2024屆華大新高考聯(lián)盟高三下學(xué)期5月名校高考預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3華大新高考聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期5月名校高考預(yù)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，，由得，則，所以，，故選：A．2.若，且，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，解得，所以．故選：C．3.由于天氣原因，夏季相關(guān)部門加大對水果儲運環(huán)節(jié)的抽檢力度，堅決杜絕腐爛變質(zhì)的水果流入市場，下表是對運到倉儲點的某種水果進行抽檢后得到的數(shù)據(jù)．車輛甲乙丙丁抽檢數(shù)量/個35605055合格數(shù)量/個32564753若從運到倉儲點的四車水果中隨機抽出一個，則估計這個水果不能上市的概率為（）A.0.06 B.0.08 C.0.1 D.0.12〖答案〗A〖解析〗由題意可知，該水果合格的概率為，則隨機抽出一個，估計其不能上市的概率為0.06．故選：A.4.中國女排精神代代相傳．某網(wǎng)站對出戰(zhàn)2024年巴黎奧運會的中國女排12人大名單進行了預(yù)測：主攻隊員4人，副攻隊員3人，二傳和接應(yīng)各2人，自由人1人．在中國女排每場比賽7人的首發(fā)陣容中，主攻和副攻各2人，二傳和接應(yīng)各1人，自由人1人．如果按照該網(wǎng)站預(yù)測的12人大名單出戰(zhàn)，首發(fā)陣容方案數(shù)為（）A144 B.140 C.72 D.36〖答案〗C〖解析〗由題意可知，共有種不同的首發(fā)陣容方案．故選：C.5.已知單位向量，滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：，因為，解得，則，即，，可得，且，所以與夾角為．故選：D．6.在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，若動點P位于y軸右側(cè)，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由動點P到兩定點，的距離之差為定值4，結(jié)合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，易得，，由得，則動點P的軌跡方程為，如圖：又，則，且故的周長為:，當且僅當P，A，三點共線且點位于、之間時等號成立，故周長的最小值為．故選：D7.已知函數(shù)，函數(shù)，若圖像與直線有3個交點，則實數(shù)的值可能為（）A.-6 B.9 C.-12 D.12〖答案〗B〖解析〗當時，函數(shù)單調(diào)遞增，因此有；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，因此有，如下圖所示：令，則，要使得的圖像與直線有3個交點，則存在兩個實數(shù)根，，且，或，，，設(shè)，當，時，該方程有兩個不相等的實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，顯然不成立，不符合題意；當，時，方程有兩個不相等的實根，則必有.故選：B.8.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成（如圖所示），則二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則二十四等邊體的外接球半徑為，其外接球體積為，二十四等邊體可以看成一個長方體加上四個四棱錐拼接而成的幾何體，故所求體積，故二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為，故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A.B.的圖象關(guān)于點中心對稱C.與的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗由題意得，，解得，，又因為，所以，A錯誤；由可知，則，令，，解得，，令，得，所以點是曲線的對稱中心，B正確；因為，所以與的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；當時，，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，D正確.故選：BCD10.如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（）A. B.的最小值為C.當時，AM與BC的夾角為 D.〖答案〗BC〖解析〗對于A,連接相交于，故，，，A錯誤；對于B，因與均是邊長為1正三角形，故可將沿翻折，使其與共面，得到菱形，則，B正確；對于C，由且,平面,故平面，平面，，若，平面,則平面，故，知M與C重合，AM與BC的夾角為，C正確；對于D，，，由于平面，故平面，平面，故（與的夾角為鈍角），D錯誤．故選：BC.11.某工廠對一條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品A和B進行抽檢．已知每輪抽到A產(chǎn)品的概率為，每輪抽檢中抽到B產(chǎn)品即停止．設(shè)進行足夠多輪抽檢后抽到A產(chǎn)品的件數(shù)與B產(chǎn)品的件數(shù)的比例為k，單輪抽檢中抽檢的次數(shù)為x，則（）A.若，則B.當時，取得最大值C.若一輪抽檢中x的很大取值為M，D.恒成立〖答案〗AD〖解析〗由題意知（前次為產(chǎn)品，最后一次為產(chǎn)品），當時，，故A正確；，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取最大值，故B錯誤；由A知，，令①，則②，①②得，，故C錯誤；由C知若一輪抽檢出n件產(chǎn)品，則，每輪抽檢必會抽到B產(chǎn)品1次，則當時，，，則，，，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：AD.三、填空題12.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，則________，數(shù)列的公差為________．〖答案〗81〖解析〗因為數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，即，則，解得或（舍去），則，解得，所以，.故〖答案〗為：81；.13.已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，且軸，設(shè)，，則，可知，所以原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為．故〖答案〗為：.14.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D，E分別為AB，AC上一點，為BC上一點，與A關(guān)于DE對稱．若，，，則________．〖答案〗〖解析〗如圖，由得．令，，．令，，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，，．由題意知，，，，，．故〖答案〗為：.四、解答題15.貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽在比賽間隙進行蘆笙舞、侗族大歌等非物質(zhì)文化遺產(chǎn)展演，這項活動將體育運動與當?shù)孛褡迕袼孜幕嘤|合，創(chuàng)造出獨特的文體公共產(chǎn)品．為了打造更具吸引力的賽事，某平臺發(fā)起了群眾觀賽意見反饋調(diào)查，共收回了200份調(diào)查問卷．性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事男8436女4040（1）通過進一步分析關(guān)注賽事群眾的調(diào)查問卷得知，關(guān)注表演的女性用戶有24名，現(xiàn)從關(guān)注賽事的群眾中抽取一人，設(shè)“抽取的一人為男性”為事件A，“抽取的一人關(guān)注表演”為事件B，若，則以此次調(diào)查的數(shù)據(jù)為依據(jù)，估計從平臺用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率為多少；（2）是否有的把握認為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)？附：，其中．0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可知，關(guān)注賽事的總?cè)藬?shù)為人，其中男性84人，女性40人，女性中關(guān)注表演的有24人，則不關(guān)注表演的女性有16人．設(shè)在關(guān)注賽事的84名男性中，關(guān)注表演的有m人，則不關(guān)注表演的男性有人，所以不關(guān)注表演的共有人，則，且，由，得，解得，所以關(guān)注表演的男性有20人，即在樣本中關(guān)注表演的共有4人，在樣本中的比例為，由此估計，從平臺的所有用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率約為0.22．（2）由題意得列聯(lián)表如下：性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事合計男8436120女404080合計12476200則，故有的把握認為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)．16.如圖，在三棱錐中，底面ABC是以AB為斜邊的直角三角形，側(cè)面OAC是邊長為2的正三角形，平面平面ABC，，D為AC的中點，將以O(shè)D所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到圓錐OD，底面圓D與AB交于點E，圓錐側(cè)面上一點F滿足．（1）試確定點F的位置并證明；（2）求二面角的正弦值．解：（1），平面OAB，，平面OAB．又在圓錐OD側(cè)面上，且圓錐OD是由以O(shè)D所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的，．在中，，，．故．在中，，，．即F為線段AO上靠近O的五等分點（如下圖）．平面平面ABC，平面平面，因平面,，故平面．平面內(nèi)，．（2）是邊長為2的正三角形，且D為AC的中點，，由（1）得，，以D為坐標原點，DA，DO所在直線分別為x軸、z軸，過點D且平行于BC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，，，，．設(shè)平面COE的法向量為，則即，令，得，．則平面COE的一個法向量為．設(shè)平面OEF的法向量為，則，即令，則，．則平面OEF的一個法向量為．設(shè)二面角的平面角為，則，．17.已知函數(shù)（1）若在處的切線斜率為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若是的極大值點，求的取值范圍．解：（1）由題意，函數(shù)定義域為，可得，則，解得，所以，令，解得，，令，可得或；令，可得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意，可得，則且，可得令，則，可得，若，當時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因為，因此存在使得，所以當時在上單調(diào)遞減，又由，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意．若，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因此不可能是的極大值點．綜上，當是的極大值點時，的取值范圍為18.已知橢圓分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的動點，直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，當為橢圓的上頂點時，有（1）求橢圓的離心率；（2）求的最大值．解：（1）當為橢圓的上頂點時，又因為，所以，所以，（2）方法一：設(shè)，，又點在橢圓上，則，，又，，，同理用"“代替”，，又，所以的最大值為方法二：設(shè)，，由得，即，，即，同理，，又，，又，所以的最大值為19.對于求解方程的正整數(shù)解（，，）的問題，循環(huán)構(gòu)造是一種常用且有效地構(gòu)造方法．例如已知是方程的一組正整數(shù)解，則，將代入等式右邊，得，變形得：，于是構(gòu)造出方程的另一組解，重復(fù)上述過程，可以得到其他正整數(shù)解．進一步地，若取初始解時滿足最小，則依次重復(fù)上述過程可以得到方程的所有正整數(shù)解．已知雙曲線（，）的離心率為，實軸長為2．（1）求雙曲線的標準方程；（2）方程的所有正整數(shù)解為，且數(shù)列單調(diào)遞增．①求證：始終是4的整數(shù)倍；②將看作點，試問的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）由題意知解得，則，故雙曲線E的標準方程為．（2）①方法一：由得，其中是方程的一組正整數(shù)解，則，在循環(huán)構(gòu)造中，對任意正整數(shù)，由，是正整數(shù)，第k組解中的為二項式的展開式中不含的部分，為二項式的展開式中含的部分，注意到二項式的展開式中不含的部分與二項式的展開式中不含的部分相同，二項式的展開式中含的部分與二項式的展開式中含的部分互為相反數(shù)，于是由二項式定理有，，從而，于是對任意的正整數(shù)，，因為是正整數(shù)，所以是4的整數(shù)倍．方法二：在循環(huán)構(gòu)造中，對任意正整數(shù)，由，是正整數(shù)，第組解中的為二項式的展開式中不含的部分，為二項式的展開式中含的部分；第組解中的為二項式的展開式中不含的部分，為二項式的展開式中含的部分，故，于是，，即，由得，，代入得，整理得，即．因為是正整數(shù)，所以是4的整數(shù)倍．②，，設(shè)，的夾角為，則的面積，由得，，代入得，，由得，從而，故，，．，，，，即，代入得，于是的面積為定值．華大新高考聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期5月名校高考預(yù)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，，由得，則，所以，，故選：A．2.若，且，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，解得，所以．故選：C．3.由于天氣原因，夏季相關(guān)部門加大對水果儲運環(huán)節(jié)的抽檢力度，堅決杜絕腐爛變質(zhì)的水果流入市場，下表是對運到倉儲點的某種水果進行抽檢后得到的數(shù)據(jù)．車輛甲乙丙丁抽檢數(shù)量/個35605055合格數(shù)量/個32564753若從運到倉儲點的四車水果中隨機抽出一個，則估計這個水果不能上市的概率為（）A.0.06 B.0.08 C.0.1 D.0.12〖答案〗A〖解析〗由題意可知，該水果合格的概率為，則隨機抽出一個，估計其不能上市的概率為0.06．故選：A.4.中國女排精神代代相傳．某網(wǎng)站對出戰(zhàn)2024年巴黎奧運會的中國女排12人大名單進行了預(yù)測：主攻隊員4人，副攻隊員3人，二傳和接應(yīng)各2人，自由人1人．在中國女排每場比賽7人的首發(fā)陣容中，主攻和副攻各2人，二傳和接應(yīng)各1人，自由人1人．如果按照該網(wǎng)站預(yù)測的12人大名單出戰(zhàn)，首發(fā)陣容方案數(shù)為（）A144 B.140 C.72 D.36〖答案〗C〖解析〗由題意可知，共有種不同的首發(fā)陣容方案．故選：C.5.已知單位向量，滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：，因為，解得，則，即，，可得，且，所以與夾角為．故選：D．6.在平面直角坐標系中，已知點A坐標為，若動點P位于y軸右側(cè)，且到兩定點，的距離之差為定值4，則周長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由動點P到兩定點，的距離之差為定值4，結(jié)合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，易得，，由得，則動點P的軌跡方程為，如圖：又，則，且故的周長為:，當且僅當P，A，三點共線且點位于、之間時等號成立，故周長的最小值為．故選：D7.已知函數(shù)，函數(shù)，若圖像與直線有3個交點，則實數(shù)的值可能為（）A.-6 B.9 C.-12 D.12〖答案〗B〖解析〗當時，函數(shù)單調(diào)遞增，因此有；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，因此有，如下圖所示：令，則，要使得的圖像與直線有3個交點，則存在兩個實數(shù)根，，且，或，，，設(shè)，當，時，該方程有兩個不相等的實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，顯然不成立，不符合題意；當，時，方程有兩個不相等的實根，則必有.故選：B.8.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成（如圖所示），則二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則二十四等邊體的外接球半徑為，其外接球體積為，二十四等邊體可以看成一個長方體加上四個四棱錐拼接而成的幾何體，故所求體積，故二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為，故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A.B.的圖象關(guān)于點中心對稱C.與的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗由題意得，，解得，，又因為，所以，A錯誤；由可知，則，令，，解得，，令，得，所以點是曲線的對稱中心，B正確；因為，所以與的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；當時，，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，D正確.故選：BCD10.如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點（包括端點），則（）A. B.的最小值為C.當時，AM與BC的夾角為 D.〖答案〗BC〖解析〗對于A,連接相交于，故，，，A錯誤；對于B，因與均是邊長為1正三角形，故可將沿翻折，使其與共面，得到菱形，則，B正確；對于C，由且,平面,故平面，平面，，若，平面,則平面，故，知M與C重合，AM與BC的夾角為，C正確；對于D，，，由于平面，故平面，平面，故（與的夾角為鈍角），D錯誤．故選：BC.11.某工廠對一條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品A和B進行抽檢．已知每輪抽到A產(chǎn)品的概率為，每輪抽檢中抽到B產(chǎn)品即停止．設(shè)進行足夠多輪抽檢后抽到A產(chǎn)品的件數(shù)與B產(chǎn)品的件數(shù)的比例為k，單輪抽檢中抽檢的次數(shù)為x，則（）A.若，則B.當時，取得最大值C.若一輪抽檢中x的很大取值為M，D.恒成立〖答案〗AD〖解析〗由題意知（前次為產(chǎn)品，最后一次為產(chǎn)品），當時，，故A正確；，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取最大值，故B錯誤；由A知，，令①，則②，①②得，，故C錯誤；由C知若一輪抽檢出n件產(chǎn)品，則，每輪抽檢必會抽到B產(chǎn)品1次，則當時，，，則，，，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：AD.三、填空題12.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，則________，數(shù)列的公差為________．〖答案〗81〖解析〗因為數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，即，則，解得或（舍去），則，解得，所以，.故〖答案〗為：81；.13.已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，且軸，設(shè)，，則，可知，所以原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為．故〖答案〗為：.14.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D，E分別為AB，AC上一點，為BC上一點，與A關(guān)于DE對稱．若，，，則________．〖答案〗〖解析〗如圖，由得．令，，．令，，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，，．由題意知，，，，，．故〖答案〗為：.四、解答題15.貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽在比賽間隙進行蘆笙舞、侗族大歌等非物質(zhì)文化遺產(chǎn)展演，這項活動將體育運動與當?shù)孛褡迕袼孜幕嘤|合，創(chuàng)造出獨特的文體公共產(chǎn)品．為了打造更具吸引力的賽事，某平臺發(fā)起了群眾觀賽意見反饋調(diào)查，共收回了200份調(diào)查問卷．性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事男8436女4040（1）通過進一步分析關(guān)注賽事群眾的調(diào)查問卷得知，關(guān)注表演的女性用戶有24名，現(xiàn)從關(guān)注賽事的群眾中抽取一人，設(shè)“抽取的一人為男性”為事件A，“抽取的一人關(guān)注表演”為事件B，若，則以此次調(diào)查的數(shù)據(jù)為依據(jù)，估計從平臺用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率為多少；（2）是否有的把握認為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)？附：，其中．0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可知，關(guān)注賽事的總?cè)藬?shù)為人，其中男性84人，女性40人，女性中關(guān)注表演的有24人，則不關(guān)注表演的女性有16人．設(shè)在關(guān)注賽事的84名男性中，關(guān)注表演的有m人，則不關(guān)注表演的男性有人，所以不關(guān)注表演的共有人，則，且，由，得，解得，所以關(guān)注表演的男性有20人，即在樣本中關(guān)注表演的共有4人，在樣本中的比例為，由此估計，從平臺的所有用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率約為0.22．（2）由題意得列聯(lián)表如下：性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事合計男8436120女404080合計12476200則，故有的把握認為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)．16.如圖，在三棱錐中，底面ABC是以AB為斜邊的直角三角形，側(cè)面OAC是邊長為2的正三角形，平面平面ABC，，D為AC的中點，將以O(shè)D所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到圓錐OD，底面圓D與AB交于點E，圓錐側(cè)面上一點F滿足．（1）試確定點F的位置并證明；（2）求二面角的正弦值．解：（1），平面OAB，，平面OAB．又在圓錐OD側(cè)面上，且圓錐OD是由以O(shè)D所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的，．在中，，，．故．在中，，，．即F為線段AO上靠近O的五等分點（如下圖）．平面平面ABC，平面平面，因平面,，故平面．平面內(nèi)，．（2）是邊長為2的正三角形，且D為AC的中點，，由（1）得，，以D為坐標原點，DA，DO所在直線分別為x軸、z軸，過點D且平行于BC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，，，，．設(shè)平面COE的法向量為，則即，令，得，．則平面COE的一個法向量為．設(shè)平面OEF的法向量為，則，即令，則，．則平面OEF的一個法向量為．設(shè)二面角的平面角為，則，．17.已知函數(shù)（1）若在處的切線斜率為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若是的極大值點，求的取值范圍．解：（1）由題意，函數(shù)定義域為，可得，則，解得，所以，令，解得，，令，可得或；令，可得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意，可得，則且，可得令，則，可得，若，當時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因為，因此存在使得，