2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本起共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)，，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋覟閷?shí)數(shù)；所以，即.故選：B.2.設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗若，，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使，，∴，∵與是兩個(gè)不共線向量，∴，且，解得.故選：B.3.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的高為（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，所以該扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐的母線長(zhǎng)為3，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，所以圓錐的高為.故選：C.4.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高18cm，盆口直徑36cm，盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為6cm時(shí)，則盆內(nèi)水的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)EC與FD交于點(diǎn)G，根據(jù)題意，，設(shè)，所以，解得，所以.故選：B.5.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A.6.對(duì)于直線和不重合的平面，，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，若，，則可能相交，如圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，故B正確；對(duì)于C，若，，則可能平行，如圖，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則可能，如圖，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又，，所以，得到，所以，設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為：.故選：D.8.在正四棱臺(tái)中，，側(cè)棱，若為中點(diǎn)，則過(guò)，，三點(diǎn)截面的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，則，又，則，又根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)得，則為等腰梯形，即過(guò)，，三點(diǎn)截面為等腰梯形，取的中點(diǎn)，連接，在等腰梯形中，，則，，在等腰梯形中，，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.是實(shí)數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，令，則，于是，所以A正確；對(duì)于B，令，則，因?yàn)椋訠正確；對(duì)于C，令，滿足，而，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，而是實(shí)數(shù)，所以D正確.故選：ABD.10.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若為銳角三角形，則C.若，則為鈍角三角形D.若，則為等腰三角形〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，得，所以，為外接圓的半徑，所以，故A正確；對(duì)于B，由為銳角三角形，可得，則，因?yàn)椋傻?，又函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，而，所以角為鈍角，即為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D，由，得，展開整理得，因?yàn)椋傻没?，所以是直角三角形或等腰三角形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.兩個(gè)相交平面構(gòu)成四個(gè)二面角，其中較小的二面角稱為這兩個(gè)相交平面所成角；在正方體中，不在同一表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱為該正方體的對(duì)角面.則在某正方體中，兩個(gè)不重合的對(duì)角面所成角的大小可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗如圖：平面與平面的交線為，因?yàn)椋运倪呅螢榫匦危?，同理，所以為二面角的平面角，又，所以二面角的平面角為，由相交平面所成角的定義可得平面與平面所成的角的大小為，如圖，平面與平面的交線為，因?yàn)椋?，平面，，所以平面，設(shè)，則平面，過(guò)點(diǎn)作，則為二面角的平面角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以平面與平面所成的角的大小為.故選：CD.12.如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若為線段的中點(diǎn)，則C. D.的最小值為6〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A，過(guò)作的垂直，交于，所以，又，，，，，所以，故選項(xiàng)A正確；建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，選項(xiàng)B，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，，，，所以，由，得到，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，選項(xiàng)C，由，得到，解得，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，，，所以，令，對(duì)稱軸為，又，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把〖答案〗填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.在中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，且，若，則的值是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)為邊上的點(diǎn)，且，所以，又因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：.14.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，是虛數(shù)單位.將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第__________象限.〖答案〗四〖解析〗因?yàn)?，則，，所以，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故〖答案〗為：四.15.在中，在邊上且平分，若，，則線段的長(zhǎng)為__________.〖答案〗〖解析〗∵，，又，∴，∴，∴.故〖答案〗為：．16.棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為__________；直線與之間的距離為__________.〖答案〗；.〖解析〗如圖，將正四面體補(bǔ)形為正方體，則正四面體的外接球就是正方體的外接球，由已知，所以正方體的邊長(zhǎng)為，所以正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體的外接球的半徑為，所以球的表面積，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)?，，，所以，，所以，因?yàn)椋裕?，所以直線與之間的距離為線段的長(zhǎng)，又中，，，所以，所以直線與之間的距離為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知，，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）因?yàn)棰?，則，得，則，因?yàn)椋瑒t，所以②，由①②得，所以．（2）.18.一副三角板（為等腰直角三角形，，為直角三角形，）按如圖所示的方式拼接，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）因?yàn)槊鍭BC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，CD⊥BC，CD面BCD，所以CD⊥面ABC，又AB面ABC，則AB⊥CD，又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD面ACD，所以AB⊥面ACD.（2）因?yàn)锳B⊥面ACD，AD為BD在面ACD內(nèi)的射影，則為BD與平面ACD所成角，設(shè)，則，因?yàn)?，則，因?yàn)锳B⊥面ACD，AD面ACD，所以AB⊥AD，在中，，則，所以BD與平面ACD所成角的余弦值為．19.為進(jìn)一步落實(shí)國(guó)家鄉(xiāng)村振興政策，某網(wǎng)紅村計(jì)劃在村內(nèi)一圓形地塊中種植油菜花，助推鄉(xiāng)村旅游經(jīng)濟(jì)．為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局合理，設(shè)計(jì)者們首先規(guī)劃了一個(gè)平面圖，如圖所示，與是油菜花種植區(qū)，其中，（不計(jì)寬度）是觀賞路線．在四邊形中，，，.（1）若時(shí)，求路線的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求路線的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，又，所以，在中，由余弦定理得：所以，在中，由余弦定理得：即，即，所以(舍)或．（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，，則，因?yàn)?，故，由?）知，在中，，則，所以在中，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，在中，由余弦定理得：，所?20.已知異面直線，所成角為，，，，，，，且，，.（1）求證：；（2）求證：.解：（1）由題知三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，平面，，平面，可設(shè)平面與平面的交線為，因?yàn)椋?，又，，故，又同理，，，，所?（2）在直線取點(diǎn)，使，連接，，由（1）知，得四邊形為平行四邊形，故，由，可得，又，，，，所以，則平面，又，所以，在中，因?yàn)椋山菫?，，所以，夾角也為，所以在中，或，根據(jù)余弦定理知，所以.21.在三棱柱中，側(cè)面平面，且，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，求點(diǎn)到平面之間的距離.解：（1）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，，，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)閭?cè)面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，連接，，由已知，，所以為等邊三角形，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以，又側(cè)面平面，平面平面，平面，所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，在中，，，所以，在中，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以點(diǎn)到平面之間的距離為.22.在①；②；③設(shè)的面積為，且.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知__________，且.（1）若，求面積；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）解：（1）若選①，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，，所以，所以的面積.若選②，由，所以，所以，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，，所以，所以的面積.若選③，因?yàn)?，又，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，，所以，所以的面積.（2）由（1），，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，，所以，所以取值范圍為.江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本起共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)，，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，且為?shí)數(shù)；所以，即.故選：B.2.設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗若，，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使，，∴，∵與是兩個(gè)不共線向量，∴，且，解得.故選：B.3.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的高為（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，所以該扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐的母線長(zhǎng)為3，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，所以圓錐的高為.故選：C.4.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高18cm，盆口直徑36cm，盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為6cm時(shí)，則盆內(nèi)水的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)EC與FD交于點(diǎn)G，根據(jù)題意，，設(shè)，所以，解得，所以.故選：B.5.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A.6.對(duì)于直線和不重合的平面，，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，若，，則可能相交，如圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，由線面垂直的性質(zhì)可知，故B正確；對(duì)于C，若，，則可能平行，如圖，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則可能，如圖，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又，，所以，得到，所以，設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為：.故選：D.8.在正四棱臺(tái)中，，側(cè)棱，若為中點(diǎn)，則過(guò)，，三點(diǎn)截面的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，則，又，則，又根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)得，則為等腰梯形，即過(guò)，，三點(diǎn)截面為等腰梯形，取的中點(diǎn)，連接，在等腰梯形中，，則，，在等腰梯形中，，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.是實(shí)數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，令，則，于是，所以A正確；對(duì)于B，令，則，因?yàn)?，，所以B正確；對(duì)于C，令，滿足，而，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，而是實(shí)數(shù)，所以D正確.故選：ABD.10.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若為銳角三角形，則C.若，則為鈍角三角形D.若，則為等腰三角形〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，得，所以，為外接圓的半徑，所以，故A正確；對(duì)于B，由為銳角三角形，可得，則，因?yàn)?，可得，又函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，而，所以角為鈍角，即為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D，由，得，展開整理得，因?yàn)?，可得或，所以是直角三角形或等腰三角形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.兩個(gè)相交平面構(gòu)成四個(gè)二面角，其中較小的二面角稱為這兩個(gè)相交平面所成角；在正方體中，不在同一表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱為該正方體的對(duì)角面.則在某正方體中，兩個(gè)不重合的對(duì)角面所成角的大小可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗如圖：平面與平面的交線為，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，故，同理，所以為二面角的平面角，又，所以二面角的平面角為，由相交平面所成角的定義可得平面與平面所成的角的大小為，如圖，平面與平面的交線為，因?yàn)椋?，平面，，所以平面，設(shè)，則平面，過(guò)點(diǎn)作，則為二面角的平面角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以平面與平面所成的角的大小為.故選：CD.12.如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若為線段的中點(diǎn)，則C. D.的最小值為6〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A，過(guò)作的垂直，交于，所以，又，，，，，所以，故選項(xiàng)A正確；建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，選項(xiàng)B，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，，，，所以，由，得到，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，選項(xiàng)C，由，得到，解得，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，，，所以，令，對(duì)稱軸為，又，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把〖答案〗填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.在中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，且，若，則的值是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)為邊上的點(diǎn)，且，所以，又因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：.14.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，是虛數(shù)單位.將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第__________象限.〖答案〗四〖解析〗因?yàn)椋瑒t，，所以，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故〖答案〗為：四.15.在中，在邊上且平分，若，，則線段的長(zhǎng)為__________.〖答案〗〖解析〗∵，，又，∴，∴，∴.故〖答案〗為：．16.棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為__________；直線與之間的距離為__________.〖答案〗；.〖解析〗如圖，將正四面體補(bǔ)形為正方體，則正四面體的外接球就是正方體的外接球，由已知，所以正方體的邊長(zhǎng)為，所以正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體的外接球的半徑為，所以球的表面積，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以直線與之間的距離為線段的長(zhǎng)，又中，，，所以，所以直線與之間的距離為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知，，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）因?yàn)棰?，則，得，則，因?yàn)?，則，所以②，由①②得，所以．（2）.18.一副三角板（為等腰直角三角形，，為直角三角形，）按如圖所示的方式拼接，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）因?yàn)槊鍭BC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，CD⊥BC，CD面BCD，所以CD⊥面ABC，又AB面ABC，則AB⊥CD，又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD面ACD，所以AB⊥面ACD.（2）因?yàn)锳B⊥面ACD，AD為BD在面ACD內(nèi)的射影，則為BD與平面ACD所成角，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)锳B⊥面ACD，AD面ACD，所以AB⊥AD，在中，，則，所以BD與平面ACD所成角的余弦值為．19.為進(jìn)一步落實(shí)國(guó)家鄉(xiāng)村振興政策，某網(wǎng)紅村計(jì)劃在村內(nèi)一圓形地塊中種植油菜花，助推鄉(xiāng)村旅游經(jīng)濟(jì)．為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局合理，設(shè)計(jì)者們首先規(guī)劃了一個(gè)平面圖，如圖所示，與是油菜花種植區(qū)，其中，（不計(jì)寬度）是觀賞路線．在四邊形中，，，.（1）若時(shí)，求路線的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求路線的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，又，所以，在中，由余弦定理得：所以，在中，由余弦定理得：即，即，所以(舍)或．（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，，則，因?yàn)?，故，由?）知，在中，，則，所以在中，由正