2024屆廣東省深圳市高三二模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2廣東省深圳市2024屆高三二模數(shù)學試題一、選擇題1.已知n為正整數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，顯然，當時，，即，因此當時，，所以n為正整數(shù)，且，有.故選：C.2.已知正方體，過點A且以為法向量的平面為，則截該正方體所得截面的形狀為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形〖答案〗A〖解析〗連接，因為平面，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證明，因為，平面，故平面，故平面即為平面，則截該正方體所得截面的形狀為三角形.故選：A.3.對于任意集合，下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于：如圖所知，為區(qū)域①，所以，故錯誤；對于：為區(qū)域①和③；為區(qū)域③，為區(qū)域①，則也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故正確；對于：為區(qū)域①，為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為），故錯誤；對于：為區(qū)域①和③；而為區(qū)域③，為區(qū)域①，所以為空集，所以錯誤；故選：.4.已知，且，則函數(shù)圖象一定經(jīng)過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限〖答案〗D〖解析〗當時，，則當時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D5.已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，所以，所以.故選：B6.已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有（）A.72種 B.96種 C.144種 D.288種〖答案〗C〖解析〗由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種，若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種，所以所有符合條件的可能是種.故選：C.7.P是橢圓C：（）上一點,、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)，，延長交于A，由題意知，O為的中點，故為中點，又，即，則，又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡得，即，代入得，即，由所以，所以，.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，即，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，且，令，，則，其中，令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B二、選擇題9.已知m，n是異面直線，，，那么（）A.當，或時，B.當，且時，C.當時，，或D當，不平行時，m與不平行，且n與不平行〖答案〗AB〖解析〗A：當，時，；當，時，，故A正確；B：當，時，又為異面直線，所以，故B正確；C：當時，由，得或與相交；當時，由，得或與相交，故C錯誤；D：當不平行時，可能或與相交，或與相交，故D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)（，）的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.滿足條件的正實數(shù)，存在且唯一D.是周期函數(shù)，且最小正周期為〖答案〗ACD〖解析〗因為（其中、），又，解得，又，所以，故A正確；則，又，即，結(jié)合圖象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正確；所以，則為奇函數(shù)，故B錯誤；是周期函數(shù)，且最小正周期，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標系中，函數(shù)的圖象與圓（）的公共點個數(shù)可以是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗ABD〖解析〗由，得該圓心為，半徑為，易知該圓過原點，由，當時，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，當時，圓與函數(shù)的圖象有2個交點，當時，圓與函數(shù)的圖象有1個交點，當時，圓與函數(shù)的圖象有2個交點，當時，圓與函數(shù)的圖象有4個交點，根據(jù)圓與函數(shù)的對稱性，后續(xù)交點情況類比即可.故選：ABD.三、填空題12.已知樣本，，的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為_____________．〖答案〗5〖解析〗由題意知，，所以，由，得，所以.故〖答案〗為：513.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為_____________．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．〖答案〗〖解析〗由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：設(shè)圓錐高為，母線長為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.故〖答案〗為：.14.已知△ABC中，，雙曲線E以B，C為焦點，且經(jīng)過點A，則E的兩條漸近線的夾角為_____________；的取值范圍為_____________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為.設(shè)的內(nèi)心為，過點向三邊作垂線，垂足分別為.根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，，又因為雙曲線E以B，C為焦點，且經(jīng)過點A，所以，即，因為，所以，所以，所以點在雙曲線的左支上，所以.而，所以，所以為雙曲線的左頂點.所以，所以，即，所以，漸近線的傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為.又因為，所以，而，所以.故〖答案〗為：；四、解答題15.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取BC的中點M，連結(jié)MA、．因為，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因為平面，所以，又因為，所以，因為平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因為，所以平面ABC.（2）解：法一：因為，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：將直三棱柱補成長方體．連接，過點C作，垂足為P，再過P作，垂足為Q，連接CQ，因為平面，且平面，所以，又因為，由于BD，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因為，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因為平面CPQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補角，在中，由等面積法可得,因為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且．（1）若曲線在處的切線為，求k，b的值；（2）在（1）的條件下，證明：．（1）解：因為，所以，因為，所以．則曲線在點處的切線斜率為．又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即得，．（2）證明：設(shè)函數(shù)，，則，設(shè)，則，所以，當時，，單調(diào)遞增．又因，所以，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．又當時，，綜上在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，即，所以，當時，．17.某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn)．經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%．（1）從混合放在一起的零件中隨機抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標．已知在甲工廠提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率．設(shè)事件“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標”，事件“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知，證明：．（1）解：設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件，事件“混合放在一起零件來自甲工廠”，事件“混合放在一起零件來自乙工廠”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，則，，，計算得．所以．X的可能取值為0，1，2，3，，，，，，．所以，X的分布列為：X0123P（2）證明：因為在甲工廠提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，所以．即．因為，，所以．因為，，所以．即得，所以．即．又因為，，所以．因為，，所以．即得證．18.設(shè)拋物線C：（），直線l：交C于A，B兩點．過原點O作l的垂線，交直線于點M．對任意，直線AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列．（1）求C的方程；（2）若直線，且與C相切于點N，證明：的面積不小于．（1）解：設(shè)點，，由題可知，當時，顯然有；當時，直線OM的方程為，點．聯(lián)立直線AB與C的方程得，，所以，，因為直線AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列，所以．即，，化簡得．將代入上式得，則，所以曲線C的方程為．（2）證明：（法一）設(shè)直線：，聯(lián)立C的方程，得．由，得，點，設(shè)AB的中點為E，因為，，則點．因為，所以點M，N，E三點共線，且點N為ME的中點，所以△AMN面積為△ABM面積的．記△AMN的面積為S，點到直線AB：的距離，所以，當時，等號成立．所以命題得證．（法二）設(shè)直線：，聯(lián)立C的方程，得．由，得，點．所以直線MN與x軸垂直．記△AMN的面積為S，所以．當時，等號成立．所以命題得證．19.無窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是．（1）寫出這個數(shù)列的前7項；（2）如果且，求m，n值；（3）記，，求一個正整數(shù)n，滿足．解：（1）根據(jù)題意，，，，，，，．（2）由已知，m，n均為奇數(shù)，不妨設(shè)．當時，因為，所以，故；當時，因為，而n為奇數(shù)，，所以．又m為奇數(shù)，，所以存在，使得為奇數(shù)．所以．而，所以，即，，無解．所以．（3）顯然，n不能為偶數(shù)，否則，不滿足．所以，n為正奇數(shù)．又，所以．設(shè)或，．當時，，不滿足；當時，，即．所以，取，時，即．廣東省深圳市2024屆高三二模數(shù)學試題一、選擇題1.已知n為正整數(shù)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，顯然，當時，，即，因此當時，，所以n為正整數(shù)，且，有.故選：C.2.已知正方體，過點A且以為法向量的平面為，則截該正方體所得截面的形狀為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形〖答案〗A〖解析〗連接，因為平面，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證明，因為，平面，故平面，故平面即為平面，則截該正方體所得截面的形狀為三角形.故選：A.3.對于任意集合，下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于：如圖所知，為區(qū)域①，所以，故錯誤；對于：為區(qū)域①和③；為區(qū)域③，為區(qū)域①，則也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故正確；對于：為區(qū)域①，為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為），故錯誤；對于：為區(qū)域①和③；而為區(qū)域③，為區(qū)域①，所以為空集，所以錯誤；故選：.4.已知，且，則函數(shù)圖象一定經(jīng)過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限〖答案〗D〖解析〗當時，，則當時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D5.已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，所以，所以.故選：B6.已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有（）A.72種 B.96種 C.144種 D.288種〖答案〗C〖解析〗由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種，若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種，所以所有符合條件的可能是種.故選：C.7.P是橢圓C：（）上一點,、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)，，延長交于A，由題意知，O為的中點，故為中點，又，即，則，又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡得，即，代入得，即，由所以，所以，.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，即，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，且，令，，則，其中，令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B二、選擇題9.已知m，n是異面直線，，，那么（）A.當，或時，B.當，且時，C.當時，，或D當，不平行時，m與不平行，且n與不平行〖答案〗AB〖解析〗A：當，時，；當，時，，故A正確；B：當，時，又為異面直線，所以，故B正確；C：當時，由，得或與相交；當時，由，得或與相交，故C錯誤；D：當不平行時，可能或與相交，或與相交，故D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)（，）的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.滿足條件的正實數(shù)，存在且唯一D.是周期函數(shù)，且最小正周期為〖答案〗ACD〖解析〗因為（其中、），又，解得，又，所以，故A正確；則，又，即，結(jié)合圖象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正確；所以，則為奇函數(shù)，故B錯誤；是周期函數(shù)，且最小正周期，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標系中，函數(shù)的圖象與圓（）的公共點個數(shù)可以是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗ABD〖解析〗由，得該圓心為，半徑為，易知該圓過原點，由，當時，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，當時，圓與函數(shù)的圖象有2個交點，當時，圓與函數(shù)的圖象有1個交點，當時，圓與函數(shù)的圖象有2個交點，當時，圓與函數(shù)的圖象有4個交點，根據(jù)圓與函數(shù)的對稱性，后續(xù)交點情況類比即可.故選：ABD.三、填空題12.已知樣本，，的平均數(shù)為2，方差為1，則，，的平均數(shù)為_____________．〖答案〗5〖解析〗由題意知，，所以，由，得，所以.故〖答案〗為：513.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為_____________．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．〖答案〗〖解析〗由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：設(shè)圓錐高為，母線長為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.故〖答案〗為：.14.已知△ABC中，，雙曲線E以B，C為焦點，且經(jīng)過點A，則E的兩條漸近線的夾角為_____________；的取值范圍為_____________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為.設(shè)的內(nèi)心為，過點向三邊作垂線，垂足分別為.根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，，又因為雙曲線E以B，C為焦點，且經(jīng)過點A，所以，即，因為，所以，所以，所以點在雙曲線的左支上，所以.而，所以，所以為雙曲線的左頂點.所以，所以，即，所以，漸近線的傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為.又因為，所以，而，所以.故〖答案〗為：；四、解答題15.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取BC的中點M，連結(jié)MA、．因為，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因為平面，所以，又因為，所以，因為平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因為，所以平面ABC.（2）解：法一：因為，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：將直三棱柱補成長方體．連接，過點C作，垂足為P，再過P作，垂足為Q，連接CQ，因為平面，且平面，所以，又因為，由于BD，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因為，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因為平面CPQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補角，在中，由等面積法可得,因為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且．（1）若曲線在處的切線為，求k，b的值；（2）在（1）的條件下，證明：．（1）解：因為，所以，因為，所以．則曲線在點處的切線斜率為．又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即得，．（2）證明：設(shè)函數(shù)，，則，設(shè)，則，所以，當時，，單調(diào)遞增．又因，所以，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．又當時，，綜上在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，即，所以，當時，．17.某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn)．經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%．（1）從混合放在一起的零件中隨機抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標．已知在甲工廠提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率．設(shè)事件“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標”，事件“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知，證明：．（1）解：設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件，事件“混合放在一起零件來自甲工廠”，事件“混合放在一起零件來自乙工廠”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，則，，，計算得．所以．X的可能取值為0，1，2，