2024屆河北省張家口市高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河北省張家口市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,故對應(yīng)的點為，在第三象限，故選：C2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知，，所以，所以該雙曲線的離心率為.故選：C3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，去掉第一個數(shù)和最后一個數(shù)后，則下列統(tǒng)計量一定不變的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.方差 D.極差〖答案〗B〖解析〗現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，去掉第一個數(shù)和最后一個數(shù)后為.原平均數(shù)為，刪除后平均數(shù)為，不一定相等，故A不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)不會發(fā)生改變，故B正確；因為最小的數(shù)據(jù)變大，最大的數(shù)據(jù)變小，其余數(shù)據(jù)不變，方差的意義是新數(shù)據(jù)與新平均值的波動情況，不能確定不變，故C不正確.原極差為，刪除后極差為，不一定相等，故D不正確.故選：B.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗C〖解析〗記數(shù)列的公比為，由題知，則，所以.故選：C5.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.5 C. D.10〖答案〗A〖解析〗的展開式通項為，則的展開式中項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A6.已知拋物線的焦點為F，O為原點，直線與該拋物線交于M，N兩點，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.15〖答案〗B〖解析〗設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立，消去有：，有，則,由于，因此，即，得到,因此，由于拋物線中，拋物線上點到焦點距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此.故選：B7.已知正數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗因m，n為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，所以，在等式兩邊同時乘以，可得：，即，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，取得最大值8.故選：D8.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記的前n項和為，則.故選：A二、選擇題9.已知a，b，c為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，所以，又，，所以，所以，A正確；對于B，當(dāng)時，直線不一定垂直于，B錯誤；對于C，由面面平行的判定定理可知，C正確；對于D，由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線時，直線不一定垂直于，D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的一個周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為D.若，其中為銳角，則的值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以的最小值周期，所以是函數(shù)的一個周期，A正確；對于B，因為，所以，點不是函數(shù)的對稱中心，B錯誤；對于C，由題知，，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，得，因為，所以的最小值為，C正確；對于D，若，則，因為為銳角，，所以，所以，D正確.故選：ACD11.二進(jìn)制是計算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn)．當(dāng)前的計算機(jī)系統(tǒng)使用的基本都是二進(jìn)制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計算機(jī)中主要以補(bǔ)碼的形式存儲，我們用表示十進(jìn)制數(shù)n在二進(jìn)制下的數(shù)字各項之和（例如：，則十進(jìn)制數(shù)5的二進(jìn)制數(shù)為101，），則下列說法正確的是（）A.十進(jìn)制數(shù)25的二進(jìn)制數(shù)為1101 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，因為，所以十進(jìn)制數(shù)100的二進(jìn)制數(shù)為1100100，所以，B正確；對于C，設(shè)，則，則，所以，C正確；對于D，因為，所以，D正確.故選：BCD三、填空題12.圓與圓的公切線的方程為_______．〖答案〗〖解析〗圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為6，因為，所以兩圓內(nèi)切，只有一條公切線，將圓化為一般式得：，，兩式相減得，即，所以圓的公切線的方程為.故〖答案〗為：13.已知向量，若，則在上的投影向量為__________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，所以，解得，因為，所以在上的投影向量為.故〖答案〗為：14.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到時，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束．已知甲贏得每一分的概率為，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了，此局比賽結(jié)束時，兩人的得分總和為n，則此時的概率__________．〖答案〗〖解析〗因為比賽結(jié)束時，兩人的得分總和為n，其中且兩人的得分的差的絕對值為，所以，且為偶數(shù)，所以當(dāng)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)，且偶數(shù)時，若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，余下比賽中，第21球開始，奇數(shù)球與其之后的偶數(shù)球均為甲乙一勝一負(fù)，所以事件甲贏得比賽的概率為，同理乙贏得比賽的概率為，所以，時，的值也符合關(guān)系，所以，，，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：．（1）解：的定義域為，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2）證明：，令，則，因為，所以存在，使得，即，易知在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D為邊上一點，且滿足．（1）證明：；（2）若為內(nèi)角A的平分線，且，求．（1）證明：記的中點為，則，因為，所以，所以為的垂直平分線，所以.（2）解：記，因，所以，所以，，又為內(nèi)角A的平分線，所以，，在中，分別由余弦定理得：，聯(lián)立可得，在中，由余弦定理得，所以.17.如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面．（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，點E為線段上一點，當(dāng)二面角為時，求的值．解：（1）記BD的中點為O，連接OC，AO，因為為正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，所以，記，則，三棱錐體積，當(dāng)時，三棱錐體積取得最大值.（2）記BC，CD的中點分別為F，H，連接OF，OH，則，又，所以，由（1）知平面，平面，所以，以O(shè)為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，，，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，取，則，易知，為平面的一個法向量，因為二面角為，所以，即，解得，所以.18.已知點分別為橢圓的左、右焦點，過的直線l（斜率不為0）交橢圓C于P，Q兩點，當(dāng)直線l的斜率不存在時，．（1）求橢圓C的離心率；（2）若點A，B分別為橢圓C的左、右頂點，且面積的最大值為，直線與直線相交于點M，求的取值范圍．解：（1）令，得，解得，所以，，即，整理得，解得（舍去）或.（2）易知，當(dāng)點在短軸端點時，的面積最大，所以，解得，所以，橢圓C的方程為.易知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程分別為：，，聯(lián)立，解得，所以，由斜率公式可得，所以，，因，所以，，所以，，聯(lián)立得，，所以，不妨記，，則，所以，易知，，所以所以，即的取值范圍為.19.在某項投資過程中，本金為，進(jìn)行了次投資后，資金為，每次投資的比例均為x（投入資金與該次投入前資金比值），投資利潤率為r（所得利潤與當(dāng)次投入資金的比值，盈利為正，虧損為負(fù)）的概率為P，在實際問題中會有多種盈利可能（設(shè)有n種可能），記利潤率為的概率為（其中），其中，由大數(shù)定律可知，當(dāng)N足夠大時，利潤率是的次數(shù)為．（1）假設(shè)第1次投資后的利潤率為，投資后的資金記為，求與的關(guān)系式；（2）當(dāng)N足夠大時，證明：（其中）；（3）將該理論運(yùn)用到非贏即輸?shù)挠螒蛑校涄A了的概率為，其利潤率為；輸了的概率為，其利潤率為，求最大時x的值（用含有的代數(shù)式表達(dá)，其中）．解：（1）由題知，投入資金為，所獲利潤為，所以.（2）由題可知，，即，所以.（3）由（2）可得，,因為，即，因為，所以，所以，因為，，所以，即，記，則，根據(jù)實際意義知，，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值.河北省張家口市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,故對應(yīng)的點為，在第三象限，故選：C2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知，，所以，所以該雙曲線的離心率為.故選：C3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，去掉第一個數(shù)和最后一個數(shù)后，則下列統(tǒng)計量一定不變的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.方差 D.極差〖答案〗B〖解析〗現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，去掉第一個數(shù)和最后一個數(shù)后為.原平均數(shù)為，刪除后平均數(shù)為，不一定相等，故A不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)不會發(fā)生改變，故B正確；因為最小的數(shù)據(jù)變大，最大的數(shù)據(jù)變小，其余數(shù)據(jù)不變，方差的意義是新數(shù)據(jù)與新平均值的波動情況，不能確定不變，故C不正確.原極差為，刪除后極差為，不一定相等，故D不正確.故選：B.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A.28 B.32 C.36 D.40〖答案〗C〖解析〗記數(shù)列的公比為，由題知，則，所以.故選：C5.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.5 C. D.10〖答案〗A〖解析〗的展開式通項為，則的展開式中項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A6.已知拋物線的焦點為F，O為原點，直線與該拋物線交于M，N兩點，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.15〖答案〗B〖解析〗設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立，消去有：，有，則,由于，因此，即，得到,因此，由于拋物線中，拋物線上點到焦點距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此.故選：B7.已知正數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗因m，n為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，所以，在等式兩邊同時乘以，可得：，即，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，取得最大值8.故選：D8.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記的前n項和為，則.故選：A二、選擇題9.已知a，b，c為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為，所以，又，，所以，所以，A正確；對于B，當(dāng)時，直線不一定垂直于，B錯誤；對于C，由面面平行的判定定理可知，C正確；對于D，由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線時，直線不一定垂直于，D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的一個周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為D.若，其中為銳角，則的值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以的最小值周期，所以是函數(shù)的一個周期，A正確；對于B，因為，所以，點不是函數(shù)的對稱中心，B錯誤；對于C，由題知，，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，得，因為，所以的最小值為，C正確；對于D，若，則，因為為銳角，，所以，所以，D正確.故選：ACD11.二進(jìn)制是計算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn)．當(dāng)前的計算機(jī)系統(tǒng)使用的基本都是二進(jìn)制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計算機(jī)中主要以補(bǔ)碼的形式存儲，我們用表示十進(jìn)制數(shù)n在二進(jìn)制下的數(shù)字各項之和（例如：，則十進(jìn)制數(shù)5的二進(jìn)制數(shù)為101，），則下列說法正確的是（）A.十進(jìn)制數(shù)25的二進(jìn)制數(shù)為1101 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，因為，所以十進(jìn)制數(shù)100的二進(jìn)制數(shù)為1100100，所以，B正確；對于C，設(shè)，則，則，所以，C正確；對于D，因為，所以，D正確.故選：BCD三、填空題12.圓與圓的公切線的方程為_______．〖答案〗〖解析〗圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為6，因為，所以兩圓內(nèi)切，只有一條公切線，將圓化為一般式得：，，兩式相減得，即，所以圓的公切線的方程為.故〖答案〗為：13.已知向量，若，則在上的投影向量為__________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，所以，解得，因為，所以在上的投影向量為.故〖答案〗為：14.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到時，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束．已知甲贏得每一分的概率為，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了，此局比賽結(jié)束時，兩人的得分總和為n，則此時的概率__________．〖答案〗〖解析〗因為比賽結(jié)束時，兩人的得分總和為n，其中且兩人的得分的差的絕對值為，所以，且為偶數(shù)，所以當(dāng)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)，且偶數(shù)時，若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，余下比賽中，第21球開始，奇數(shù)球與其之后的偶數(shù)球均為甲乙一勝一負(fù)，所以事件甲贏得比賽的概率為，同理乙贏得比賽的概率為，所以，時，的值也符合關(guān)系，所以，，，故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：．（1）解：的定義域為，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2）證明：，令，則，因為，所以存在，使得，即，易知在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D為邊上一點，且滿足．（1）證明：；（2）若為內(nèi)角A的平分線，且，求．（1）證明：記的中點為，則，因為，所以，所以為的垂直平分線，所以.（2）解：記，因，所以，所以，，又為內(nèi)角A的平分線，所以，，在中，分別由余弦定理得：，聯(lián)立可得，在中，由余弦定理得，所以.17.如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面．（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，點E為線段上一點，當(dāng)二面角為時，求的值．解：（1）記BD的中點為O，連接OC，AO，因為為正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，所以，記，則，三棱錐體積，當(dāng)時，三棱錐體積取得最大值.（2）記BC，CD的中點分別為F，H，連接OF，OH，則，又，所以，由（1）知平面，平面，所以，以O(shè)為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，，，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，取，則，易知，