2023-2024學(xué)年福建省寧德市福寧古五校聯(lián)合體高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省寧德市福寧古五校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)的運算可得.故選：B.2.已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗A：若，則或異面，故A錯誤；B：因為，所以在平面內(nèi)存在不同于n的直線l，使得，則，從而，故，故B正確；C：若，則或相交，故C錯誤；D：若，則或，故D錯誤.故選：B.3.已知平面向量，，，若，，則（）A.6 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又，所以，所以.故選：D.4.在中，為邊上的中線，為的中點，若，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗由題意可得，所以.故選：A.5.在中，其內(nèi)角的對邊分別是，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗D〖解析〗對于選項A：若，，，由正弦定理可得，則，此時不存在，三角形無解；故A錯誤；對于選項B：若，，，由正弦定理可得，則，可知或，而時，，應(yīng)舍去，所以，即三角形有且僅有一解；故B錯誤；對于選項C：若，，，可知為等邊三角形，所以三角形僅有一解；故C錯誤；對于選項D：若，，，由正弦定理可得：，則，所以或，兩種情況下，三角形都存在，即三角形有兩解，故D錯誤.故選：D.6.設(shè)平面向量，，且，則（）A.1 B.14 C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，且，可得，所以，則.故選：B.7.斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，下圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，的變化規(guī)律為邊的正方形，依序拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如果用圖中接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)之和，所以接下來圓弧所在扇形的半徑是，對應(yīng)的弧長，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，即，所以該圓錐的底面積為.故選：.8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以由正弦定理得：，即，所以，即，又，所以，因為銳角三角形ABC，所以，即，解得，，令，因為，所以，則在單調(diào)遞減，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)向量，，則（）A. B.C. D.與的夾角為〖答案〗CD〖解析〗由題意，，，則，，故A錯誤；

易知，由，

所以與不平行，故B錯誤；

又，即，故C正確；

因為，

又，所以與夾角為，故D正確．

故選：CD．10.對于，有如下命題，其中正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為直角三角形C.若，則為鈍角三角形D.若，的對邊分別是，，且，則〖答案〗AC〖解析〗對于，在中，由得或，因為，所以，所以為等腰三角形，故正確；對于，在中，由得或，所以不一定是直角三角形，故不正確；對于，由得，所以，即，所以，所以角為鈍角，為鈍角三角形，故正確；對于，由得，所以角為銳角，，，故不正確.故選：.11.如圖，，是半徑為6圓的兩條不同的直徑，，則（）A.B.若，則在上的投影向量為C.為定值D.滿足的實數(shù)與的和為定值4〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，由，可得，即，整理得，所以A正確；對于B中，由圓的半徑為，因為，則，且，可得，所以在上的投影向量為，所以B不正確；對于C中，因為中，是邊上的中線，所以，由圓的半徑為，則等于為定值，所以C正確；對于D中，由，可得，因為，可得，所以，所以D正確.故選：ACD.12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點，分別為棱，上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（）A.四面體的體積為定值B.當(dāng)，分別為棱的中點時，則在正方體中存在棱與平面平行C.正方體外接球的表面積為D.當(dāng)，分別為棱，的中點時，則過，，三點作正方體的截面，所得截面為五邊形〖答案〗ACD〖解析〗點，在棱，上運動時，到距離始終為2，到平面的距離始終為2，所以四面體的體積恒為定值，A正確；在正方體中，棱可分為三類，分別是，及分別與它們平行的棱，又不與平面平行，則在正方體中，不存在棱與平面平行，B錯誤；正方體棱長為2，則其外接球的直徑為正方體體對角線，所以，即，則外接球的表面積為，故C正確；

如圖，取中點，連接，有，且，則四邊形是平行四邊形，有，過作的平行線交于點，此時，則，即為過，，三點的平面與平面的交線，連接，在上取點，使得，同證的方法得，在棱上取點，使，連接并延長交直線于，則，即，而，于是四邊形是平行四邊形，有，則為過，，三點的平面與平面的交線，連接，則可得五邊形即為正方體中過，，三點的截面，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在題中的橫線上．13.如圖是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的面積是________.〖答案〗〖解析〗由斜二測法畫圖原則：橫等縱半，∴的高為8，即.故〖答案〗為：.14.i是虛數(shù)單位，已知，寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足（）均可）〖解析〗設(shè)，（），則，，因為，所以，解得：，所以，（），所以可以取.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足（）均可）.15.如圖，某景區(qū)有三條道路，其中長為千米，是正北方向，長為千米，是正東方向，某游客在道路上相對東偏北度的且距離為千米的位置，則___________.〖答案〗〖解析〗千米，千米，三角形的面積，由面積和法得：，，兩邊平方可得：，∴，，解得：，由，解得：.法二：由題意可知，以為坐標(biāo)原點，為軸建立坐標(biāo)系，則有，，，，因為，所以，化簡可得：，兩邊平方可得：，∴，，解得：，由，解得：.故〖答案〗為：.16.在直角中，，，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為________．〖答案〗0〖解析〗如圖：由于動點滿足，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點坐標(biāo)為，，則，，所以，所以當(dāng)，有最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，.（1）若是實數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），它是實數(shù)，則，.（2）由（1）對應(yīng)點坐標(biāo)為，它在第三象限，則，解得，又，或，綜上，．18.已知中，點D在線段OB上，且，延長BA到C.使.設(shè)，.（1）用，表示向量；（2）若向量與共線，求k的值.解：（1）∵A為BC的中點，∴，可得.（2），得，∵與共線，設(shè)，即，根據(jù)平面向量基本定理，得，解得.19.現(xiàn)給出兩個條件：①，②，從中選出一個條件補充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題．（選出一種可行的條件解答，若兩個都選則按第一個解答計分）在中，，，分別為內(nèi)角A，，所對的邊，若________．（1）求；（2）若的面積為，求外接圓半徑的最小值．解：（1）若選①：因為，由正弦定理可得，由，則，，可得，所以得.若選②：因為，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因為，所以.（2）由題意可得：，則，由余弦定理可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以外接圓半徑最小值為.20.如圖，在直三棱柱中，是的中點．（1）求證：平面；（2）若，，，求幾何體的體積．解：（1）證明：連接，交于點，則點是及的中點，而是的中點，連接，則，因為平面，平面，所以平面．（2），，，幾何體的體積：．21.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為.（1）若在該坐標(biāo)系下，，計算的大??；（2）若在該坐標(biāo)系下，已知，，求的最大值．解：（1）依題意，，，由，，得，所以，即.（2）由題意可知，所以，，所以，令，，又因為，且，所以，所以，即，又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，即時，函數(shù)取到最大值3，即，則有，所以當(dāng)時，的最大值為.22.如圖，在四邊形中，已知的面積為，記的面積為．（1）求的大??；（2）若，設(shè)，，求的值．解：（1）在中，由余弦定理，，故，因為，，所以，即，又因為，所以．（2）設(shè)，則，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由正弦定理，，即，又，兩式作商，得，即，故，即，即，所以，即，因為，所以，故，解得，則，，假設(shè)，所以，又，則，解得．福建省寧德市福寧古五校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)的運算可得.故選：B.2.已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗A：若，則或異面，故A錯誤；B：因為，所以在平面內(nèi)存在不同于n的直線l，使得，則，從而，故，故B正確；C：若，則或相交，故C錯誤；D：若，則或，故D錯誤.故選：B.3.已知平面向量，，，若，，則（）A.6 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又，所以，所以.故選：D.4.在中，為邊上的中線，為的中點，若，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗由題意可得，所以.故選：A.5.在中，其內(nèi)角的對邊分別是，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗D〖解析〗對于選項A：若，，，由正弦定理可得，則，此時不存在，三角形無解；故A錯誤；對于選項B：若，，，由正弦定理可得，則，可知或，而時，，應(yīng)舍去，所以，即三角形有且僅有一解；故B錯誤；對于選項C：若，，，可知為等邊三角形，所以三角形僅有一解；故C錯誤；對于選項D：若，，，由正弦定理可得：，則，所以或，兩種情況下，三角形都存在，即三角形有兩解，故D錯誤.故選：D.6.設(shè)平面向量，，且，則（）A.1 B.14 C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，且，可得，所以，則.故選：B.7.斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，下圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，的變化規(guī)律為邊的正方形，依序拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如果用圖中接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)之和，所以接下來圓弧所在扇形的半徑是，對應(yīng)的弧長，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，即，所以該圓錐的底面積為.故選：.8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以由正弦定理得：，即，所以，即，又，所以，因為銳角三角形ABC，所以，即，解得，，令，因為，所以，則在單調(diào)遞減，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)向量，，則（）A. B.C. D.與的夾角為〖答案〗CD〖解析〗由題意，，，則，，故A錯誤；

易知，由，

所以與不平行，故B錯誤；

又，即，故C正確；

因為，

又，所以與夾角為，故D正確．

故選：CD．10.對于，有如下命題，其中正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為直角三角形C.若，則為鈍角三角形D.若，的對邊分別是，，且，則〖答案〗AC〖解析〗對于，在中，由得或，因為，所以，所以為等腰三角形，故正確；對于，在中，由得或，所以不一定是直角三角形，故不正確；對于，由得，所以，即，所以，所以角為鈍角，為鈍角三角形，故正確；對于，由得，所以角為銳角，，，故不正確.故選：.11.如圖，，是半徑為6圓的兩條不同的直徑，，則（）A.B.若，則在上的投影向量為C.為定值D.滿足的實數(shù)與的和為定值4〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，由，可得，即，整理得，所以A正確；對于B中，由圓的半徑為，因為，則，且，可得，所以在上的投影向量為，所以B不正確；對于C中，因為中，是邊上的中線，所以，由圓的半徑為，則等于為定值，所以C正確；對于D中，由，可得，因為，可得，所以，所以D正確.故選：ACD.12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點，分別為棱，上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（）A.四面體的體積為定值B.當(dāng)，分別為棱的中點時，則在正方體中存在棱與平面平行C.正方體外接球的表面積為D.當(dāng)，分別為棱，的中點時，則過，，三點作正方體的截面，所得截面為五邊形〖答案〗ACD〖解析〗點，在棱，上運動時，到距離始終為2，到平面的距離始終為2，所以四面體的體積恒為定值，A正確；在正方體中，棱可分為三類，分別是，及分別與它們平行的棱，又不與平面平行，則在正方體中，不存在棱與平面平行，B錯誤；正方體棱長為2，則其外接球的直徑為正方體體對角線，所以，即，則外接球的表面積為，故C正確；

如圖，取中點，連接，有，且，則四邊形是平行四邊形，有，過作的平行線交于點，此時，則，即為過，，三點的平面與平面的交線，連接，在上取點，使得，同證的方法得，在棱上取點，使，連接并延長交直線于，則，即，而，于是四邊形是平行四邊形，有，則為過，，三點的平面與平面的交線，連接，則可得五邊形即為正方體中過，，三點的截面，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在題中的橫線上．13.如圖是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的面積是________.〖答案〗〖解析〗由斜二測法畫圖原則：橫等縱半，∴的高為8，即.故〖答案〗為：.14.i是虛數(shù)單位，已知，寫出一個滿足條件的復(fù)數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足（）均可）〖解析〗設(shè)，（），則，，因為，所以，解得：，所以，（），所以可以取.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足（）均可）.15.如圖，某景區(qū)有三條道路，其中長為千米，是正北方向，長為千米，是正東方向，某游客在道路上相對東偏北度的且距離為千米的位置，則___________.〖答案〗〖解析〗千米，千米，三角形的面積，由面積和法得：，，兩邊平方可得：，∴，，解得：，由，解得：.法二：由題意可知，以為坐標(biāo)原點，為軸建立坐標(biāo)系，則有，，，，因為，所以，化簡可得：，兩邊平方可得：，∴，，解得：，由，解得：.故〖答案〗為：.16.在直角中，，，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為________．〖答案〗0〖解析〗如圖：由于動點滿足，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點坐標(biāo)為，，則，，所以，所以當(dāng)，有最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，.（1）若是實數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），它是實數(shù)，則，.（2）由（1）對應(yīng)點坐標(biāo)為，它在第三象限，則，解得，又，或，綜上，．18.已知中，點D在線段OB上，且，延長BA到C.使.設(shè)，.（1）用，表示向量；（2）若向量與共線，求