3)若原圖形中的點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上或不在與坐標(biāo)軸平行的線段上，則必須經(jīng)過

這些點(diǎn)作其中一坐標(biāo)軸的平行線段，使之與另一坐標(biāo)軸相交，然后確定原圖形中

點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.

(4)原圖形中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,

用平滑的曲線連接而畫出.

畫空間幾何體的直觀圖

【例2】用斜二測(cè)畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直

觀圖.

［思路探究］畫軸一畫底面f畫側(cè)棱f成圖

［解］(1)畫軸：畫x'軸、)，'軸、z'軸，使Nx'O'y'=45°(或135°),Nx'O'z'=90°.

(2)畫底面：在面x'0'y內(nèi)，畫出正六邊形的直觀圖A8CDE/7.

(3)畫側(cè)棱：過A,B,C,D,E,尸分別作N軸的平行線，在這些平行線上分

別截取A4',BB',CC,DD',EE',尸尸都等于側(cè)棱長(zhǎng).

(4)成圖：順次連線4,B',C',D',E',F',并加以整理(去掉輔助線將被遮擋

的部分改為虛線)就得到正六棱柱的直觀圖，如圖所示.

???規(guī)律C方法.........

簡(jiǎn)單幾何體直觀圖的畫法步驟

(1)畫軸：通常以高所在直線為Z軸建系.

(2)畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面.

(3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn).

(4)連線成圖.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

畫出正四棱錐(底面是正方形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)且全等的等腰三角形的

棱錐)的直觀圖.

［解］(1)畫軸.畫。龍軸、0y軸、Oz軸，NxO.y=45°(或135°),ZxOz=90°,

如左圖所示.

(2)畫底面.以0為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形直觀圖A5CD.

(3)畫頂點(diǎn).在Oz軸上截取0P,使0尸的長(zhǎng)度是原四棱錐的高.

(4)成圖.順次連接出，PB,PC,PD,并擦去輔助線，將被遮住的部分改為

虛線，得到此四棱錐的直觀圖.

直觀圖的還原和計(jì)算問

心型3

［探究問題］

1.如圖，是水平放置的△ABC斜二測(cè)畫法的直觀圖，能否判斷△ABC

的形狀？

（。）/\

［提示］根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則知：ZACB=90°,故△ABC為直角三角形.

2.若探究1中△49。的4c=6,B'C'=4,則AB邊的實(shí)際長(zhǎng)度是多少？

［提示］由已知得△ABC中，AC=6,BC=8,故AB=NAC2+8/=10.

3.若已知一個(gè)三角形的面積為S,它的直觀圖面積是多少？

［提示］原三角形面積為S=5“7(a為三能形的底，/?為三角形的高)，畫直觀

圖后，a'=a,〃'=g/rsin45°=乎〃，S'=；a'4'=；3乎坐S.

【例3】如圖所示，△A5C是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其

還原成平面圖形.

⑹）〃|一

0'/D'I7-x

［思路探究］由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵：

(1)平行于V軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于V軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍.

(2)對(duì)于相鄰兩邊不與4,y軸平行的頂點(diǎn)可通過作丁軸，V軸平行線變換確定

其在xOy中的位置.

［解］①畫出直角坐標(biāo)系尤0y,在尤軸的正方向上取0A=04,即CA=CA';

②過夕作877〃y軸，交X'軸于點(diǎn)D',在0A上取0D=0'D',過。作DB//y軸，

且使DB=2D'B';

③連接AB,BC,得△ABC.

則AABC即為△4EC對(duì)應(yīng)的平面圖形，如圖所示.

［母題探究］

如圖所示，矩形04夕C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6

cm,CD'=2cm,則原圖形的形狀是

c7y『

/O'

菱形［如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有。41BC,00=2077=2X2啦

=4也(cm),CD=CD'=2(cm),

OCKODXCD2

=7(4y/"+2?=6(cm),

：.0A=0C,故四邊形OABC是菱形.]

1.......規(guī)律c方法..............................

1.直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與無'軸、y'軸平行的直線或線段，且平行于

工,軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)

的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.

2.直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為則有S=[-S或S=2吸

S1利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.

課堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)掃除

必?備;素養(yǎng)二~1

知識(shí)：

1.斜二測(cè)畫法中的“斜”和“二測(cè)”

(1)“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與

V軸成45°或135°.

(2)“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于V軸或N軸的線段長(zhǎng)

度不變；平行于y'軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?

2.斜二測(cè)畫法中的建系原則

在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作

圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線或圖形的對(duì)稱軸所在直線

為坐標(biāo)軸、圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)或利用原有互相垂直的直線為坐標(biāo)軸等，即使

盡量多的點(diǎn)或線落在坐標(biāo)軸上.

3.直觀圖中“變”與“不變”

(1)平面圖形用其直觀圖表示時(shí)，一般來說，平行關(guān)系不變.

(2)點(diǎn)的共線性不變，線的共點(diǎn)性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有

變化).

⑶有些線段的度量關(guān)系會(huì)發(fā)生變化.這種變化，目的是使圖形富有立體感.

方法：

斜二測(cè)畫法的規(guī)則可簡(jiǎn)記為“橫不變，縱折半，平行關(guān)系不改變，九十度要

畫一半.”

以致用G

1.關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說法，正確的是（）

A.直角三角形的直觀圖仍是直角三角形

B.梯形的直觀圖是平行四邊形

C.正方形的直觀圖是菱形

D.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形

D[由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成

斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，故只有選項(xiàng)D正確.]

2.如圖所示，四邊形048C是上底為1,下底為3,底角為45。的等腰梯形，

由斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)梯形的直觀圖0AbC,則梯形OA5C的高為（）

B.亭

A.正

4

A[因?yàn)樗倪呅?A8C是上底為1,下底為3,底角為45。的等腰梯形，所以

等腰梯形0A8C的高為1,面積S=；X（1+3）X1=2,所以等腰梯形0A8C的直觀

圖的面積S'=2X#=￥.設(shè)梯形02EC的高為〃，則;X（l+3）X/?=乎，解得〃

-.故選A.]

3.如圖，△ABC是△A3C的直觀圖，其中49=4C,那么△4?。是（)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

B［由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知△ABC為直角三角形，且直角邊的長(zhǎng)度關(guān)系為

AC=2AB.］

4.如圖所示為水平放置的正方形A8C0,它在直角坐標(biāo)系X?！抵校c(diǎn)B的坐

標(biāo)為(2,2),則在用斜二測(cè)畫法畫出的它的直觀圖中，頂點(diǎn)夕到/軸的距離為

噂［畫出直觀圖，BC對(duì)應(yīng)B，C,且B'C'=1,ZB'C'x'=45°,故頂點(diǎn)8'到x'

,y2

4山的距■離為當(dāng)?.］

5.畫邊長(zhǎng)為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.

［解］(1)如圖所示，以邊所在直線為無軸，以邊上的高線A0所在直

線為y軸，再畫對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于點(diǎn)0',使Nx'O'>'=45°.

⑵在V軸上截取0'B'=0'C'=0.5cm,

1、/3

在y軸上截取。4=，4。=苧cm,連接A'B',A'C,則△4QC即為正三角形

ABC的直觀圖.

11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.以長(zhǎng)方體的構(gòu)成為例，認(rèn)識(shí)構(gòu)成幾何體

1.通過認(rèn)識(shí)構(gòu)成幾何體的基本元

的基本元素，體會(huì)空間中的點(diǎn)、線、面

素的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核

與幾何體之間的關(guān)系.（重點(diǎn)）

心素養(yǎng).

2.會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示空間點(diǎn)、線、面以

2.借助空間中直線與直線、直線

及它們之間的位置關(guān)系.（重點(diǎn)）

與平面、平面與平面間的位置關(guān)

3.理解平面的無限延展性，學(xué)會(huì)判斷平

系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).

面的方法.（難點(diǎn)）

情境趣味導(dǎo)學(xué)情境導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

始終不變

軌跡是一條直線或線段

點(diǎn)動(dòng)運(yùn)N

⑴成線方向

時(shí)刻變化I軌跡是一條曲線

或曲線的一段

L直線平行移動(dòng)，可以形成踵或曲面

（2）凹—-----------------

蛔工I固定射線的端點(diǎn)，讓其繞著Y圓

弧轉(zhuǎn)動(dòng)，可以形成錐面

⑶面動(dòng)成體：面運(yùn)動(dòng)的軌跡（經(jīng)過的空間部分）可以形成一個(gè)幾何體.

［拓展］

1.立體幾何中的平面是從實(shí)際生活中抽象出來的，它具有無限延展性，是理

想的、處處平直的，是不可度量的，它沒有厚度，沒有大小，也沒有面積、體積、

質(zhì)量等，不能說兩個(gè)平面重疊在一起就變厚了.而立體幾何中的曲面就不是處處

平直的.

2.立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的.平面圖形如三角

形、正方形、梯形等是有大小之分的.而通常情況下，可借助平面圖形表示平面，

但是要把平面圖形想象成是無限延展的.

2.構(gòu)成空間幾何體的基本元素

點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素.

3.點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其表示方法

(1)直線在平面內(nèi)的概念

如果直線2上的所有點(diǎn)都在平面a內(nèi),就說直線/在平面a內(nèi)，或者說平面a

經(jīng)過直線I.

(2)常見的文字語言、符號(hào)語言與圖形語言的對(duì)應(yīng)關(guān)系

文字語言符號(hào)語言圖形語言

A在/上AG/

在/外A^l?A

A-----------------I

A在a內(nèi)AGa

?A

A在a外/7

/在a內(nèi)lUa&_/

/在a外IQa//或/

/,胴相交于A

1,a相交于A

a,§相交于I

4.空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，無公共點(diǎn)

異面直線既不平行也不相交,無公共點(diǎn)

5.直線與平面的位置關(guān)系

直線在平面外

位置關(guān)系直線在平面內(nèi)

直線與平面相交直線與平面平行

公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)1個(gè)0個(gè)

符號(hào)表示aUaalla

-------a

圖形表示中口

6.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交

/B_/三

圖示

A___/

表示法a//n4

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)9個(gè)無數(shù)個(gè)

7.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如果直線/與平面a相交于一點(diǎn)A,且對(duì)平面a內(nèi)任意一條

過點(diǎn)A的直線處都有山，則稱直線/與平面a垂直(或/是平面a的一條垂線,

a是直線/的一個(gè)垂面)，記作山其中點(diǎn)A稱為垂足.

(2)點(diǎn)到平面的距離：由長(zhǎng)方體可以看出，給定空間中一個(gè)平面a及一個(gè)點(diǎn)4

過A可以作而且只可以作平面a的一條垂線.如果記垂足為8,則稱8為A在平

面a內(nèi)的射影(也稱為投影)，線段AB為平面a的垂線段，A8的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面a

的距離.

(3)直線到平面的距離與兩平行平面之間的距離

當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線到這個(gè)平

面的距離；當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為

這兩平行平面之間的距離.

1.思考辨析（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）幾何體不僅包括它的外表面，還包括外表面圍起的內(nèi)部部分.

（）

（2）直線的移動(dòng)只能形成平面.（）

（3）平靜的太平洋就是一個(gè)平面.（）

［提示］⑴正確.

（2）直線移動(dòng)可能形成曲面，故錯(cuò)誤.

（3）平面是沒有大小的，故錯(cuò)誤.

［答案］（1）7⑵X⑶X

2.下列關(guān)于長(zhǎng)方體的敘述不正確的是（）

A.將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個(gè)長(zhǎng)方體

B.長(zhǎng)方體中相對(duì)的面都相互平行

C.長(zhǎng)方體中某一底面上的高的長(zhǎng)度就是兩平行底面間的距離

D.兩底面之間的棱互相平行且等長(zhǎng)

A［A中只有移動(dòng)相同距離才能形成長(zhǎng)方體.］

3.（一題多空）在長(zhǎng)方體ABCD-A\B\C\D\中，A8=4,BC=3,A4,=5,則直

線BC到面A\B\C\DX的距離為；直線BC\到面ADD\A\的距離為；

面ABB\A\與面DCC\D\的距離為.

543［直線到面A131G5的距離為8Bi=A4i=5;

直線BCi到面ADDA的距離為A8=4：

面ABBiAi到面DCC\D\的距離為BC=3.］

4.如圖，在正四棱柱（側(cè)面為矩形，底面為正方形的棱柱）A8CD-AdCQi中,

E,尸分別是AB”的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是.

（1）E/與垂直；（2）E尸與8。垂直；（3）麻與CD異面；（4）E尸與4G異面.

(4)［連接Al仇圖略)，VE,F分別是A&,8G的中點(diǎn)，是△A|BG的

中位線，：.EF//A}C\,故⑴⑵⑶正確,(4)錯(cuò)誤.］

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

隨駕/________________圖形語言、文字語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化

【例1】(1)點(diǎn)P在直線。上，直線a在平面a內(nèi)可記為()

A.PGa,aUaB.Pu。，aUa

C.PUa,aWaD.PGa,a&a

(2)用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形.

①平面a與4相交于直線/,直線a與a,4分別相交于A,B.

②點(diǎn)A,8在平面a內(nèi)，直線a與平面a交于點(diǎn)C,C不在直線A3上.

［思路探究］直線和平面看作點(diǎn)的集合今類比元素與集合、集合與集合之間關(guān)

系的表示方法進(jìn)行表示.

(1)A［由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系表示方法及直線與平面之間位置關(guān)系的表示可

知點(diǎn)P在直線a上表示為PGa,直線a在平面a內(nèi)可表示為aUa,故A正確.］

(2)解：①用符號(hào)表示：

aCR=l,aAa=A,aC￡=B,如圖.

②用符號(hào)表示：Ada,BGa,a^\a-C,C^AB,如圖.

廠......??規(guī)法.........-

三種語言的轉(zhuǎn)換方法

(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、

幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.

(2)要注意符號(hào)語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“e”或“建”，直

線與平面的位置關(guān)系只能用“u”或“Q”.

提醒：根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.已知如圖，試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系:

⑴點(diǎn)。與平面夕：.

⑵點(diǎn)A與平面a：.

(3)直線A3與平面a：.

(4)直線CO與平面a：.

(5)平面a與平面儀.

［答案］(1)。初(2)A如(3MBDa=B(4)CDCa(5)aC尸BD

幺型2從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾何體

【例2】如圖所示，請(qǐng)畫出①②③中線段繞著直線/旋轉(zhuǎn)一周形成的空

間圖形.

①②③

［思路探究］線的運(yùn)動(dòng)可以形成平面或曲面，觀察和/的位置關(guān)系及旋轉(zhuǎn)

的方式和方向，可以嘗試畫出形成的圖形.

闕

①

［母題探究］

本例若改為A3與/有如圖所示的關(guān)系，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何圖形.

用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾何體

(1)點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)形成怎樣的圖形與其運(yùn)動(dòng)的形式和方向有關(guān)，如果直線與

旋轉(zhuǎn)軸平行，那么形成圓柱面，如果與旋轉(zhuǎn)軸斜交，那么形成圓錐面.

(2)在判斷點(diǎn)、線、面按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的幾何體的形狀時(shí)，可以借助身邊

的實(shí)物來模擬.

長(zhǎng)方體中基本元素之間的關(guān)

「建型37

［探究問題］

1.射線運(yùn)動(dòng)后的軌跡是什么？

［提示］水平放置的射線繞頂點(diǎn)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，可形成平面.其它情

況，可形成曲面.

2.如圖所示，該幾何體是某同學(xué)課桌的大致輪廓，請(qǐng)你從這個(gè)幾何體里面尋

找一些點(diǎn)、線、面，并將它們列舉出來.

［提示］面可以列舉如下：

平面41A2&B1,平面AlA2D2Di，平面GCzAA,平面8132c2G，平面A\B\C\D\,

平面A282c2。2；

線可以列舉如下：

直線A4|,直線8e，直線CG,直線。A,直線A2心,直線。2。2等；

點(diǎn)可以列舉如下：點(diǎn)A,點(diǎn)4,點(diǎn)8,點(diǎn)S,點(diǎn)。，點(diǎn)G,點(diǎn)。，點(diǎn)Di,點(diǎn)

A?，點(diǎn)B2，點(diǎn)。2，點(diǎn)D2;

它們共同組成了課桌這個(gè)幾何體.

【例3】在長(zhǎng)方體ABCD-AE，CO中，把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延

展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中，

(1)與直線股。平行的平面有哪幾個(gè)？

(2)與平面8。平行的平面有哪幾個(gè)？

［思路探究］觀察圖形，結(jié)合定義，利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析圖形中的線面位置

關(guān)系.

［解］(1)與直線EC平行的平面有平面A3CO,平面ADD7V.

(2)與平面平行的平面為平面AD'.

［母題探究］

1.在本例中其他條件不變，

(1)與直線夕C垂直的平面有哪幾個(gè)？

(2)與平面8C垂直的平面有哪幾個(gè)？

［解］(1)有平面A夕，平面C。'.

(2)有平面A3',平面A'C,平面C。'，平面AC.

2.本例中與棱4。相交的棱有哪幾條？它們與棱AZT所成的角是多少？

［解］有4'A,A'B',D'D,D'C.

由于長(zhǎng)方體六個(gè)面都是矩形，所以它們與棱4。所成角都是90。.

3.本例中長(zhǎng)方體的12條棱中，哪些可以用來表示平面AE與平面。。之間

的距離？

［解］A'D',B'C,BC,AO的長(zhǎng)均可以表示.

「........規(guī)法.............................

1.平行關(guān)系的判定

(1)直線與直線的平行關(guān)系：如圖，在長(zhǎng)方體的12條棱中，分成

“長(zhǎng)”“寬”“高”三組，其中“高”AAi,BBi,CG,相互平行；“長(zhǎng)”A5,

DC,AS,2G相互平行；“寬"A。，BC,A\D\,BiG相互平行.

(2)直線與平面的平行關(guān)系：在長(zhǎng)方體的12條棱及表面中，若棱所在的直線與

某一平面不相交，就平行.

(3)平面與平面的平行關(guān)系：長(zhǎng)方體的對(duì)面相互平行.

2.垂直關(guān)系的判定

(1)直線與平面的垂直關(guān)系：在長(zhǎng)方體的棱所在直線與各面中，若直線與平面

有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二者垂直.

(2)平面與平面的垂直關(guān)系：在長(zhǎng)方體的各表面中，若兩平面有公共點(diǎn)，則二

者垂直.

、類型4求點(diǎn)面距、線面距、面面距

【例4］已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AyB\C\D\中，點(diǎn)C到平面BDD\B\

的距離為()

A.1B.也

C.2巾D.2小

B［如圖，連接AC交8。于點(diǎn)。，AC,平面3。￡)四，

，CO即為點(diǎn)C到平面BDD\B\的距離.又CO=；AC=；?產(chǎn).?.點(diǎn)

C到平面BDD\B\的距離為也.]

「......規(guī)WcT5法............................

求點(diǎn)面距、線面距、面面距的方法

(1)點(diǎn)面距：求點(diǎn)與面的距離的方法是過點(diǎn)作面的垂線，垂線段的長(zhǎng)即為點(diǎn)面

距.

(2)線面距、面面距：求線面距、面面距的方法是轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)面距，轉(zhuǎn)化時(shí)注

意點(diǎn)的位置的選取.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A向G2中，M,N分別為G。，A3的中點(diǎn)，AB=4,

則MN與平面BCC\B\的距離為()

A.4B.2^2

C.2D.72

(2)在長(zhǎng)方體ABCrMiBCiOi中，E,F,G,”分別為A4”BB\,CC\,DD\

的中點(diǎn)，A4|=4,則平面ABC。與平面EEG”的距離為.

(1)C(2)2[(1)如圖，MN〃平面BCG3,

...MN與平面BCM的距離為N到平面BCC\B\的距離.又N到平面BCC\B\

的距離為NB=%B=2,

：.MN與平面BCC\B\的距離為2.

(2)平面ABCD與平面EFGH的距離為3A41X4=2.]

課堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)掃除

E超備素第”

知識(shí)：

1.根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的語言描述能夠正確的使用符號(hào)語言表示它們之間的

位置關(guān)系.

2.在空間中，直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系：

'相交

直線與直線的位置關(guān)系｛平行

、異面

（直線在平面內(nèi)

直線與平面的位置關(guān)系1直線與平面相交

〔直線與平面平行

湘交

平面與平面的位置關(guān)系“

.平行

方法:

判斷兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義，在很

多情況下，定義就是一種常用的判斷方法.

0以致用K1

I.在正方體ABCD-ABiG。中，與棱A4i異面的棱有（）

A.8條B.6條C.4條D.2條

C[正方體共有12條棱，其中與平行的有33|,CC,,DDi,共3條，與

相交的有AD,AB,A\D\,A\B\,共4條，因此與棱441異面的棱有11一3一4

=4（條）,故選C.]

2.能正確表示點(diǎn)A在直線/上且直線/在平面a內(nèi)的是（）

C[選項(xiàng)A只表示點(diǎn)A在直線/上；選項(xiàng)D表示直線/與平面a相交于點(diǎn)A;

選項(xiàng)B中的直線/有部分在平行四邊形的外面，所以不能表示直線在平面a內(nèi)，

故選C.]

3.若a和匕是異面直線，人和c是異面直線，則。和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

D［可參考長(zhǎng)方體中各條線的位置關(guān)系判斷.］

4.（一題兩空）線段4?長(zhǎng)為5cm,在水平面上向右移動(dòng)4cm后記為CD,將

CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3cm后記為CD,再將沿水平方向向左移動(dòng)4cm

后記為A'B',依次連接構(gòu)成長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'.

⑴平面A'B'BA與平面間的距離為cm；

（2）點(diǎn)A到平面8CCE的距離為cm.

（1）4（2）5［如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'CO中，45=5cm,BC=4cm,CC

=3cm,

二平面A'B'BA與平面COQ'C之間的距離為4cm;點(diǎn)A到平面BCCB'的距離

為5cm.]

5.如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，則這兩個(gè)平面

位置關(guān)系如何？試畫圖分析.

［解］這兩個(gè)平面平行（如圖①）或相交（如圖②）.

圖②

H.1.3多面體與棱柱

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解多面體的定義及其分類.（重點(diǎn)）L通過多面體的定義與分類學(xué)

2.理解棱柱的定義和結(jié)構(gòu)特征.（重點(diǎn)）習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

3.了解多面體表面積的概念，知道棱柱2.借助棱柱結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，

表面積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

實(shí)際問題.(難點(diǎn))

情境趣味導(dǎo)學(xué)情境導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

(1)定義

由若干個(gè)平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體.

(2)相關(guān)概念(如圖所示)

圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊稱為多面體

的棱，棱與棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn).

②多面體的面對(duì)角線與體對(duì)角線

一個(gè)多面體中，連接同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,如果不是多面體的棱，就稱

其為多面體的面對(duì)角線；連接丕也回一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段稱為多面體的體對(duì)角

線.如上圖所示的多面體中，AC是一條面對(duì)角線，而是一條體對(duì)角線.

③多面體的截面與表面積

一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部),稱為這個(gè)幾何

體的一個(gè)截面，如上圖中多面體的一個(gè)截面ACE.

多面體所有面的面積之和稱為多面體的表面積(或全面積).

(3)凸多面體

把多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè),

則稱這樣的多面體為凸多面體.

思考1：長(zhǎng)方體、正方體是多面體嗎？

［提示］是.長(zhǎng)方體是由6個(gè)矩形圍成的，正方體是由6個(gè)正方形圍成的，均

滿足多面體的定義.

思考2：最簡(jiǎn)單的多面體由幾個(gè)面所圍成？

［提示］4個(gè).

(4)正多面體

各個(gè)面都是全等的正多邊形且過各頂點(diǎn)的棱數(shù)都相等的多面體一般稱為正多

面體.

［拓展］

已知正多面體頂點(diǎn)數(shù)K面數(shù)凡棱數(shù)￡之間滿足關(guān)系

V+F~E=2.

2.棱柱

(1)定義

如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行,且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)面上，其

余各面都是平行四邊形,這樣的多面體稱為棱柱.

⑵圖示及相關(guān)概念

棱柱的兩個(gè)互相平行的面稱為棱柱的底面(底面水平放置時(shí)，分別稱為上底面、

下底面),其他各面稱為棱柱的側(cè)面，兩個(gè)側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱.

(3)棱柱的表示

棱柱可以用底面上的頂點(diǎn)來表示，也可用表示它的體對(duì)角線來表示，如上圖

所示的棱柱可表示為棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F',此棱柱也可表示為棱柱AD'.

(4)棱柱的高與側(cè)面積

過棱柱一個(gè)底面上的任意一個(gè)頂點(diǎn)，作另一個(gè)底面的垂線所得到的線段(或它

的長(zhǎng)度)稱為棱柱的高，棱柱所有側(cè)面的面積之和稱為棱柱的側(cè)面積.

(5)棱柱的分類

(按側(cè)棱與(直棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱

［底面關(guān)系i斜棱柱:側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

在(按底面的形狀:三棱柱、四棱柱、五棱柱等

特別地，底面是正多邊形的棱柱稱為正棱柱.

(6)平行六面體與直平行六面體

底面是平行四邊形的棱柱也稱為平行六面體.側(cè)棱與底面垂直的平行六面體

稱為直平行六面體.

初試身■手bi

1.思考辨析(正確的打“，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形.()

(2)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形.()

(3)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.()

(4)沿不同的棱將多面體展開，得到的展開圖相同，表面積相等.

)

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

2.下列幾何體中是棱柱的個(gè)數(shù)有()

D[由棱柱的定義知①③是棱柱，選D.]

3.下面沒有體對(duì)角線的一種幾何體是（）

A.三棱柱B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱

A[三棱柱只有面對(duì)角線，沒有體對(duì)角線.]

4.（一題多空）一個(gè)棱柱至少有個(gè)面；面數(shù)最少的棱柱有

個(gè)頂點(diǎn)，有條棱.

569[面數(shù)最少的棱柱是三棱柱，有5個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱.]

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

棱柱的結(jié)構(gòu)特征

出型1Z

【例1】下列關(guān)于棱柱的說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①四棱柱是平行六面體；

②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；

③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都

互相平行的幾何體是棱柱；

④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.

A.1B.2C.3D.4

A[四棱柱的底面可以是任意四邊形；而平行六面體的底面必須是平行四邊

形，故①不正確；說法③就是棱柱的定義，故③正確；對(duì)比定義，顯然②不正確；

底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故④不正確.]

廠.......規(guī)法.......................

棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧

⑴扣定義：判定一個(gè)幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定