2023-2024學(xué)年浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE11浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗或，，所以，即.故選：A2.截至目前，聯(lián)合國共設(shè)5個常任理事國，10個非常任理事國，現(xiàn)從這15個國家中選取3個國家，且至少包含一個常任理事國，則共有的選法種數(shù)為（）A.120 B.410 C.335 D.455〖答案〗C〖解析〗15個國家中選取3個國家，有種選法，其中沒有常任理事國的選法有種，所以從這15個國家中選取3個國家，至少包含一個常任理事國，共有種選法.故選：C.3.已知直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，即，，即，此時；故“”是“”的充要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：B4.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，從而時，圖象關(guān)于原點對稱，所以選項A和C錯誤，又時，，，所以時，，所以選項B錯誤，選項D正確，故選：D.5.的展開式中常數(shù)項是（）A.－225 B.－252 C.252 D.225〖答案〗B〖解析〗二項式的展開式通項為：，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：B6.某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率（）A0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52〖答案〗C〖解析〗設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.7.已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因，故得，即在上為減函數(shù).對于A項，因，則，即，即，故A錯誤；對于B項，因，則，即，即得，故B錯誤；對于C項，因，則，即，即得，故C錯誤；對于D項，因，則，即，即得，故D正確.故選：D.8.函數(shù)，若方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出與的圖象，的圖象為恒過定點的直線，如圖：當(dāng)時，設(shè)與相切于點，則，解得，即，所以，所以，由圖象可知，此時的圖象與的圖象有兩個公共點，當(dāng)時，的圖象與的圖象有一個公共點，當(dāng)時，的圖象與的圖象有三個公共點，當(dāng)時，的圖象與的圖象有兩個公共點，綜上，，的圖象與的圖象有三個公共點，即方程恰有三個不相等的實數(shù)根，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.已知隨機(jī)變量分布列為，則C.用表示次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗中事件發(fā)生的概率，若，則D.已知隨機(jī)變量的分布列為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，依題意，，因此，A正確；對于BD，，，解得，B錯誤，D正確；對于C，依題意，，，解得，C正確.故選：ACD10.已知直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點．若線段的長是20，中點到軸的距離是8，為坐標(biāo)原點，則（）A.拋物線的焦點是 B.拋物線的離心率為C.直線的斜率為 D.的面積為〖答案〗ABD〖解析〗記拋物線焦點為F，MN中點A，過M，N，A分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，T，則，又，所以，拋物線方程為，故選項A，B正確；顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，設(shè)，則,而，所以，解得：，故選項C不正確；直線方程為，可得原點O到直線距離為，所以的面積為，故選項D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)定義域均為，且為偶函數(shù)，若，則下面一定成立是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因為滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；又函數(shù)定義域為，所以又為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于成軸對稱，兩者結(jié)合即，用代替得：，所以，所以為周期函數(shù)，且.因，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)知，故A正確；因為，，所以，故D正確；若滿足題設(shè)，則，則，故B錯誤；由上易知周期也為4，又，，，所以，故C錯誤.故選：AD非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心為，且與直線相切的圓的方程為_____〖答案〗〖解析〗圓心到直線的距離，由于直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓的方程為.故〖答案〗為：13.已知數(shù)列的前項和，當(dāng)取最小值時，______．〖答案〗5〖解析〗數(shù)列的前項和，，則當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又所以當(dāng)取最小值時，.故〖答案〗為：514.已知中，是邊上的動點．若平面ABC，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，又的最大值是，所以，解得，即PQ的最小值為，的最小值是，即A到BC的距離為，如下圖，直角三角形△ABQ中，所以，又，所以重合，則，則的外接圓圓心M為AB的中點，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.浙江省教育廳等五部門印發(fā)《浙江省山區(qū)26縣和海島縣“縣中崛起”行動計劃》，從招生管理、縣中對口幫扶、教科研指導(dǎo)等九方面提升共同富裕背景下教育公共服務(wù)的質(zhì)量和水平.某校為增強(qiáng)實力，大力招攬名師、建設(shè)校園設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號12345招生人數(shù)/千人1.31.72.22.83.5（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．解：（1）由，，，所以，因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時，，由此預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)為4.5千人16.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，證明：．解：（1），由，所以，所以．（2）所以17.如圖，在直三棱柱中，點是的中點，．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面的所成角的余弦值．解：（1）如圖1，記與的交點為點，連接，因為三棱柱是直三棱柱，所以，因為，所以四邊形是正方形，故，因為，所以，又因為是中點，所以，所以，因為四邊形是正方形，所以是的中點，所以，又平面，，所以平面．（2）如圖2，取中點的，易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則法向量．設(shè)直線與平面的所成角的線面角為，則，得，故直線與平面的所成角的線面角的余弦值為．18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；③當(dāng)時，，即.又，故在有一個零點.設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.19.已知橢圓，過右焦點的直線交于，兩點，過點與垂直的直線交于，兩點，其中，在軸上方，，分別為，的中點．當(dāng)軸時，，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線過定點，并求定點坐標(biāo)；（3）設(shè)為直線與直線的交點，求面積的最小值．解：（1）由題意可得，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2），在軸上方，直線斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，消去得：，由韋達(dá)定理得：，則中點，由，所以以代替可得，所以，，化簡得，則過定點．當(dāng)時，取，則過定點；當(dāng)時，取，則過定點；綜上直線過定點．（3），分別為，的中點，，由（2）知，以代替可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時，．浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗或，，所以，即.故選：A2.截至目前，聯(lián)合國共設(shè)5個常任理事國，10個非常任理事國，現(xiàn)從這15個國家中選取3個國家，且至少包含一個常任理事國，則共有的選法種數(shù)為（）A.120 B.410 C.335 D.455〖答案〗C〖解析〗15個國家中選取3個國家，有種選法，其中沒有常任理事國的選法有種，所以從這15個國家中選取3個國家，至少包含一個常任理事國，共有種選法.故選：C.3.已知直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，即，，即，此時；故“”是“”的充要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：B4.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，從而時，圖象關(guān)于原點對稱，所以選項A和C錯誤，又時，，，所以時，，所以選項B錯誤，選項D正確，故選：D.5.的展開式中常數(shù)項是（）A.－225 B.－252 C.252 D.225〖答案〗B〖解析〗二項式的展開式通項為：，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：B6.某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率（）A0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52〖答案〗C〖解析〗設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.7.已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因，故得，即在上為減函數(shù).對于A項，因，則，即，即，故A錯誤；對于B項，因，則，即，即得，故B錯誤；對于C項，因，則，即，即得，故C錯誤；對于D項，因，則，即，即得，故D正確.故選：D.8.函數(shù)，若方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出與的圖象，的圖象為恒過定點的直線，如圖：當(dāng)時，設(shè)與相切于點，則，解得，即，所以，所以，由圖象可知，此時的圖象與的圖象有兩個公共點，當(dāng)時，的圖象與的圖象有一個公共點，當(dāng)時，的圖象與的圖象有三個公共點，當(dāng)時，的圖象與的圖象有兩個公共點，綜上，，的圖象與的圖象有三個公共點，即方程恰有三個不相等的實數(shù)根，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.已知隨機(jī)變量分布列為，則C.用表示次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗中事件發(fā)生的概率，若，則D.已知隨機(jī)變量的分布列為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，依題意，，因此，A正確；對于BD，，，解得，B錯誤，D正確；對于C，依題意，，，解得，C正確.故選：ACD10.已知直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點．若線段的長是20，中點到軸的距離是8，為坐標(biāo)原點，則（）A.拋物線的焦點是 B.拋物線的離心率為C.直線的斜率為 D.的面積為〖答案〗ABD〖解析〗記拋物線焦點為F，MN中點A，過M，N，A分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，T，則，又，所以，拋物線方程為，故選項A，B正確；顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，設(shè)，則,而，所以，解得：，故選項C不正確；直線方程為，可得原點O到直線距離為，所以的面積為，故選項D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)定義域均為，且為偶函數(shù)，若，則下面一定成立是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因為滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；又函數(shù)定義域為，所以又為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于成軸對稱，兩者結(jié)合即，用代替得：，所以，所以為周期函數(shù)，且.因，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)知，故A正確；因為，，所以，故D正確；若滿足題設(shè)，則，則，故B錯誤；由上易知周期也為4，又，，，所以，故C錯誤.故選：AD非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心為，且與直線相切的圓的方程為_____〖答案〗〖解析〗圓心到直線的距離，由于直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓的方程為.故〖答案〗為：13.已知數(shù)列的前項和，當(dāng)取最小值時，______．〖答案〗5〖解析〗數(shù)列的前項和，，則當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又所以當(dāng)取最小值時，.故〖答案〗為：514.已知中，是邊上的動點．若平面ABC，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，又的最大值是，所以，解得，即PQ的最小值為，的最小值是，即A到BC的距離為，如下圖，直角三角形△ABQ中，所以，又，所以重合，則，則的外接圓圓心M為AB的中點，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.浙江省教育廳等五部門印發(fā)《浙江省山區(qū)26縣和海島縣“縣中崛起”行動計劃》，從招生管理、縣中對口幫扶、教科研指導(dǎo)等九方面提升共同富裕背景下教育公共服務(wù)的質(zhì)量和水平.某校為增強(qiáng)實力，大力招攬名師、建設(shè)校園設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號12345招生人數(shù)/千人1.31.72.22.83.5（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．解：（1）由，，，所以，因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時，，由此預(yù)測當(dāng)年份序號為7時該校的招生人數(shù)為4.5千人16.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，證明：．解：（1），