2023-2024學年北京市豐臺區(qū)高一下學期期中考試數(shù)學試題（A卷）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2北京市豐臺區(qū)2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題（A卷）一、單項選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項．1.在復平面內(nèi)，下列復數(shù)中對應的點在第四象限的是（）A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i〖答案〗B〖解析〗對應坐標為，在第一象限，不符合題意；對應坐標為，在第四象限，符合題意，B選項正確；對應坐標為，在第二象限，不符合題意；對應坐標為，在第三象限，不符合題意.故選：B.2.已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.3.已知向量，，且，那么x的值是（）A. B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，解得.故選：B.4.在中，，，，則（）A. B. C.7 D.13〖答案〗A〖解析〗由余弦定理可得，所以.故選：A.5.已知向量與向量的夾角為，且，則（）A.4 B.3 C. D.1〖答案〗B〖解析〗因為，則，即，整理得，解得或（舍去），所以.故選：B.6.如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.7.在中，角A，B，C的對邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗由題意知，，由正弦定理得，又，，展開得，，，又角A，B，C是三角形的內(nèi)角，，又，，綜上所述，的形狀為直角三角形.故選：C．8.如圖是一個圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面重合），已知圓錐的高為，圓柱的高為2，底面半徑為1，則該組合體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗該組合體的體積為圓柱的體積加上圓錐的體積，即.故選：C.9.設為非零向量，則與的夾角的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作圖，不妨令，∴，∴與的夾角為∠，故∠最大值就是與圓相切時，此時∠°，所以∠=.故選：A.10.在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀錄稱號.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了之后，表面積增加了（）A.54 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，轉(zhuǎn)動了后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設直角邊，則斜邊為，則有，得到，由幾何關系得：陰影部分的面積為，所以增加的面積為.故選：C.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知復數(shù)，則________，_________．〖答案〗5〖解析〗由已知可得，，所以，.故〖答案〗為：5.12.體積為的球的表面積是__________.〖答案〗〖解析〗設球的半徑為R，則，故球的表面積是.故〖答案〗為：.13.如圖，在方格中，已知向量的起點和終點均在格點，且滿足向量，那么______．〖答案〗3〖解析〗設單位向量，則，，又∵，∴，∴，解得，∴.故〖答案〗為：3.14.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點滿足，則_______；若點H是線段AP上的動點，則的取值范圍是_________．〖答案〗[1，2]〖解析〗以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，所以，由，可得：，所以，所以，故，點H是線段AP上的動點，所以，則，，，，因為，，所以.故的取值范圍是[1，2].故〖答案〗為：[1，2].15.設為平面內(nèi)的任意兩個向量，定義一種向量運算“”：對于同一平面內(nèi)的向量，給出下列結論：①；②；③；④若是單位向量，則．以上所有正確結論的序號是______．〖答案〗①④〖解析〗對于①，當與不共線時，；當與共線時，，①正確；對于②，當與共線時，，，所以與不一定相等，②錯誤；對于③，當，，共線時，，，所以與不一定相等，③錯誤；對于④，當與不共線時，記，則；當與共線時，，④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知復數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若，求的值；（2）若為實數(shù)，求的值．（3）若在復平面上對應的點在第一象限，求的取值范圍．解：（1）因為，所以．（2）因為實數(shù)，所以，解得．（3）因為且，所以，因為在復平面上對應的點在第一象限，所以，解得，故.17.已知向量．（1）求；（2）求向量的夾角的余弦值；（3）若與平行，求實數(shù)的值．解：（1）因為，所以，所以.（2）因為，，所以，，，所以.（3）依題意，，因為與平行，所以，解得．18.已知向量是夾角為的單位向量，且．（1）求；（2）求值；（3）求向量與的夾角．解：（1），所以．（2）.（3），所以，，因為，所以與的夾角是．19.在中，角的對邊分別為，，，．（1）求的值；（2）求的面積．解：（1）在中，因為，，，所以由正弦定理得．（2）因為，由余弦定理，得，解得或（舍），所以的面積．20.在中，角的對邊分別為，．（1）求；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分．解：（1）因為，由余弦定理得，又因為，所以.（2）由（1）知，若選條件①：，條件②：，因為，，所以，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以；若選條件①：，條件③：，因為，，所以，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以．若選條件②：；條件③：．因為，，所以，解得，因為，所以存在兩解，不滿足題意.21.已知向量，其中是兩兩不相等的正整數(shù)．記，，其分量之間滿足遞推關系，，，，．（1）當時，直接寫出向量；（2）證明：不存在，使得中；（3）證明：存在，當時，向量滿足．解：（1）因為，根據(jù)題意可得，，，，，，所以，所以從開始，周期為3，所以.（2）假設存在，使得中，設，所以，，，不妨設，則由，，，由可得，解得，即，以此類推，可得，，，，，這與是兩兩不相等的正整數(shù)矛盾，故假設不成立，所以不存在，使得中.（3）設三個數(shù)中最大的為，記作，因為，，，，所以，，若單調(diào)遞減，由可得存在，使得，由（2）證明可得，這與題設矛盾，所以不可能單調(diào)遞減，即存在，使得，根據(jù)的定義，可得中三個數(shù)中必有0，假設三個數(shù)中有兩個為0，顯然，不妨設，，則，，即，這與矛盾，舍去；假設三個數(shù)中有三個為0，顯然，通過（2）已經(jīng)證明不成立；故三個數(shù)中只有一個數(shù)為0，不妨設，則，設，所以，即，，故，則，，所以存在，當時，向量滿足.北京市豐臺區(qū)2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題（A卷）一、單項選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項．1.在復平面內(nèi)，下列復數(shù)中對應的點在第四象限的是（）A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i〖答案〗B〖解析〗對應坐標為，在第一象限，不符合題意；對應坐標為，在第四象限，符合題意，B選項正確；對應坐標為，在第二象限，不符合題意；對應坐標為，在第三象限，不符合題意.故選：B.2.已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.3.已知向量，，且，那么x的值是（）A. B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，解得.故選：B.4.在中，，，，則（）A. B. C.7 D.13〖答案〗A〖解析〗由余弦定理可得，所以.故選：A.5.已知向量與向量的夾角為，且，則（）A.4 B.3 C. D.1〖答案〗B〖解析〗因為，則，即，整理得，解得或（舍去），所以.故選：B.6.如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.7.在中，角A，B，C的對邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗由題意知，，由正弦定理得，又，，展開得，，，又角A，B，C是三角形的內(nèi)角，，又，，綜上所述，的形狀為直角三角形.故選：C．8.如圖是一個圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面重合），已知圓錐的高為，圓柱的高為2，底面半徑為1，則該組合體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗該組合體的體積為圓柱的體積加上圓錐的體積，即.故選：C.9.設為非零向量，則與的夾角的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作圖，不妨令，∴，∴與的夾角為∠，故∠最大值就是與圓相切時，此時∠°，所以∠=.故選：A.10.在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀錄稱號.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了之后，表面積增加了（）A.54 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，轉(zhuǎn)動了后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設直角邊，則斜邊為，則有，得到，由幾何關系得：陰影部分的面積為，所以增加的面積為.故選：C.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知復數(shù)，則________，_________．〖答案〗5〖解析〗由已知可得，，所以，.故〖答案〗為：5.12.體積為的球的表面積是__________.〖答案〗〖解析〗設球的半徑為R，則，故球的表面積是.故〖答案〗為：.13.如圖，在方格中，已知向量的起點和終點均在格點，且滿足向量，那么______．〖答案〗3〖解析〗設單位向量，則，，又∵，∴，∴，解得，∴.故〖答案〗為：3.14.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點滿足，則_______；若點H是線段AP上的動點，則的取值范圍是_________．〖答案〗[1，2]〖解析〗以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，所以，由，可得：，所以，所以，故，點H是線段AP上的動點，所以，則，，，，因為，，所以.故的取值范圍是[1，2].故〖答案〗為：[1，2].15.設為平面內(nèi)的任意兩個向量，定義一種向量運算“”：對于同一平面內(nèi)的向量，給出下列結論：①；②；③；④若是單位向量，則．以上所有正確結論的序號是______．〖答案〗①④〖解析〗對于①，當與不共線時，；當與共線時，，①正確；對于②，當與共線時，，，所以與不一定相等，②錯誤；對于③，當，，共線時，，，所以與不一定相等，③錯誤；對于④，當與不共線時，記，則；當與共線時，，④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知復數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若，求的值；（2）若為實數(shù)，求的值．（3）若在復平面上對應的點在第一象限，求的取值范圍．解：（1）因為，所以．（2）因為實數(shù)，所以，解得．（3）因為且，所以，因為在復平面上對應的點在第一象限，所以，解得，故.17.已知向量．（1）求；（2）求向量的夾角的余弦值；（3）若與平行，求實數(shù)的值．解：（1）因為，所以，所以.（2）因為，，所以，，，所以.（3）依題意，，因為與平行，所以，解得．18.已知向量是夾角為的單位向量，且．（1）求；（2）求值；（3）求向量與的夾角．解：（1），所以．（2）.（3），所以，，因為，所以與的夾角是．19.在中，角的對邊分別為，，，．（1）求的值；（2）求的面積．解：（1）在中，因為，，，所以由正弦定理得．（2）因為，由余弦定理，得，解得或（舍），所以的面積．20.在中，角的對邊分別為，．（1）求；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分．解：（1）因為，由余弦定理得，又因為，所以.（2）由（1）知，若選條件①：，條件②：，因為，，所以，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以；若選條件①：，條件③：，因為，，所以，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以．若選條件②：；條件③：．因為，，所以，解得，因為，所以存在兩解，不滿足題意.21.已知向量，其中是兩兩不相等的正整數(shù)．記，，其分量之間滿足遞推關系，，，，．（1）當時，直接寫出向量；（2）證明：不存在，使得中；（3）證明：存在，當時，向量滿足．解：（1）因為，根據(jù)題意可得，，，，，，所