2024屆北京市海淀區(qū)高三下學(xué)期查漏補(bǔ)缺數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3精品〖解析〗北京市海淀區(qū)2024屆高三下學(xué)期查漏補(bǔ)缺數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題選說明：1.可根據(jù)學(xué)生實(shí)際選用或改編；2.本練習(xí)題目目的是提醒學(xué)生4次統(tǒng)練未關(guān)注到的點(diǎn)，或重點(diǎn)知識(shí)，或變式的形式，學(xué)生不必全做；3.提供的〖答案〗僅供參考；4.老師們使用時(shí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)破題，提升學(xué)生思維的靈活性；5.部分題目選用自學(xué)校的練習(xí)題或高考題，再此表示感謝.預(yù)祝同學(xué)們?nèi)〉煤贸煽?jī)！1.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊.已知，若___________.在橫線上選擇下面一個(gè)序號(hào)作為條件，求的面積及c邊上的高h(yuǎn).①；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.〖答案〗條件選擇見〖解析〗；，.〖解析〗〖祥解〗依題意可得，再利用余弦定理可得，再根據(jù)所選條件求出，即可求出三角形面積，再根據(jù)等面積法求出高；【詳析】解：由，所以，由余弦定理，可得，又，所以；若選①，，由，解得，故，又，解得.若選②，，由，解得，故，又，解得.若選③，，由，即解得，故，又，解得.2.在中，，.求：（1）的值；（2）和面積值．〖答案〗（1）；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用輔助角公式將題設(shè)化成，根據(jù)內(nèi)角范圍求出角即得；（2）由正弦定理求得，結(jié)合條件確定依次求出角和邊、.【小問1詳析】由可得，即.又則故或解得或.因，則不是最大角，故得，所以【小問2詳析】由正弦定理，可得.則因?yàn)?，由余弦定理，，則故則3.若△同時(shí)滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的三個(gè)條件并解決下列問題：（1）求邊的值；（2）求△的面積.條件①：；條件②：；條件③：；條件④：.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗（2）〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）首先分析出①和④兩個(gè)條件不能同時(shí)滿足，然后分選擇條件①②③和條件②③④討論即可，當(dāng)選擇①②③時(shí)，利用三角恒等變換得，再利用正弦定理即可得到值；當(dāng)選擇②③④時(shí)，利用余弦定理即可求出〖答案〗；（2）在（1）的選擇情況下，利用三角形面積公式即可得到〖答案〗.【小問1詳析】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)椋?，所?由于，所以，又因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，的取值最多兩個(gè).當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，或.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即不可能為鈍角.由條件④知，，為鈍角，所以條件①和條件④不能同時(shí)滿足.因此有兩種情況的解答：選擇條件①②③因?yàn)椴豢赡転殁g角，又因?yàn)?，所?因?yàn)?，且，所以所以，即，又因?yàn)?，所以?在△中，由正弦定理，所以，又因?yàn)?，所?所以，選擇條件②③④由條件④知，，為鈍角，又因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)椋?由余弦定理得，得，整理得，解得或（舍）.【小問2詳析】選擇條件①②③，由（1）知，又因?yàn)?，所以?,所以△的面積為.選擇條件②③④結(jié)合第（1）問，此時(shí)，所以,所以△的面積為.4.在四邊形中，，．（1）連接，從下列三個(gè)等式中再選擇兩個(gè)作為條件，剩余的一個(gè)作為結(jié)論，要求構(gòu)成一個(gè)真命題，并給出證明；①；②；③備選：連接，從上述三個(gè)等式中再選擇兩個(gè)作為條件，剩余的一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題，判斷該命題的真假并給出證明；（2）在（1）中真命題的條件下，求的周長(zhǎng)的最大值；（3）在（1）中真命題的條件下，連接，求的面積的最大值．〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗；（2）；（3）．〖解析〗〖祥解〗（1）若①②為條件，利用正弦定理可求得，得到或；當(dāng)時(shí)，可求得，，知③不成立，則①②③為假命題；若②③為條件，由正弦定理可求得，進(jìn)一步可求得或，當(dāng)時(shí)，可求得，知①不成立，則②③①為假命題；若①③為條件，由正弦定理可求得，由此得到，知，從而證得②整理，則①③②為真命題；（2）由（1）知：為直角三角形；在中利用余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得的最大值，由此得到周長(zhǎng)的最大值；（3）設(shè)，，在中，根據(jù)正弦定理可利用表示出，將代入三角形面積公式，整理得到，由的范圍可確定的最大值，由此確定三角形面積的最大值.【詳析】（1）①②③為假命題，證明如下：在中，，，由正弦定理知：，，或．當(dāng)時(shí)，，，又，，，此時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，，，又，，此時(shí)，．綜上：①②③為假命題．②③①為假命題，證明如下：，，由正弦定理得：，，．，．，或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．綜上：②③①假命題．①③②為真命題，證明如下：由正弦定理得：，，，，，，證畢．（2）由（1）知：為直角三角形，且，，，在中，由余弦定理：得：，整理得：，，的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的周長(zhǎng)最大值為．（3）在（1）中真命題的條件下，，，．設(shè)，；，．在中，，即，可得，的面積，．當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值．【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：求解三角形周長(zhǎng)、面積的最值問題通常有兩種方法：①利用正弦定理邊化角，將周長(zhǎng)和面積表示為與三角函數(shù)值域有關(guān)的問題的求解，利用三角恒等變換和三角函數(shù)的知識(shí)來進(jìn)行求解；②利用余弦定理構(gòu)造方程，結(jié)合基本不等式求得基本范圍；將所求式子化為符合基本不等式的形式或配湊成函數(shù)的形式來進(jìn)行求解；應(yīng)用此方法時(shí)，需注意基本不等式等號(hào)成立的條件.5.如圖，矩形，，平面，，，，，平面與棱交于點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.（1）求證：；（2）求直線與平面夾角的正弦值；（3）求的值.條件①：；條件②：；條件③：.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）（3）〖解析〗〖祥解〗（1）先證明平面平面，得平面，再證即可；（2）依題建系，分別就①，②，③，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得；（3）設(shè)，求得，分別利用①，②，③求得，結(jié)合列方程組，求出即得【小問1詳析】因?yàn)?，平面，平面，故平面，由矩形可得，平面，平?故平面,又，且平面，平面，故平面平面，又因平面，故平面，因平面，平面平面所以，即；【小問2詳析】若選擇條件①，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線與平面夾角為，則，即直線與平面夾角的正弦值；若選擇條件②，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線與平面夾角為，則，即直線與平面夾角的正弦值；若選擇條件③，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線與平面夾角為，則，即直線與平面夾角的正弦值.【小問3詳析】由（2）建系，且可知無論選擇①，②，③哪個(gè)條件，都有.設(shè)，，則，由（1）知，所以故存在實(shí)數(shù)，使得,即，解得,符合題意.故得.6.在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)病.為了解這種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測(cè)值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們?cè)擁?xiàng)身體指標(biāo)的檢測(cè)值，整理得到如下統(tǒng)計(jì)圖：（1）求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；（2）在該指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；（3）某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測(cè)值大于，則判斷其患有這種職業(yè)??；若檢測(cè)值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫出使得判斷錯(cuò)誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）.〖答案〗（1）樣本患病人數(shù)為人，，；（2）；（3），誤判概率為.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等比例原則求患者人數(shù)，由頻率和為1，列方程求a、b的值；（2）分別求出樣本中指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者、患病者人數(shù)，應(yīng)用對(duì)立事件概率求法求概率；（3）判斷且對(duì)應(yīng)的誤判率，即可得結(jié)果.【小問1詳析】由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為，故患者人數(shù)為人；由直方圖知：，可得，，可得.小問2詳析】由題意，指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者有人，指標(biāo)檢測(cè)值為4的患病者有人；所以指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，這2人中有患病者的概率的概率.【小問3詳析】若為未患病者，為患病者，為體指標(biāo)檢測(cè)值為者，所以100名樣本中，，，未患病者62115963患病者00481216當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為4、18，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24，誤判率為；綜上，當(dāng)時(shí)誤判概率最小為.7.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某地區(qū)的小學(xué)學(xué)校聯(lián)合開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（單位：分）用莖葉圖記錄如圖：（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）從選出的15名女生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為便于普及冬奧知識(shí)，現(xiàn)從每所小學(xué)參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選取個(gè)人作為冬奧宣傳志愿者，要求每所學(xué)校的志愿者中至少有1人的“冰雪答題王”的測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于0.99．根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.（只需寫出結(jié)論）〖答案〗（1）80.5（2）分布列見〖解析〗，（3）7.〖解析〗〖祥解〗（1）將數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)定義計(jì)算即得；（2）列出的可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率值，寫出分布列表，計(jì)算均值即得；（3）設(shè)事件，利用對(duì)立事件的概率公式算出，依題建立不等關(guān)系，解之取整即得.【小問1詳析】將30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78，78，78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98.則中位數(shù)是；【小問2詳析】選出的15名女生中90分以上的有3人，則的可能取值有.故的分布列為:012的數(shù)學(xué)期望；【小問3詳析】的最小值為7.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，30人中有15人的成績(jī)?cè)?0分以上，由頻率估計(jì)概率，隨機(jī)抽取1人，該人成績(jī)?cè)?0分以上的概率為.設(shè)每所學(xué)校的志愿者中至少有1人的“冰雪答題王”的測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上為事件.則其中無一人達(dá)到測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為，依題意，，解之得，故的最小值為7.8.已知函數(shù)．（1）證明：不論取何值，曲線均存在一條固定的切線，并求出該切線方程；（2）若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）曲線是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，若存在，請(qǐng)給出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．〖答案〗（1）證明見〖解析〗；；（2）；（3）不存在；〖答案〗見〖解析〗．〖解析〗〖祥解〗（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出與無關(guān)的導(dǎo)數(shù)值，得切點(diǎn)及斜率，從而得切線方程；（2）在導(dǎo)函數(shù)中，令，由導(dǎo)數(shù)得出時(shí)，，遞增，，然后按，，分類討論，確定0是極小值點(diǎn)，得結(jié)論．（3）設(shè)，由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，用反證法證明即可．【詳析】（1），易得，均與無關(guān)，所以不論取何值，曲線都存在固定切線為．（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不符；②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)得性質(zhì)可知：存在，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，與為函數(shù)的極小值點(diǎn)矛盾，不符；③當(dāng)時(shí)，由函數(shù)得性質(zhì)可知：存在，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合．綜上有．（3）不存在，理由如下：設(shè)，由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，假設(shè)曲線存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)其坐標(biāo)分別為，，其中．由得：，與在上單調(diào)遞增矛盾，所以曲線不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與極值．解題關(guān)鍵掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，極值的定義．是函數(shù)的極小值點(diǎn)除必須有外還必須在左側(cè)，右側(cè)．9.已知焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)（不與定點(diǎn)重合）均在橢圓上，且直線與的斜率之和為1，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求證直線經(jīng)過定點(diǎn)；（3）求的面積的最大值〖答案〗（1）；（2）；（3）．〖解析〗〖祥解〗（1）由點(diǎn)在橢圓上可建立的關(guān)系，結(jié)合離心率，即可求出的值，從而求出橢圓方程；（2）設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理可建立的關(guān)系，因?yàn)樾甭屎蜑?，代入坐標(biāo)和韋達(dá)定理，可解出的關(guān)系，從而求出直線所過定點(diǎn)；（3）由（2）所解關(guān)系，代入的取值，求出弦長(zhǎng)和原點(diǎn)到直線的距離，可求出三角形的面積，結(jié)合不等式即可求出面積的最大值.【詳析】（1）設(shè)橢圓（）的離心率為，可知，又因?yàn)椋裕啥c(diǎn)在橢圓上可得，故，．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)（），則．由題意得：，即．所以直線的方程為．當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)直線為，，，將代入得．所以，．由直線與的斜率之和為1可得①，將和代入①，并整理得②，將，代入②，并整理得，分解因式可得，因?yàn)橹本€：不經(jīng)過點(diǎn)，所以，故．所以直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)．綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．（3）由（2）可得：，．．因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積（）．令，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值．【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：（1）直線與橢圓的位置關(guān)系，經(jīng)常采用直線和橢圓聯(lián)立，設(shè)而不求，代入韋達(dá)定理解題；（2）直線過定點(diǎn)問題，，若，則可寫為，即直線過定點(diǎn)；（3）求三角形的面積：以弦長(zhǎng)為底，以頂點(diǎn)到直線的距離為高，用底高的方法計(jì)算.10.已知點(diǎn)A，B在橢圓上，點(diǎn)A在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.（1）若，直線的方程為，求直線的斜率；（2）若是等腰三角形(點(diǎn)O，A，B按順時(shí)針排列)，求的最大值.〖答案〗（1）；（2）最大值〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)即可得結(jié)果；（2）法1：設(shè)，因?yàn)槭堑妊苯侨切蔚脙勺鴺?biāo)點(diǎn)關(guān)系，分別代入橢圓方程得一元二次方程有解，故判別式大于或等于零，化簡(jiǎn)求得不等式，即可求得最大值；法2：設(shè)直線的斜率為，因?yàn)槭堑妊苯侨切吻遥灾本€的斜率為或，故用兩直線分別聯(lián)立橢圓方程解得坐標(biāo)，由列方程求得關(guān)系即可求結(jié)果.【詳析】（1）由，，得橢圓方程為.由得或因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以.又，所以直線的方程為，即.由得或所以，所以直線的斜率為.（2）法1：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.因?yàn)槭堑妊苯侨切?點(diǎn)O，A，B按順時(shí)針排列)，所以設(shè).又，所以，得.所以，即.又由，得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以所以.整理得.所以，即.因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，取最大值.法2：設(shè)直線的斜率為，傾斜角為.因?yàn)槭堑妊苯侨切?點(diǎn)O，A，B按順時(shí)針排列)，且，所以直線的斜率為或.所以.設(shè)，，.由得.由得.又，所以，得，.整理得，所以，即，所以.因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，取最大值.

精品〖解析〗北京市海淀區(qū)2024屆高三下學(xué)期查漏補(bǔ)缺數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題選說明：1.可根據(jù)學(xué)生實(shí)際選用或改編；2.本練習(xí)題目目的是提醒學(xué)生4次統(tǒng)練未關(guān)注到的點(diǎn)，或重點(diǎn)知識(shí)，或變式的形式，學(xué)生不必全做；3.提供的〖答案〗僅供參考；4.老師們使用時(shí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)破題，提升學(xué)生思維的靈活性；5.部分題目選用自學(xué)校的練習(xí)題或高考題，再此表示感謝.預(yù)祝同學(xué)們?nèi)〉煤贸煽?jī)！1.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊.已知，若___________.在橫線上選擇下面一個(gè)序號(hào)作為條件，求的面積及c邊上的高h(yuǎn).①；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.〖答案〗條件選擇見〖解析〗；，.〖解析〗〖祥解〗依題意可得，再利用余弦定理可得，再根據(jù)所選條件求出，即可求出三角形面積，再根據(jù)等面積法求出高；【詳析】解：由，所以，由余弦定理，可得，又，所以；若選①，，由，解得，故，又，解得.若選②，，由，解得，故，又，解得.若選③，，由，即解得，故，又，解得.2.在中，，.求：（1）的值；（2）和面積值．〖答案〗（1）；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用輔助角公式將題設(shè)化成，根據(jù)內(nèi)角范圍求出角即得；（2）由正弦定理求得，結(jié)合條件確定依次求出角和邊、.【小問1詳析】由可得，即.又則故或解得或.因，則不是最大角，故得，所以【小問2詳析】由正弦定理，可得.則因?yàn)?，由余弦定理，，則故則3.若△同時(shí)滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的三個(gè)條件并解決下列問題：（1）求邊的值；（2）求△的面積.條件①：；條件②：；條件③：；條件④：.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗（2）〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）首先分析出①和④兩個(gè)條件不能同時(shí)滿足，然后分選擇條件①②③和條件②③④討論即可，當(dāng)選擇①②③時(shí)，利用三角恒等變換得，再利用正弦定理即可得到值；當(dāng)選擇②③④時(shí)，利用余弦定理即可求出〖答案〗；（2）在（1）的選擇情況下，利用三角形面積公式即可得到〖答案〗.【小問1詳析】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)椋?，所?由于，所以，又因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，的取值最多兩個(gè).當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，或.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即不可能為鈍角.由條件④知，，為鈍角，所以條件①和條件④不能同時(shí)滿足.因此有兩種情況的解答：選擇條件①②③因?yàn)椴豢赡転殁g角，又因?yàn)?，所?因?yàn)?，且，所以所以，即，又因?yàn)?，所以?在△中，由正弦定理，所以，又因?yàn)?，所?所以，選擇條件②③④由條件④知，，為鈍角，又因?yàn)椋?，所?又因?yàn)椋?由余弦定理得，得，整理得，解得或（舍）.【小問2詳析】選擇條件①②③，由（1）知，又因?yàn)?，所以?,所以△的面積為.選擇條件②③④結(jié)合第（1）問，此時(shí)，所以,所以△的面積為.4.在四邊形中，，．（1）連接，從下列三個(gè)等式中再選擇兩個(gè)作為條件，剩余的一個(gè)作為結(jié)論，要求構(gòu)成一個(gè)真命題，并給出證明；①；②；③備選：連接，從上述三個(gè)等式中再選擇兩個(gè)作為條件，剩余的一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題，判斷該命題的真假并給出證明；（2）在（1）中真命題的條件下，求的周長(zhǎng)的最大值；（3）在（1）中真命題的條件下，連接，求的面積的最大值．〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗；（2）；（3）．〖解析〗〖祥解〗（1）若①②為條件，利用正弦定理可求得，得到或；當(dāng)時(shí)，可求得，，知③不成立，則①②③為假命題；若②③為條件，由正弦定理可求得，進(jìn)一步可求得或，當(dāng)時(shí)，可求得，知①不成立，則②③①為假命題；若①③為條件，由正弦定理可求得，由此得到，知，從而證得②整理，則①③②為真命題；（2）由（1）知：為直角三角形；在中利用余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得的最大值，由此得到周長(zhǎng)的最大值；（3）設(shè)，，在中，根據(jù)正弦定理可利用表示出，將代入三角形面積公式，整理得到，由的范圍可確定的最大值，由此確定三角形面積的最大值.【詳析】（1）①②③為假命題，證明如下：在中，，，由正弦定理知：，，或．當(dāng)時(shí)，，，又，，，此時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，，，又，，此時(shí)，．綜上：①②③為假命題．②③①為假命題，證明如下：，，由正弦定理得：，，．，．，或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．綜上：②③①假命題．①③②為真命題，證明如下：由正弦定理得：，，，，，，證畢．（2）由（1）知：為直角三角形，且，，，在中，由余弦定理：得：，整理得：，，的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的周長(zhǎng)最大值為．（3）在（1）中真命題的條件下，，，．設(shè)，；，．在中，，即，可得，的面積，．當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值．【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：求解三角形周長(zhǎng)、面積的最值問題通常有兩種方法：①利用正弦定理邊化角，將周長(zhǎng)和面積表示為與三角函數(shù)值域有關(guān)的問題的求解，利用三角恒等變換和三角函數(shù)的知識(shí)來進(jìn)行求解；②利用余弦定理構(gòu)造方程，結(jié)合基本不等式求得基本范圍；將所求式子化為符合基本不等式的形式或配湊成函數(shù)的形式來進(jìn)行求解；應(yīng)用此方法時(shí)，需注意基本不等式等號(hào)成立的條件.5.如圖，矩形，，平面，，，，，平面與棱交于點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.（1）求證：；（2）求直線與平面夾角的正弦值；（3）求的值.條件①：；條件②：；條件③：.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）（3）〖解析〗〖祥解〗（1）先證明平面平面，得平面，再證即可；（2）依題建系，分別就①，②，③，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得；（3）設(shè)，求得，分別利用①，②，③求得，結(jié)合列方程組，求出即得【小問1詳析】因?yàn)?，平面，平面，故平面，由矩形可得，平面，平?故平面,又，且平面，平面，故平面平面，又因平面，故平面，因平面，平面平面所以，即；【小問2詳析】若選擇條件①，因?yàn)槠矫妫矫?，.又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線與平面夾角為，則，即直線與平面夾角的正弦值；若選擇條件②，因?yàn)槠矫?，平?，.又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線與平面夾角為，則，即直線與平面夾角的正弦值；若選擇條件③，因?yàn)槠矫妫矫?，.又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，故可取.設(shè)直線與平面夾角為，則，即直線與平面夾角的正弦值.【小問3詳析】由（2）建系，且可知無論選擇①，②，③哪個(gè)條件，都有.設(shè)，，則，由（1）知，所以故存在實(shí)數(shù)，使得,即，解得,符合題意.故得.6.在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)病.為了解這種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測(cè)值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們?cè)擁?xiàng)身體指標(biāo)的檢測(cè)值，整理得到如下統(tǒng)計(jì)圖：（1）求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；（2）在該指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；（3）某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測(cè)值大于，則判斷其患有這種職業(yè)??；若檢測(cè)值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫出使得判斷錯(cuò)誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）.〖答案〗（1）樣本患病人數(shù)為人，，；（2）；（3），誤判概率為.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等比例原則求患者人數(shù)，由頻率和為1，列方程求a、b的值；（2）分別求出樣本中指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者、患病者人數(shù)，應(yīng)用對(duì)立事件概率求法求概率；（3）判斷且對(duì)應(yīng)的誤判率，即可得結(jié)果.【小問1詳析】由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為，故患者人數(shù)為人；由直方圖知：，可得，，可得.小問2詳析】由題意，指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者有人，指標(biāo)檢測(cè)值為4的患病者有人；所以指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，這2人中有患病者的概率的概率.【小問3詳析】若為未患病者，為患病者，為體指標(biāo)檢測(cè)值為者，所以100名樣本中，，，未患病者62115963患病者00481216當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為4、18，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24，誤判率為；綜上，當(dāng)時(shí)誤判概率最小為.7.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某地區(qū)的小學(xué)學(xué)校聯(lián)合開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（單位：分）用莖葉圖記錄如圖：（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）從選出的15名女生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為便于普及冬奧知識(shí)，現(xiàn)從每所小學(xué)參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選取個(gè)人作為冬奧宣傳志愿者，要求每所學(xué)校的志愿者中至少有1人的“冰雪答題王”的測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于0.99．根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.（只需寫出結(jié)論）〖答案〗（1）80.5（2）分布列見〖解析〗，（3）7.〖解析〗〖祥解〗（1）將數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)定義計(jì)算即得；（2）列出的可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率值，寫出分布列表，計(jì)算均值即得；（3）設(shè)事件，利用對(duì)立事件的概率公式算出，依題建立不等關(guān)系，解之取整即得.【小問1詳析】將30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78，78，78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98.則中位數(shù)是；【小問2詳析】選出的15名女生中90分以上的有3人，則的可能取值有.故的分布列為:012的數(shù)學(xué)期望；【小問3詳析】的最小值為7.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，30人中有15人的成績(jī)?cè)?0分以上，由頻率估計(jì)概率，隨機(jī)抽取1人，該人成績(jī)?cè)?0分以上的概率為.設(shè)每所學(xué)校的志愿者中至少有1人的“冰雪答題王”的測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上為事件.則其中無一人達(dá)到測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為，依題意，，解之得，故的最小值為7.8.已知函數(shù)．（1）證明：不論取何值，曲線均存在一條固定的切線，并求出該切線方程；（2）若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）曲線是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，若存在，請(qǐng)給出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．〖答案〗（1）證明見〖解析〗；；（2）；（3）不存在；〖答案〗見〖解析〗．〖解析〗〖祥解〗（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出與無關(guān)的導(dǎo)數(shù)值，得切點(diǎn)及斜率，從而得切線方程；（2）在導(dǎo)函數(shù)中，令，由導(dǎo)數(shù)得出時(shí)，，遞增，，然后按，，分類討論，確定0是極小值點(diǎn)，得結(jié)論．（3）設(shè)，由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，用反證法證明即可．【詳析】（1），易得，均與無關(guān)，所以不論取何值，曲線都存在固定切線為．（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不符；②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)得性質(zhì)可知：存在，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，與為函數(shù)的極小值點(diǎn)矛盾，不符；③當(dāng)時(shí)，由函數(shù)得性質(zhì)可知：存在，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合．綜上有．（3）不存在，理由如下：設(shè)，由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，假設(shè)曲線存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)其坐標(biāo)分別為，，其中．由得：，與在上單調(diào)遞增矛盾，所以曲線不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與極