2022-2023學(xué)年江西省贛州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江西省贛州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A.－2 B.－18 C.2 D.18〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋怨蔬x：A.3.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（）A.16 B.12 C. D.〖答案〗A〖解析〗在直觀圖中，，可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2，高為，則另一邊長為，所以原圖形的周長為．故選：A.4.如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AE上，且，記，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槠叫兴倪呅沃校堑闹悬c(diǎn)，，，所以.故選：D．5.已知空間中三個互不相同的平面、、，兩條不同的直線、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)AD：若，，則和可能平行也可能相交（此時(shí)交線與平面垂直），故AD錯誤；選項(xiàng)B：若，，則，又且、是空間中兩不相同的平面，則，故B正確；選項(xiàng)C：若，，，則與可能相交也可能平行，故C錯誤.故選：B.6.已知的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，則B.若，則符合條件的三角形有2個C.若，則D.若△ABC的面積，則〖答案〗C〖解析〗對于A，由及正弦定理，得，所以，故A正確；對于B，由題意及正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以或，即符合條件的三角形有2個，故B正確；對于C，由，得或，所以或，所以或，故C錯誤；對于D，由，得，所以，由于，所以，故D正確.故選：C.7.在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出正方體，如圖所示：對于選項(xiàng)A，連，若，又，所以平面，所以可得，顯然不成立，所以A不正確；對于選項(xiàng)B，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以B不正確；對于選項(xiàng)C，連，則．連，則得，所以平面，從而得，所以．所以C正確；對于選項(xiàng)D，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以D不正確．故選：C．8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且其最小正周期為，所以，則，得，又，所以，故，所以，.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.）9.下列各式化簡中，一定正確的是（）A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗A：，故A正確；B：取，則，顯然，故B錯誤；C：，故C正確；D：取，則，顯然，故D錯誤.故選：AC.10.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)若．（i為虛數(shù)單位），向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（）A.的虛部為 B.點(diǎn)B在第二象限C. D.〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以對?yīng)的坐標(biāo)為，，向量與軸夾角為由題意可知，且，選項(xiàng)B正確；，的虛部為，選項(xiàng)A錯誤；，所以，選項(xiàng)C錯誤；，選項(xiàng)D正確.故選：BD.11.若平面，，，則以下結(jié)論有可能成立的是（）A.與異面 B.與平行C.與垂直 D.都與相交〖答案〗ABCD〖解析〗作出正方體如圖，對于ACD，記面為，面為，為，為，則滿足，，，此時(shí)因?yàn)槊?，面，面，，所以與是異面直線，即與異面，而，則都與相交，易知面，面，所以，故ACD正確；對于B，記面為，面為，為，為，則滿足，，，此時(shí)，故B正確.故選：ABCD.12.已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（）A.B.對任意，均有C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心，并且最小正周期滿足，即，所以當(dāng)，則直線是函數(shù)的一條對稱軸與對稱中心相鄰，則，即，所以，故A正確；則，由于是函數(shù)的一個對稱中心，所以，得，又，所以，故D正確；則，所以，又的最大值為，則對任意，均有，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯誤.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．〖答案〗-3〖解析〗已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：，所以.故〖答案〗為：-3.14.如圖，在單位同格中，向量在向量上的投影向量與向量的夾角為______．〖答案〗〖解析〗由圖可知：向量在向量上的投影向量為，結(jié)合向量坐標(biāo)表示即為，由圖可知：，設(shè)投影向量與向量的夾角為45°.故〖答案〗：45°.15.如圖，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，，，將沿所在直線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，當(dāng)時(shí)，此三棱錐的外接球表面積為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑妊苯侨切?，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，，，所以，，則，因?yàn)?，所以，則，所以將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如下圖所示：則三棱錐的外接球就是邊長為的正方體的外接球，所以該外接球的直徑為正方體的體對角線，即，所以外接球表面積為.故〖答案〗為：.16.設(shè)函數(shù)滿足：對任意，有，且時(shí)，，，則在上有______個零點(diǎn)．〖答案〗9〖解析〗由題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，且，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，又，，所以在上有9個零點(diǎn).故〖答案〗為：9.四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)?，，所以，解?（2）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以，且與不平行，又，，所以，解得且，故.18.已如函數(shù)．（1）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的取值范圍．解：（1）依題意，列表如下：所以數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：.（2）因?yàn)椋詫⒑瘮?shù)的圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象，再將得到的圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到的圖象，因?yàn)椋?，則，故的取值范圍是.19.從條件①，②中選擇一個，補(bǔ)充在下列橫線中，并解答問題．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在線段上，已知______，且，，．（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角余弦值．解：（1）證明：連接，設(shè)，如下圖所示：因?yàn)椋?，且，所以，，則，，所以，，所以，，故，所以，，即，若選①，因?yàn)椋?，、平面，因此，平面；若選②，因?yàn)椋?，由余弦定理可得，整理可得，解得，所以，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因平面，所以，，因?yàn)?，、平面，因此，平?（2）將直三棱柱補(bǔ)成直四棱柱，使得四邊形為平行四邊形，則，故異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，若選①，由（1）可知，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，且，，則直四棱柱為長方體，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以，，故，因此，異面直線與所成角的余弦值為；若選②，由（1）可知，平面，因?yàn)?，則，以下同①.20.已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足．（1）若，求；（2）若，且，求的面積．解：（1）因?yàn)椋?，即，所以，即，所以，則，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以，即，由，得，所?（2）因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)椋瑒t，所以，則，又因?yàn)?，所以，由?）知，則，因?yàn)椋?，?21.如圖，在多面體中，是四邊形的外接圓的直徑，是與的交點(diǎn)，，．四邊形是直角梯形，，平面，．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積．解：（1）證明：分別延長、交于點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，，則，故為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，為四邊形外接圓的直徑，所以，，且，故，所以，，所以，，故為的中點(diǎn)，所以，，即，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?（2）因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓，則，由（1）可知，，又因?yàn)?，則，同理可得，且，，，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)椋宜倪呅螢橹苯翘菪?，所以，，因?yàn)槠矫?，，則平面，所以，，因此，.22.在數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)的孿生兄弟是雙曲函數(shù)，其中雙曲余弦函數(shù)．令．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）若對任意，，有，求的取值范圍．解：（1）為偶函數(shù)，證明如下：因?yàn)?，所以其定義域?yàn)?，又，所以為偶函?shù).（2）令，則可化為，令，則，因?yàn)?，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，由（1）知，為偶函數(shù)，所以對任意，恒成立，可化為恒成立，因?yàn)?，所以，所以，即，即，又，所以，則，故.江西省贛州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A.－2 B.－18 C.2 D.18〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋怨蔬x：A.3.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（）A.16 B.12 C. D.〖答案〗A〖解析〗在直觀圖中，，可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2，高為，則另一邊長為，所以原圖形的周長為．故選：A.4.如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AE上，且，記，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，是的中點(diǎn)，，，所以.故選：D．5.已知空間中三個互不相同的平面、、，兩條不同的直線、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)AD：若，，則和可能平行也可能相交（此時(shí)交線與平面垂直），故AD錯誤；選項(xiàng)B：若，，則，又且、是空間中兩不相同的平面，則，故B正確；選項(xiàng)C：若，，，則與可能相交也可能平行，故C錯誤.故選：B.6.已知的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，則B.若，則符合條件的三角形有2個C.若，則D.若△ABC的面積，則〖答案〗C〖解析〗對于A，由及正弦定理，得，所以，故A正確；對于B，由題意及正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以或，即符合條件的三角形有2個，故B正確；對于C，由，得或，所以或，所以或，故C錯誤；對于D，由，得，所以，由于，所以，故D正確.故選：C.7.在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出正方體，如圖所示：對于選項(xiàng)A，連，若，又，所以平面，所以可得，顯然不成立，所以A不正確；對于選項(xiàng)B，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以B不正確；對于選項(xiàng)C，連，則．連，則得，所以平面，從而得，所以．所以C正確；對于選項(xiàng)D，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以D不正確．故選：C．8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且其最小正周期為，所以，則，得，又，所以，故，所以，.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.）9.下列各式化簡中，一定正確的是（）A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗A：，故A正確；B：取，則，顯然，故B錯誤；C：，故C正確；D：取，則，顯然，故D錯誤.故選：AC.10.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)若．（i為虛數(shù)單位），向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（）A.的虛部為 B.點(diǎn)B在第二象限C. D.〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)椋詫?yīng)的坐標(biāo)為，，向量與軸夾角為由題意可知，且，選項(xiàng)B正確；，的虛部為，選項(xiàng)A錯誤；，所以，選項(xiàng)C錯誤；，選項(xiàng)D正確.故選：BD.11.若平面，，，則以下結(jié)論有可能成立的是（）A.與異面 B.與平行C.與垂直 D.都與相交〖答案〗ABCD〖解析〗作出正方體如圖，對于ACD，記面為，面為，為，為，則滿足，，，此時(shí)因?yàn)槊?，面，面，，所以與是異面直線，即與異面，而，則都與相交，易知面，面，所以，故ACD正確；對于B，記面為，面為，為，為，則滿足，，，此時(shí)，故B正確.故選：ABCD.12.已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（）A.B.對任意，均有C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心，并且最小正周期滿足，即，所以當(dāng)，則直線是函數(shù)的一條對稱軸與對稱中心相鄰，則，即，所以，故A正確；則，由于是函數(shù)的一個對稱中心，所以，得，又，所以，故D正確；則，所以，又的最大值為，則對任意，均有，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯誤.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．〖答案〗-3〖解析〗已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：，所以.故〖答案〗為：-3.14.如圖，在單位同格中，向量在向量上的投影向量與向量的夾角為______．〖答案〗〖解析〗由圖可知：向量在向量上的投影向量為，結(jié)合向量坐標(biāo)表示即為，由圖可知：，設(shè)投影向量與向量的夾角為45°.故〖答案〗：45°.15.如圖，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，，，將沿所在直線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，當(dāng)時(shí)，此三棱錐的外接球表面積為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑妊苯侨切?，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，，，所以，，則，因?yàn)椋?，則，所以將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如下圖所示：則三棱錐的外接球就是邊長為的正方體的外接球，所以該外接球的直徑為正方體的體對角線，即，所以外接球表面積為.故〖答案〗為：.16.設(shè)函數(shù)滿足：對任意，有，且時(shí)，，，則在上有______個零點(diǎn)．〖答案〗9〖解析〗由題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，且，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，又，，所以在上有9個零點(diǎn).故〖答案〗為：9.四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)?，，所以，解?（2）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以，且與不平行，又，，所以，解得且，故.18.已如函數(shù)．（1）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的取值范圍．解：（1）依題意，列表如下：所以數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：.（2）因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象，再將得到的圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到的圖象，因?yàn)?，所以，則，故的取值范圍是.19.從條件①，②中選擇一個，補(bǔ)充在下列橫線中，并解答問題．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在線段上，已知______，且，，．（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角余弦值．解：（1）證明：連接，設(shè)，如下圖所示：因?yàn)?，，且，所以，，則，，所以，，所以，，故，所以，，即，若選①，因?yàn)椋?，、平面，因此，平面；若選②，因?yàn)?，且，由余弦定理可得，整理可得，解得，所以，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因平面，所以，，因?yàn)?，?/p>